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1、三角形的四心问题 河高高三数学组 王波 温馨寄语：惜时、勤奋、自信、 专心，才会开出成功之花。 学习目标：了解三角形四心的概念及性质， 能根 据题目的特点，利用向量知识，结合向量的运算 ，结合图形处理一些简单问题。 课 型：复习课 学 法：练习归纳、总结巩固。 学习重点：三角形四心的概念及性质 学习难点：问题的转化，知识的综合应用 引言： l在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形 的“四心”进行考查。在了解三角形的“四心” 定义及向量的运算的基础上读懂向量的几 何意义。下面从三个方面加以阐述： l1. 三角形的“四心”定义和性质 l2.与三角形的“四心”有关的一些常见的向量 关系式； l3.
2、 与三角形的“四心”有关的高考连接题及其 应用； 一、要点梳理 1.三角形重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。 性质： (1).重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离 之比为2：1。 (2).重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积 相等。 (3).重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 (4).在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐 标的算术平均数 三角形内心：三角形的内心是三角形 三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 1. 三角形的内心到三边的距离相 等，都等于内切圆半径r 2.r=2S/(a+b+c) 3.在RtABC中，C=90， r=(a+b-c)/2 性质： 三角形外心：三
3、角形三边的垂直 平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 ) 到三角形三个顶点的距离相等 三角形垂心：三角形的垂心是三 角形三边上的高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上 ；钝角三角形的垂心在三角形外 。 性质： 性质： 二、精讲精练 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.内心 重心 外心 C 【练习】：若点O是 的外心， ， 则 的内角C等于（ ） A. B. C. D. （ ） D 例过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于 点D、E若 , ， 则 的值.（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 B 【练习】（2005年全国（I）卷
4、第15题）三角形的外心为O, 两条边上的高的交点H， , 则实 数m = _. 1 例3、点 是 的重心 ， 若 ，则 最小值为（ ） 平平 面面 向向 量量 的的 坐坐 标标 运运 算算 当堂检测 . 若O是平面上的定 点，A、B、C是平面上 不共线的三点，且满 足 ( ( ) 则P点的轨迹一定过ABC的( ) A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 A 2(2003年全国高考题)O是平面上一定点，A ，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ： ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3已知为 内一点,要使 的值最小,的位置必须为的( ) A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心 B B 5（2004年全国奥赛题 ）设O点在 的内部，且有，则 的面积与的面积的比为( ) A. 2B. C. 3D. 4、在ABC中动点P满足 则P点一定通过ABC的( ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 A C 课堂小结 l 1._ _ 2._ _