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1、2.3.22.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2 2.3 3.3 3 平面向量的坐标运算 一、A A 组 1 1.下列可作为正交分解的基底的是( ) A.等边三角形 ABC 中的 B.锐角三角形 ABC 中的 C.以角 A 为直角的直角三角形 ABC 中的 D.钝角三角形 ABC 中的 解析:选项 A 中, 的夹角为 60;选项 B 中, 的夹角为锐角;选项 D 中, 的夹角为锐角或钝角,所以选项 A,B,D 都不符合题意.选项 C 中, 的夹角为 A=90,则选项 C 符合题意. 答案:C 2 2.向量 =(2x,x-1),O 为坐标原点,则点 A 在第四象限时,x 的取值范围是( )
2、 A.x0 B.x1 D.0x1 解析: =(2x,x-1), 点 A 的坐标为(2x,x-1). 当点 A 在第四象限时, 0x1. 答案:D 3 3.已知向量 a a,b b 满足 a a+b b=(1,3),a a-b b=(3,-3),则 a a,b b 的坐标分别为( ) A.(4,0),(-2,6) B.(-2,6),(4,0) C.(2,0),(-1,3) D.(-1,3),(2,0) 1 解析:由 +得 2a a=(4,0),-得 2b b=(-2,6), a a=(2,0),b b=(-1,3). 答案:C 4 4.已知在ABCD中, =(3,7), =(-2,3),对角线
3、AC,BD交于点 O,则 的坐标为( ) A. B. C. D. 解析:由平行四边形法则得 , =(3,7)+(-2,3)=(1,10), 又 O是 AC的中点, =- =- (1,10)= . 答案:B 5 5.已知向量 =(3,4),将其向左平移一个单位,再向上平移一个单位后,所得向量的坐标 为 . 解析:向量平移后还和原向量相等, 所得向量坐标为(3,4). 答案:(3,4) 6 6.已知 A(3,-5),B(-1,3),点 C在线段 AB上,且 =3 ,则点 C的坐标 是 . 2 解析:设 C(x,y),则 =(x-3,y+5), 3 =3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y)
4、. =3 , 解得 x=0,y=1,即点 C的坐标是(0,1). 答案:(0,1) 7 7.设向量 a a=(1,-3),b b=(-2,4),若表示向量 4a a,3b b-2a a,c c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则 向量 c c 为 . 解析:由已知可得 4a a+3b b-2a a+c c=0 0, c c=-2a a-3b b=-2(1,-3)-3(-2,4) =(-2,6)-(-6,12)=(4,-6). 答案:(4,-6) 8 8.已知点 O(0,0),A(1,3),B(2,4),且 =2 =3 . (1)求 A,B两点及向量 的坐标; (2)若 -2 =0 0,求 的坐
5、标. 解:(1) =2 =2(1,3), =3 =3(2,4). 故 A(2,6),B(6,12). =(6,12)-(2,6)=(4,6). (2)设 P(x,y),则 =(x-1,y-3). 则(4,6)-2(x-1,y-3)=(0,0). 即(6-2x,12-2y)=(0,0). 由向量相等知 解得 3 故 P(3,6), =(3,6). 9 9.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 +t . (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能成为平行四边形吗?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. 解:
6、(1) +t =(1+3t,2+3t). 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0t=- ; 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0t=- ; 若点 P 在第二象限,则 解得- t- . (2) =(1,2), =(3-3t,3-3t). 若四边形 OABP 为平行四边形,需 , 于是 此方程组无解. 故四边形 OABP 不能成为平行四边形. 1010.已知三点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),点 P 满足 + (R R). (1) 为何值时,点 P 在正比例函数 y=x 的图象上? (2)若点 P 在第三象限,求 的取值范围. 解:设点 P 坐标为(x1,y1),则 =(x1-
7、2,y1-3). + =(5-2,4-3)+(7-2,10-3), 即 + =(3+5,1+7), 4 由 + ,可得(x1-2,y1-3)=(3+5,1+7), 则 解得 点 P 的坐标是(5+5,4+7). (1)令 5+5=4+7,得 = .当 = 时,点 P 在函数 y=x 的图象上. (2)点 P 在第三象限, 解得 -1. 的取值范围是|-1. 二、B B 组 1 1.若 A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则 +2 等于( ) A.(5,-1) B.(-1,5) C.(6,-2) D.(-4,9) 解析: =(4,2)-(2,-1)=(2,3), =(1,5)-(4,2)
8、=(-3,3), 故 +2 =(2,3)+2(-3,3)=(-4,9).故选 D. 答案:D 2 2.已知 a a=(-5,6),b b=(-3,2),c c=(x,y),若 a a-3b b+2c c=0 0,则 c c 等于( ) A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0) 解析:a a-3b b+2c c=0 0,(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0), 即 即 c c=(-2,0).故选 D. 答案:D 3 3.已知向量 i i=(1,0),j j=(0,1),对坐标平面内的任一向量 a a,给出下列四个结论: 存在唯一的一对实数 x,y,使得
9、 a a=(x,y); 若 a a=(x1,y1)(x2,y2),则 x1x2,且 y1y2; 5 若 a a=(x,y),且 a a0 0,则 a a 的始点是原点 O; 若 a a0 0,且 a a 的终点坐标是(x,y),则 a a=(x,y). 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由平面向量基本定理可知,正确;不正确,例如,a a=(1,0)(1,3),但 1=1;因为向量可 以平移,所以 a a 的坐标(x,y)与 a a 的始点是不是原点无关,故错误;a a 的坐标不一定与终点坐标 相同,故错误.故选 B. 答案:B 4 4.已知平行四边形三个顶点的
10、坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是( ) A.(1,5)或(5,5) B.(1,5)或(-3,-5) C.(5,-5)或(-3,-5) D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5) 解析:设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为 D. (1)若平行四边形为ABCD,则 , D(-3,-5); (2)若平行四边形为ACDB,则 , D(5,-5); (3)若平行四边形为ACBD,则 , D(1,5). 综上所述,点 D坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5). 答案:D 5 5.在ABC中,点 M在 AC上,且 =3 ,点 N是 B
11、C的中点,若 =(4,3), =(1,5),则 = . 解析: =(1,5)-(4,3)=(-3,2). 点 N是 BC的中点, =2 =(-6,4). =(4,3)+(-6,4)=(-2,7). =3 =3(-2,7)=(-6,21). 答案:(-6,21) 6 6 6.(2016江西赣州期末)若 , 是一组基底,=x+y(x,yR R),则称(x,y)为向量 在 基底 , 下的坐标,现已知向量 a a 在基底 p p=(1,-1),q q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a a 在另一 组基底 m m=(-1,1),n n=(1,2)下的坐标为 . 解析:因为向量 a a 在基底 p
12、 p=(1,-1),q q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有 a a=-2(1,- 1)+2(2,1)=(2,4), 设 a a=x(-1,1)+y(1,2), 则有 解得 答案:(0,2) 7 7.已知点 B(1,0)是向量 a a 的终点,向量 b b,c c 均以原点 O为起点,且 b b=(-3,4),c c=(-1,1)与 a a 的 关系为 a a=3b b-2c c,求向量 a a 的起点坐标. 解:a a=3b b-2c c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10). 设 a a 的起点为 A(x,y), 则 a a= =(1-x,-y), A(8,-10).向量 a a 的起点坐标为(8,-10). 8 8.已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3),用 作为基底来表示 . 解: =(1,3), =(2,4), =(-3,5), =(-4,2), =(-5,1), =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 设 = + , 则(-12,8)=(1,3)+(2,4), 即 =32 -22 . 7