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1、第16讲,定积分的概念,引言 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程,定积分的定义 牛顿-莱布尼兹公式,一、曲边梯形的面积,青稞、小麦、豌豆、油菜,1. 曲边梯形的面积,已知: y = f (x) a , b 求面积 A.,各种复杂图形的面积都可以化为曲边梯形来计算:, 分割 a , b, 近似代替, 任取 ixi-1 , xi ,则 Aif (i) xi, 取极限,（当区间a , b被无限细分时),即得曲边梯形面积 A .,(0 表示 a , b 被无限分细 ),其中=maxx1,x2,xn,2.变速直线运动的路程,1999年10月20日“神州”火箭发射和回收成功,列车在某时间间隔内行驶的路程,
2、已知：速度 v=v ( t ) , 求在时间区间 t0 ,T 内火箭上升的速度.,1.若作匀速直线运动: v =常数,则高度= 速度 v时间(T-t0),2.若作变速直线运动，采用分割时间区间t0 , T的方法, 分割 t0 , T, 在 ti-1 , ti 内，近似匀速：,Siv (i) ti,其中iti-1 , ti 为任取。,于是区间 t0 ,T 内火箭上升的高度为：,其中=maxt1,t2,tn,曲边梯形的面积：,变速直线运动的路程：,实际背景不同，数学模型相同,由此抽取出定积分的概念.,二. 定积分的定义,设 y=f (x) 在a , b 上有定义,任取 ixi-1 , xi ,记,
3、=maxxi,若极限 存在.,若极限 存在.,称 f (x) 在 a , b 上可积,称此极限值为 f (x) 在a , b 上的定积分 , 记为:,f ( x ) : 被积函数 a , b : 积分区间 a : 积分下限 b : 积分上限 x : 积分变量,由此定义知,曲边梯形面积：,(其中f (x)0),(这也是定积分的几何意义),变速直线运动的路程：,注1 : 定积分是一个数值(与不定积分不同) , 此数值与a , b的分法无关 , 与i 的取法无关 .,只依赖于f (x) 和 a , b .,注2 : 定积分 与积分,变量无关 .,这类似于：,注3 : 定积分的几何意义,当 f (x)
4、 0 时,曲边梯形面积A,注3 : 定积分的几何意义,当 f (x) 0 时,( A为面积 ),当 f (x) 符号不定时 , 例如,=A1A2A3A4A5,A1 A2A3 A4A5,注4 : 定积分存在定理,若 f (x) 在a , b 连续 , 或,者至多有有限个第一类间断点 ,则 f (x) 在a , b 上可积 , 即,存在 .,三. 牛顿-莱布尼兹公式,若 , f (x) 连续,则,定理2 牛顿 莱布尼兹公式,积分上限的函数及其导数,则变上限函数,定理1. 若 f (x) a , b连续,则 (x) 是a , b 上的一个原函数,证:,则有,因为 f (x) a , b连续,若 , f (x) 连续,则,定理2 牛顿 莱布尼兹公式,根据定理1,证,例1,解释 : 路程函数 S=S ( t ),速度函数v=v ( t ) =,从 t = a到 t = b , 路程为,S ( b )S ( a ) , 另一方面 , 路程为, 故,说明:, 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 ., 变限积分求导:,例2,例3,=1+1=2,例4,与不定积分的计算过程相似,小结,1. 定积分的定义,2. 定积分的几何意义,3. 牛顿-莱布尼兹公式,4. 变限函数计算,