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1、湍流运动的两种研究方法,1、采用随机过程的统计学方法来反映大气湍流结构 平均、方差、标准差、湍强、相关、通 量、应力、湍流动能 2、解湍流运动控制方程（平均运动方程、脉动方程、湍能方程）,第三章 大气边界层支配方程,3.1 基本控制方程 3.2 平均量方程 3.3 湍流脉动量方程 3.4 湍流方差预报方程 3.5 湍流通量预报方程 3.6 闭合理论,3.1 基本控制方程,为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于流体力学来描述大气中气体动力学和热力学方程。 描述气体和液体流动的方程组包括：,(水汽及污染物浓度的标量方程类似热量方程),3.1 基本控制方程,3.1.1 控制方程 3.1.2 简化与
2、近似Boussinesq近似 3.1.3 坐标系及其变换,3.1.1 控制方程,状态方程 质量守恒（连续方程） 动量守恒（牛顿第二定律） 热量守恒方程（热力学第一定律）,1） 状态方程,理想气体状态方程：,P：气压 ：湿空气密度 R：干空气气体常数（R=287 J K-1 kg-1） 虚温Tv=T(1+0.61q)，q比湿，T温度,2） 质量守恒（连续方程）,连续性方程的一般形式：,不可压缩流体,或,泰勒假说:,运用Einstein求和符号惯例，以上的连续方程写成：,（j=1、2、3分别代表x、y、z三个方向）,3） 动量守恒（牛顿第二定律）,动量方程的表达式：,局地时间变化,平流项,气压梯度
3、力项,重力作用项,科氏效应,粘滞应力项,i3为克罗内克符号,重力仅在垂直方向起作用,思考：方程右端第三项展开？,4） 热量守恒（热力学第一定律）,热量守恒关系常用位温方程来表示：,s：引起空气位温变化的热量源(汇)项 （分子热传导、与相变有关的潜热释放、净辐射加热）,水汽及污染物的守恒方程形式与热量守恒形式一致 关键是要全面准确的了解引起成份变化的源汇项,3.1.2 简化与近似Boussinesq近似,在一定条件下，控制方程中某些项的量值比其它项小得多，以致可以把它略去，使得方程变得较为简单，有助于方程的求解。,必须考虑地球自转的影响,大气密度并非均匀，主要在垂直方向上是不均匀的层结流体,大气
4、的空间尺度在水平方向远大于铅直方向，可视作浅层流体，不可压缩流体,大气边界层主要是湍流运动,大气边界层的特点概括有：,Boussinesq 近似,Boussinesq 近似的基本假定：,流体中的动力学粘滞系数=是常数,流体中的分子导热系数 kT 是常数,大气是浅层流体，垂直范围约10km,描写流体热力状态的特征量可表示为,扰动量远小于基态量：,基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满足理想气体状态方程，即：,Boussinesq 近似下的简化方程：,连续方程 状态方程 运动方程 热流量方程,1） 连续方程,当大气为浅层流体，在该范围内密度的变化很小、可以忽略，边界层大气可以近似认为是不可压缩的
5、，连续方程为：,或,2） 状态方程,对于干空气，状态方程为 P=RT ，对该式进行对数微分，可以得到：,如果运动的垂直尺度相对于大气层厚度而言很小，则,取对数：,取微分：,3） 运动方程,Navier-Stokes方程中压力梯度项和重力项可以进行改写：,将上式代入运动方程得到：,扰动温度在重力作用下形成的净浮力项,4） 热流量方程,边界层支配方程中常用到位温，Poisson方程：,对该式进行对数微分，近似有,此外，有,因此，有,扰动温度的垂直梯度,位温的 垂直梯度,如果不考虑相变，热源 S 仅考虑分子热传导及辐射加热，则热流量方程为：,Rj : j方向的辐射热通量,分子热传导的加热,辐射加热,
6、上式中Td 也可以换成,以上近似处理最早由Boussinesq(1903)提出Boussinesq近似 该简化方程假定流体不可压、并限制在一薄层内。适用于研究像积云对流、海陆风环流、边界层急流中的重力波活动等发生在浅层内的中尺度运动浅水方程,综上所述，Boussinesq近似下的基本方程组为：,或,或,热流量方程,运动方程,状态方程,连续方程,3.1.2 坐标系及其变换,通常我们使用笛卡尔坐标系，在实际应用中，将笛卡尔坐标系绕z轴旋转，使x、y轴指向其它方向，能够在处理问题时更方便。例如，使x轴与平均风向、地转风向、表面应力方向、垂直于海岸线、山的方向一致，这样就可以简化控制方程中的某些项。
7、例如，选择x轴与平均风方向一致，就可以求得u=M（平均风速）和v=0，这时，x轴叫做顺风方向，y轴叫做侧风方向。,3.2 平均量方程,以上动力方程组无法求解析解，但可以求得数值解。 原则上，可以用动力方程组来描述湍流的运动，但是要想囊括所有尺度的湍流运动，计算量太大。 为了简化，可以截取一定尺度的涡旋，而在这个尺度以下的涡旋用湍流的统计特征来代替。 在一些中尺度和天气尺度模式中，截取尺度为10100公里，而在边界层模式，比如说大涡模拟，截取尺度一般为10100米。,一 出发方程组,1. 状态方程 2. 连续性方程 3. 动量守恒 4. 热量守恒 5. 水汽守恒 6. 标量守恒,1、状态方程,干
8、空气气体常数,2、连续方程,张量展开：,3、运动方程(动量守恒), 存储项, 平流传输项, 重力项，仅在垂直方向作用, 柯氏力项, 气压梯度力项, 粘性力项,式中： 为分子动粘系数， f = 2sin。,4、热量守恒, 存储项, 平流传输项, 热扩散项,式中：k为分子热扩散系数，数值为2.0610-5 m2s-1；Lp为与E相变有关的潜热（0C时气液相变取值2.50106 Jkg-1 ；液固相变取值3.34105Jkg-1; 气固相变取值2.83106 Jkg-1）；cp为湿空气定压比热，与干空气定压比热的关系为cp=cpd (1+0.86q)；cpd取值1004.07 Jkg-1K-1；E为
9、蒸发量, 辐射加热项, 与相变有关的潜热释放,5、水汽守恒, 存储项, 平流传输项, 水汽扩散项,式中：vq为空气中水汽分子扩散率， Sq是方程中不含有其余过程时的净水体源项（源-汇），单位是：单位时间单位体积的总水体质量。, 其它过程的净水体源项,6、标量守恒, 存储项, 平流传输项, C的扩散项, 其它过程的体源项,式中：vc为空气中C的分子扩散率， Sc是不存在于方程中的其余过程的体源项，例如化学反应等。,在湍流运动的大气边界层中，上述方程组还不能完整地描述边界层中的全部过程，应将上述的主要变量转换成平均量和脉动量相加。即：,平均场方程描述长时间过程， 脉动场方程描述短时间过程。,二 湍
10、流中平均变量方程,推导思路：,出发方程：Boussinesq 近似方程组 采用雷诺平均的方法，将任意一个物理量表示成平均量和脉动量之和，代入方程组，然后再取平均。 大气边界层平均量控制方程,雷诺平均规则,Stull.书 P41-44,1 状态方程,进行雷诺平均后：,2 连续方程,湍流脉动连续方程,湍流平均量连续方程,3 动量方程,3 动量方程,湍流应力或雷诺应力,重要！,P.S. ：定常、水平均匀性、下沉,展开任一平均变量的全导数：, ,象位温、湍流动能e等平均变量，垂直变化大、水平变化很小；风速相反，u、v量级m/s，而w量级mm/s；因此方程中项多数情况下量级几乎相等。,水平平流 垂直,4
11、、热量方程,：湍流热通量,5、水汽守恒,6、标量守恒,上面平均方程组均出现了湍流通量散度项，表现出湍流通量对平均场动量、热量和水汽含量增减的贡献。,湍流中平均变量方程概要（略去分子扩散和粘性）,状态:,连续:,动量:,热量:,水汽:,标量:,【例 子 1】,设湍流热通量按 随高度线性递减，其中 a=0.3(K m s-1)和 b=310-4 (K s-1)。如果初始位温廓线是任意形状（即选择某一形状），那么1小时后廓线的最终形状是什么样子？略去下沉、辐射、潜热加热，并假设水平均匀。,-【解法】- 略去下沉、辐射、潜热加热，位温平均量方程为：,假设水平均匀，略去 x 和 y 导数，得到：,1 小
12、时的增温是,【讨论】ML，所有高度空气以相同速率增温，廓线形状不变,【例 子 2】,如果10m/s的风速把干空气平流到某一区域，该区水汽水平梯度为(5g水/kg气)/100km，那么要保持定常状态的比湿，边界层湍流水汽通量的垂直梯度多大？假设所有水都是气态，且不存在水汽体源。,问题中没提到下沉或水平通量梯度，假设为零，得到：,-【解法】- 定常即 ，选择x坐标与平均风向一致，平均量方程:,【讨论】梯度大小相等于在垂直距离1km上 减少0.5(g/kg)(m/s),【 作 业 】,令 C 是空气中hockipuculis细菌浓度，大家知道这种传染病菌，每年冬天都要掠过美国北部一些州，当湖上结冰时它便增加。Sieve研究所发现了空气中hockipuculis的下列守恒方程:,式中 a 是常数，假设水平均匀、无下沉，求出湍流大气中的 守恒方程。,【 个 例 分 析 】,