《高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修42017072.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修42017072.wps（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.4.12.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 课前预习学案 一、预习目标： 预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律； 二、预习内容： 1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3“” 投影 的概念：作图 4.向量的数量积的几何意义： 5两个向量的数量积的性质： 设 a 、b 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量. 1 eb =b e = 2 a b a b = 设 a 、b 为两个非零向量，e是 a 与同向的单位向量. e a =a e = 3 当 a 与b 同向时， a b = 当 a 与b 反向时， a b
2、 = 特别的 a a = | a |2或| a | a a 4 cos = 5 |a b | |a |b | 三、提出疑惑： 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 1 课内探究学案 一、学习目标 1 说出平面向量的数量积及其几何意义； 2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义 二、学习过程 创设问题情景，引出新课 1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是 什么？ 2、提出问题 2：请同学们继续回忆
3、，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎 样的顺序研究了这种运算的？ 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量 数量积的物理背景及其含义 探究一： 数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3： （1）如图所示，一物体在力 F F 的作用下产生位移 S S， F 那么力 F F 所做的功：W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： S W（功）是 量， F F（力）是 量， S S（位移）是 量， 是 。 （3“”）你能用文字语言表述 功的计算公式 吗? 2、明晰数量积的定义 （1）数量积的定义： 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角
4、为 ，我们把数量 a b coscos 叫做 a 与b 的数量积（或内积），记作： a b ，即： a b = a b coscos 2 （2）定义说明： “记法 a b ”“中间的 ”“不可以省略，也不可以用 ”代替。 “”规定 ：零向量与任何向量的数量积为零。 （3）提出问题 4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因 素有哪些？ （4）学生讨论，并完成下表： 的范围 0 90 =90 0 180 a b 的符号 例 1 ：已知 a ，b ，当 a b ， a b ， a 与b 的夹角是 60 时，分别求 a b . . 解： 变式： . 对于两个非零向量 a 、b
5、 ，求使|a +tb |最小时的 t 值，并求此时b 与 a +tb 的夹角. 3 探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念： B 如图，我们把b cos （ a cos ） 叫做向量b 在 a 方向上（ a 在b 方向上）的投影， 记做：OB1=b cos Obcos B 1 A 2.提出问题 5：数量积的几何意义是什么？ 3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质： 探究三：探究数量积的运算性质 1、提出问题 6：比较 a b 与 a b 的大小，你有什么结论？ 2、明晰：数量积的性质 设 a 和 b 都是非零向量，则 1、 a b a b =0 2、当 a 与
6、 b 同向时， a b = a b ；当 a 与 b 反向时， a b = - a b ， 特别地， a a = a 2 或 a = a a 3、 a b a b 3.数量积的运算律 （1）、提出问题 7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？ （2）、明晰：数量积的运算律： 已知向量 a 、 b 、c 和实数 ，则： （1） a b = b a （2）（ a ）b = （ a b )= a （ b ） （3）（ a + b ）c =a c +b c 4 例 2、（师生共同完成）已知 a =6， b =4, a 与 b 的夹角为 60 ，求（ a +2b ）（ a -3b
7、），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？ 解： 变式：（1）(a +b )2=a 2+2a b +b 2 （2）(a +b )(a -b )= a 2b 2 （三）反思总结 (四)当堂检测 1 .已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角 =120o，求 a b . 2. 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为 60o求(a +2b )(a -3b ) . 3 .已知|a |=3， |b |=4， 且 a 与b 不共线，k 为何值时，向量 a +kb 与 a -kb 互相垂直. 4.已知 a ， b ，当 a b ， a b ， a 与 b 的夹角是 60时，分 别求
8、 a b . 5.已知|a |=1，|b |= 2 ，(1)若 a b ，求 a b ；(2)若 a 、b 的夹角为，求|a + b |；(3)若 a -b 与 a 垂直，求 a 与b 的夹角. 5 6.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为，求向量 a =2m+n 与b =2n-3m 的夹角. 课后练习与提高 1.已知|a |=1，|b |= 2 ，且(a -b )与 a 垂直，则 a 与b 的夹角是（ ） A.60 B.30 C.135 D. 2.已知|a |=2，|b |=1， a 与b 之间的夹角为 3 ，那么向量 m=a -4b 的模为（ ） A.2 B.2 3 C.6 D.12 3.已知 a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量 a 、b 的夹角为 3 ，|a |=2，|b |=1，则|a +b |a -b |= . 5.已知 a +b =2i-8j， a -b =-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单 位向量，那么 a b = . 6.已知 a b 、c 与 a 、b 的夹角均为 60，且|a |=1，|b |=2，|c|=3，则(a +2b -c) _. 6