2022年新教材高一人教版数学暑假衔接课全套讲义学案学生版解析版.docx

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1、目录Hi-i1第二章一一衔接补充22.1 数与式22.1.1 乘法公式22.1.2 因式分解72.2 方程与方程组以及不等式152.2.1 韦达定理152.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组192.2.3 不等式23第三章一一学习新知263.1 集合263.1.1 ，乙、263.1.2 集合的基本性质263.1.3 集合的表示方法273.1.4 集合间的基本关系293.1.5 集合间的基本运算313.2 常用逻辑用语383.2.1 充分条件、必要条件、充要条件383.2.2 全称量词与存在量词403.3 函数的概念与性质433.3.1 函数的概念433.3.3 分段函数453.3.4 函

2、数的图象473.3.5 函数的定义类问题493.3.6 函数值域的求法503.3.7 恒成立问题52第一章前B首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时,知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强，这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。下面简要列出高中阶段最

3、重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。“数形结合思想分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想”接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。引例1：y=+b是什么？y三是什么？卜=。1?+法+b,证明：yja2+c2-ylai+b2Ja2+b2寸-4本题与引例2有什么不同？做一做并体会其中奥妙。第二章衔接补充2.1 数与式2.1.1 乘法公式一、【归纳初中知识】在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式：平方差公式：(“+

4、b)ab)=(T-b2完全平方公式：(。土入尸=/2+/在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。你能说出上述图形验证了哪一个式子吗?例1：利用几何图形证明当/?0时，(a+6)2=/+2ab+/?由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：a+b=(a+b)2+2ab，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换h)2=(a+h)24ah在高中数学当中是一个非常重要的工具。二、【衔接高中知识】高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒

5、等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼：完全立方和公式：S+b)3=完全立方差公式：(a-b)3=公式、我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？立方和公式：/+/=立方差公式：a3-b3=最后，我们再填补三数平方和的公式：三数平方和：(a+b+c)2=三、【例题精讲】例1：观察下列算式：32-12=852-32=1672-52=2492-72=32(1)按照上述规律续写2个式子;(2)用文字反应出上述式子的规律;(3)证明你所发现规律的正确性；例2：观察下列算式：23-13=733-23=19型-33=3753-4

6、3=61(1)按照上述规律续写两个式子；(2)20203-20193-20183+20173例3：若a+O+c=O,ab+ac+/?0,x与y的大小关系为（）nnA.xyB.xyD.x)2-4x-4j+4=0,则(x+y)io=x2-y2=(x-j)(x+y)4、已知：x3-y3=(x-y)(x-xy-y2),则x一y”=x4-y4=(x-)U3+x1y+xy2+y3)5、当x=J:3时，计算(2x+L)(4f2+_)一一=xx2V6、I9922-1991x1993=7、已知。+58y=x,求+48)(，+68)=8、已知。=201%+2018,。=201%+2019,c=2019f+2020

7、则a2+b2+c2-ah-ac-be=9、已知x+y=10且f+=280,则代数式d+J二2y+3无+110、函数y=在x0时的最小值为3211、已知孙均为正数，且勿2+=1,则_+的最小值为mnX4-1*12、函数y=z-一-(x0)的最大值为2x2+4.r+W2.1.2因式分解一、【归纳初中知识】把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做因式分解。初中阶段我们常用的两种因式分解方法有：方式：提取公因式法am+bin=m(a+b)cf土2ah+厅=(土hy方式：公式法/一/=(4+与(。一方)卜土b=(a土b)(a2+ab+b2)二、【衔接高中知识】下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法：

8、方式：分组分解法xm+ytn+xn+yn=(x+y)m+(x4-y)n=(x+y)(m+)方式：十字相乘法nmC+(mb+nd)x+ah=(mx+a)(nx+h)我们知道形如x2+(p+q)x+pq这样的二次三项式可以分解为(x+p)(x+q),它的特点是二次项系数为1.常数pq与一次项系数p+q可以通过“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得至ijx2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。这种方法能推广到更深层次吗？下面来看二次三项式mnx2+(mb+nd)x+ab,将二次项系数与常数项ab建立十字形式：我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数mh+na,从而我们有*方式：大除

9、法我们引入这样一个问题：求方程一2?+3-2=0的解显然，由观察得出是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形式：x3-2x2+3x-2=(x-1)(),那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们介绍大除法：三、【例题精讲】例1：分解因式(1) 2x2+x-3(2) 4x+4x3例2：分解因式(1) (x2-x)2-(x2-x)-2(2) X2-2xy-8y2(3) x2+2xy-3x-6y(4) +3x-4例3：已知是正整数，且4-161+100是质数，求的值课后习题1、若f+依+b=(x+2)(x-4)贝！J=,b-o2、x41x(x+3)()3、若+nix-10=(x+a)(x+

10、力)，且，。均为整数，贝！1。+。=4、下列各式中，不是4/-17f+4因式的是()1A、B、x+2Cx2D、x-425、分解因式冗4一丁+4工一4二6、若多项式/+(4-1)必+9/能用完全平方公式进行分解，则攵=7、分解因式：ab(c2-d2)+cd(a2-b2)=8、分解因式：/_3#+4=9、设z=,试用风旌表示(d+)/),*10、多项式x2+芈y+h)”5x+y+6的一个因式是工+y-2,计算2.1.3分式与根式一、【归纳初中知识】A1.在初中阶段我们把形如展的式子叫做分式，并且常常用到以下性质：DjAxMA-MABxM=BM=B1 .在初中阶段我们把形如JZ(aNO)的式子叫做二

11、次根式，表示的是非负数。的算数平方根，并且常用到以下性质：二、【衔接高中知识】2 .进入高中之后，我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来，具体体现在要求同学们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。3 .进入高中之后，我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式，四次根式，次根式等等三、【例题精讲】例1：若_1一_=4,求2析一3%-2的值mntn-2mn-n例2：.5-4.=A+B,求的值x(x+2)xx+2例3：设左=，L=g=_C_,求左的值b+c+ca+b例4：设a+b+c=0,求&l_I+也(Lt*I+上(Lh)+3bcacab例5：已知c=l,证明一a一+b+c一

12、ab+a+lbc+b+ac+c+l例6：阅读材料，回答下列问题:2211L2-3二6i_l_13-4二12我们发现1一_:_=inn+1n(n+1)(i)计算j_+l+，+L+:2612202019x2020,、4丁111111(2)求证_+ 设=J-4+d4-+2设/机一 2，多7nm11、化简：(1) 12)；(2) -力)+4(a+b)(ab1,几N*)12、证明：1一.!.1+1-11x2x32x3x4+3x4x5(+1)(+2)42.2方程与方程组以及不等式2.2.1 韦达定理一、【归纳初中知识】1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。2、对于

13、任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（aH。），通过判别式A=从4ac能够判断其方程解的个数。二、【衔接高中知识】我们已经知道0?+版+6=0（。0）如果有两个解，则其分别为；-b+b-4ac-b-b-4ac9Xj=112a-2a,bX4-X=-则我们可以得到,2aXX=c12a上面揭示了二次方程的根与系数a,4c之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。fbX+X=一|I2-反之若为，满甲，则我们可以说再,%2定是a/+x+c=（）xx=cP2a的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。三、【例题精讲】例1：若大1，是2丈+一1=。的两个根，求：22113

14、3（1）X+x2 0)2(5-x)2+(l-y)2=r2例9：解方程组:0)没有实数根y=y +Ax+c(ci0)的根实根j. .Jax1 +4u +0)的解集全体实收4-/tr 4-rC0(0)的耕集无解无解规律总结：一般地，解不等式先使不等式右边为.一般地，对于一元二次不等式af+ + oOyO),先化二次项系数为,然后找出方程ar2+bx + c = 0的两根不，最后根据不等号：小于取，大于取。三、【例题精讲】例1：因式分解法解不等式：x2+x-6-3例3：图像法解不等式-Z+x+l0的解集为x3,求2?+hx+ax+1x+3例6：解不等式：(x+2)(fx12)。课后习题1、不等式6

15、X-210的解集为2、不等式x2-2|x|-30的解集为3、已知不等式d一依+0的解集为2cx3,则不等式ax?-bx+120的解为24、不等式-；1的解集为X5、不等式a+1)(x-2)(x+3)0的解集为x2-47、不等式-x2的解集为x+28、解不等式(x+2)(6+x-f)N0x+2x39、解不等式：50/+尤+6第三章一一学习新知3.1 集合3.1.1 集合的基本概念在小学和初中，我们已经接触过一些集合。例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式x-73的解的集合(常称为解集)，到一个定点距离等于定长的点的集合即,到一条线段两个端点距离相等的点的集合即。我们再来看下面的一些例子：(1

16、)120以内的所有素数；(2)我国从20002019年的20年内所发射的所有人造卫星；(3)某汽车厂2019年生产的所有汽车；(4)2019年1月1日之前与中国建立外交关系的所有国家；(5)所有的正方形；(6)到直线/的距离等于定长d的所有点；(7)方程f+3x+2=。的所有实数根；(8)某中华2019年9月入学的所有高一学生；在例子(1)中，我们把120以内的每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样的，例子(2)中，把我国从2000-2019年的20年内发射的每一个人造卫星作为元素，这些元素的全体也构成一个集合。一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。3.

17、1.2 集合的基本性质给定的集合，它的元素就必须是确定的。比如“中国的直辖市构成一个集合，这个集合中的元素有北京、上海、重庆、天津，而成都、杭州、南京等城市则不在这个集合中。而“成绩较好的同学“不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的，我们把集合的这个性质叫做确定性。个集合当中的元素一定不能相同，也就是说同一个集合中不能出现重复的元素，我们把集合的这个性质叫做互异性。一个集合当中的元素是没有顺序之分的，比如“全球四大海洋里的元素是大西洋、北冰洋、印度洋、太平洋，这四个元素没有顺序之分。我们把集合的这个性质叫做无序性。例1:下列各选项的全体能否构成一个集合（）A.皮肤很好的人；B.百米飞人C

18、身体素质棒的学生；D.立等于本身的数3.1.3 集合的表示方法我们常用小写字母a,b,c,d,等表示集合中的元素，常用大写字母A,B,CS,T,U等表示集合。如果元素a是集合S中的元素，我们就说a属于S,写作agS；如果元素a不是集合5中的元素，我们就说a不属于S,写作a任S；常用集合的记法：自然数集：N整数集：Z正整数集：N*或N+有理数集：Q全体实数：R例2：设集合A表示世界联合国常任理事国的集合，则：中国A:印度A；英国A：法国意大利A列举法：我们可以把“全球四大洋”组成的集合表示为太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋,把方程W-犬-2=0的所有实数根表示-1,2。像这种把集合的元素一一列举

19、出来并且用花括号”括起来的表示方法叫做列举法。例3：用列举法表示下列集合（1）由d=x所有实数根组成的集合；（2）由120的素数组成的集合描述法：当我们遇到一些无法一一列举出元素的集合时，例如“x-73”的解集，它的元素是列举不完的，此时我们就采用特征描述法记为：A=x0,xg/V,T=xjv0,xg7V+D. S=中国古代四大发明,7=造纸术，指南针，印刷术，地动仪）例7：已知集合4=1,2,3,4,5,8=（x,y）彳eewA,则集合8中元素的个数为再思考这样一个集合A=x,+x+2=0,是否存在满足条件的元素x呢？我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为。例8：在集合A=卜丘?+2x+l

20、0中，分别求出以下情形火的取值或取值范围是？(1)当A中为空集时；(2) A中仅有一个元素时；(3) A中有两个元素时。数轴表示法：对于某些集合而言，其元素都是处于一个范围之中，例如A=x(x43,我们也可以将其表示在数轴上，这样的方法叫做数轴表示法，常用于后面集合的运算当中。33.1.4集合间的基本关系观察下面几个例子，寻找它们之间的关系：(1) A=1,2,3,8=1,2,3,45(2) A为新华中学高一(1)班全体女同学组成的集合，8为新华中学高一(1)班全体同学组成的集合；(3) A=中x3,3=.04x44可以发现，上述三个例子中，集合A都可以看作被包含在集合B中，因为集合A有的元

21、素，集合B都有。一般地，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们常称为集合A是集合B的子集，记作4=8(或8二4)在数学上，我们经常用封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图，例如上述例子中的集合A与8的关系可以表示为下图。一般情况，我们可认为作为子集的集合范围更。我们再看下面两个集合:A=x|x是两条边相等的三角形,8=x|x是等腰三角形很明显，上述两个集合的元素是一样，都代表全体等腰三角形。我们把元素完全一样的两个集合称为相等集合，记作A=B例9：若两个集合满足Aq8且BqA,则A,8的关系为AB(类比也就是说，当4=8时，有可能A=B。特殊地，当4屋8且4#8时，我们把A叫做8的真子

22、集，写作498再思考这样一个集合A=+x+2=0,是否存在满足条件的元素x呢？一般地，我们把不含有任何元素的集合称作,记作0并且它是任意集合的O例10：分别求出下列集合的子集：(1) A=(a(2) B=a,b(3) C=a,b,c思考：D=a,b,c,-,t,请问。有多少个子集、真子集、非空子集、非空真子集？例11：若4=x卜1x4),B=x-1x2m+1,若BqA,则z的取值范围为？例12：设集合4=5=幺+1),B=(x,y)y|=x2+x+l,分析两个集合各自的含义与不同。3.1.5集合间的基本运算并集：考察下列集合：4=1,2,B=3,4,C=1,2,3,4A=a|x,C=R明显地，

23、上述例子中，集合C相当于A,8中所有的元素“加”在一起。一般地，由集合A,B中所有元素构成的集合C叫做A与8的并集记作。=4113=比卜64或(：8,用Me图表示如下：例13：判断下列式子正确与否：(1) 0,1,2U1,2,3)=0,1,122,3(2) 0UN*=N；(3) RUQ=R；(4)若A=y|y=Jx-l,B=Wy=Jx-l,则有B=z=x2+l)例14：若A=卜一1x2,B=*1x43,求AUB交集：考察下列集合：4=1,2,3,4),8=O,3,4,5,C=3,4A-4x-1,C=1-1x1明显地，上述例子中，集合C是的公共部分，C当中的元素既属于4乂属于B。一般地，由属于集

24、合A且属于集合B的所有元素组成的集合C叫做A与8的交集记作C=AnB=xFwA且xe8,你能用Ve图表示这种关系吗？例15：若A=0,1,2,3,8=1,2,3,4,5,C=0,2,4,6,求Af(若flO例16：若4=卜x2-x60,求4口3例17：设A=卜/+4x=0,8=2(a+l)x+/_=0.(1)若AUB=B,求a的值(2)若408=8,求a的取值范围；补集：一般地，如果有两个集合A,U满足A鼠U,则我们把属于U但不属于4的部分称作A在U内的补集，记作。“71=口?(/但任4,并且我们常常把范围更大的集合U称为全集。你能用Ve图表示这种关系吗？例18：已知全集。=夫，4=().求g

25、A无一1x3x+2例21：已知某班有54名学生，其中会打篮球的有36人，会打排球的有40人，两种球都不会打1的人数比两种球都会打的人数的一还少1,问两种球都会打的有多少人？4,例22：如图，其中U代表全集，A,8为U的两个子集。(1)在图上用阴影部分表示下列式子(QA)Cl(C；(QA)U(QB)(2)判断集合间关系：(QA)n(Q.B)Cu(AU8);(CuA)U(CuB)CJAPl8)课后习题1、下列所给关系正确的有：（）兀R:_Z；-IwN；（4）-|通A.0B.1C.2D.32、下列表示M、N为同一集合的是：（）A.M=顶角为60的等腰三角形,N=等边三角形）B.M=平x43,xeZ,

26、N=1,2,3C. M=x,=x,N=-1,1D. M=-2x+1=0,N=x$+2x+1=03、设集合M=x卜42,a=3,则下列说法正确的是：（）A.aeMB.aiMC.aqMD.aM4、设全集U=Z,集合A=xk=2k,&eZ,8=y3|=2Z+l,&Z,则下列关系式正确的个数为（）AC。必=0；5=5C0B=AA.1B.2C.3D.45、集合A=y|-14y5B.a5C.a11D.a8、若A=x|x=2k,keZ,B=y=4k9keZ9C=z=8k,kgZ,则A,B,C的关系为（）A.AcBcCB.BqCqAC.CqBqAD.无法确定9、已知集合4=幻/+疝+1=。,若则实数机的取值范

28、1)若A、B中均有两个元素，求女的取值范围。(2)若AU8共有三个元素，求人的值。17、设集合A=x|-0,/?=xx2-2x-m0x+1(1)当帆=3时，求ACRCrB)；(2)若AA-1x4,求m的值18、A=-5x2.B=2/m-1xm+2(1)是否存在实数m,使得BcA,若存在，求出机的范围，若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m，使得A=若存在，求出机的范围，若不存在，请说明理由；(3)是否存在实数m,使得8=。，若存在，求出机的范围，若不存在，请说明理由;19、某年级进行数理化三科竞赛，参加数学的有203人，参加物理的179人，参加化学的165人，参加数学和物理的143人，参

29、加数学和化学的116人，参加物理和化学的97人，三科窦参加的有89人。求本次共有多少名学生参加了竞赛。*20、已知集合A=x-2xq,则p是q的充分条件，,是p的必要条件。反之，如果我们有qnp,则4是p的充分条件，p是g的必要条件。所以，如果p自缱到q,q也能推到，记为poq,则我们知道p既是的充分条件，也是4的必要条件，此时我们就说p是，/的充要条件，显然，也可以说，/是的充要条件。上述(1)(5),哪些表示前者与后者是充要条件的关系？例2：下列“若p,则g”形式的命题中，哪些p是q的充要条件？(1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；(2) p:两个三角形相似，q:两个

30、三角形两边成比例；(3) p:xy0,0,y0；(4) p:x=1是一元二次方程笈+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a*0)例3：设aeR,则“al”是1”的()A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件例4：设p：实数x,y满足xl且yl,q：实数x,y满足x+y2,则p是q的()A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件例5：设x0,ygR,则“尤y是“卜卜例的()A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件例6：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？例7：判断下列各题中，p是q的什么条件(1) p:aePCB,q:aeP(2) p:-x2,q:0x_2(3) piAB,q.AB(A,8均为非空集合)3.2.2全称量词与存在量词我们知道，命题是可以判断真

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