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1、特殊三角形和全等三角形 一、【典型例题】 例 1 1、已知在 ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC于 F， 求证： AF EF A F E C B D 图 1 例 2 2、如图，等腰 ABC 中， BAC 100, BD 为ABC 的平分线， 求证： BC BD AD A D B C 图 2 例 3 3、如图，ABC 是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，M 是 AB延长线上 一点，N 是 CA 延长线上一点，且MDN=60试探究 BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证 明 1 图 3 例 4 4、在ABC 中，AC
2、B=90，ABC=30，将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为 （0 180），得到A1B1C （1）如图 1，当 ABCB1时，设 A1B1与 BC 相交于 D证明：A1CD 是等边三角形； （2）如图 2，连接 AA1、BB1，设ACA1和BCB1的面积分别为 S1、S2求证：S1：S2=1： 3； （3）如图 3，设 AC 中点为 E，A1B1中点为 P，AC=a，连接 EP，当 = 时，EP 长度最大， 最 大值为 2 3 例 5 5、如图，等边三角形 ABC和等边三角形DEC，CE和 AC 重合，CE AB 2 (1)求证：AD=BE； (2)若 CE 绕点 C 顺时针旋转 30
3、度，连 BD 交 AC于点 G，取 AB 的中点 F 连 FG，求证：BE=2FG； (3)在(2)的条件下 AB=2，则 AG= _（直接写出结果） 例 6 6、如图，一次函数 y 3x 3 的函数图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作 RtABC，且使ABC=30。 （1）求ABC的面积； 3 （2）如果在第二象限内有一点 P（m， ），试用含 m 的代数式表示APB的面积，并求当 2 3 APB 与 ABC面积相等时 m 的值； （3）是否存在使QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点 Q？若存在，请写出点 Q 所有可能的 坐标；若 不存在，请说明理由
4、。 二、【课堂练习】 1 1、如图在ABC 中,AC=7,BC=4,D 为 AB 的中点,E 为 AC上的一点.且AED=90+ C，求 CE 2 长. 2、如图，在等边ABC中，分别延长 BA至点 E，延长 BC 至点 D,使 AE=BD。求证：EC=ED 4 E A B CD 三、【课后训练】 1、等腰三角形一腰上的中线把此三角形周长分成 12和 21两部分，则这个等腰三角形底边 长为 2、等腰三角形一腰上的高等于这个三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A、30B、30或150C、120或150D、30或120或150 3、如图， ABC 的面积是 24，点 D 是边 BC 的
5、中点，点 E 是边 AB上的一个三等分点，CE交 AD 于点 F.则 AEF 的面积为 A C E F P B C D A B B E F A C D 4、如图，P 是 ABC 三条角平分线的交点。且 CA+AP=BC.若 BAC 80,则 ABC 的 大小 为 ， APB 大小为 . 5、如图，AE,BD是 ACB 的高且交于一点 F ,AFD 40 ,那么 ACB 6、如图,在四边形 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 E,若 AC平分DAB,且 AB=AE,AC=AD,有如 1 下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC= DAC；ABC是等边三角形请写出正 2 5 确结论的序号 D
6、 C E A B A P1 P2 N P3 B M C 7、如图，已知ABC中，ABC=90，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1，l2，l3 上，且 l1， l2之间的距离为 2，l2，l3之间的距离为 3，则 AC 的长是（ ） A B C D7 1 BM BC 4 8、如图，ABC是等边三角形，在 BC上取点 M，使 ，在 AB上取点 N，使 1 BN AB P P P MPN MP N MP N ， 依次是 AC上的三个四等分点，则 的 1, 2 , 3 1 2 3 4 度数为 度。 9、已知ABC 中，A=在图（1）中B、C 的角平分线交于点 O1，则可计算得BO1C=90+ 1 2 ； 在 图 （ 2） 中 ， 设 B、 C 的 两 条 三 等 分 角 线 分 别 对 应 交 于 O1、 O2， 则 BO2C= ； 请你猜想，当B、C 同时 n 等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于 O1、O2，On-1，如 图（3）， 则BOn-1C= （用含 n 和 的代数式表示） 6