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1、难点题型拔高练( (四) ) m n2 1已知函数 f(x) 1nln x(m0,0ne)在区间1，e内有唯一零点，则 的取 x m1 值范围为( ) A. ，1 B. ，1 C. ，1 D 1，1 m n mnx m 解 析：选 A f(x) ，当 n0 时，f(x) 0，当 0ne 时， x2 x x2 x2 m 令 f(x)0，则 x 0，所以函数 f(x)在1，e上单调递减，由函数 f(x)在区间1，e n 内有唯一零点， 得Error!即Error!即Error! 或Error!即Error!又 m0,0ne， 所以Error!(1)或Error!(2) n2 n 2 所以 m，n
2、满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则 表示点 m1 m 1 (m，n)与点(1，2)所在直线的斜率， n2 e2 e 当 m，n 满足不等式组(1)时， 的最大值在点(1，e)处取得，为 1， m1 11 2 n2 当 m，n 满足不等式组(2)时， 的最小值在 A 点处取得，根据Error!得Error!所以最小值 m1 e2 为 ，故选 A. e2e1 x2 y2 2已知 P 为双曲线 C： 1(a0，b0)右支上的任意一点，经过点 P 的直线与双 a2 b2 曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A，B 两点若点 A，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点， 1 1 当 A
3、P PB 时，AOB 的面积为 2b，则双曲线 C 的实轴长为( ) 2 32 16 A. B. 9 9 8 4 C. D. 9 9 解析：选 A 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 1 由 AP PB ， 2 1 得(xx1，yy1) (x2x，y2y)， 2 2 1 2 1 则 x x1 x2，y y1 y2， 3 3 3 3 2 1 2 1 ( x1 ( x 2) y1 2 y 2)2 3 3 3 3 所以 1. a2 b2 b b 易知点 A 在直线 y x 上，点 B 在直线 y x 上， a a b b 则 y1 x1，y2 x2， a a 2 1 2b b (
4、 x1 x 2) x 2) 2 ( x1 2 3 3 3a 3a 所以 1， a2 b2 2 1 2b b 即 b 2( x 2)2a2( 2a2b2， x1 x 2) x1 3 3 3a 3a 8 化 简可得 a2 x1x2. 9 2sinAOxcosAOx 2tanAOx 由渐近线的对称性可得 sinAOBsin 2AOx sin2AOxcos2AOx tan2AOx1 2b a 2ab ， b b2a2 (a ) 21 1 1 所以AOB 的面积为 |OA|OB|sinAOB sinAOB x21y21 x2y2 2 2 1 b b 2ab 2 x x 21( x1 ) 2( x 2)2
5、 2 a a b2a2 b b ab x1x2 1(a ) 2 1(a )2 b2a2 9 ab b a2b2a21(a )2 8 2 9 ab b2a2 9 a2 ab2b， 8 b2a2 a2 8 16 32 得 a ，所以双曲线 C 的实轴长为 . 9 9 1 3已知数列an共 16 项，且 a11，a84.记关于 x 的函数 fn(x) x3anx2(a2n1)x， 3 nN*.若 xan1(1n15)是函数 fn(x)的极值点，且曲线 yf8(x)在点(a16，f8(a16)处的 切线的斜率为 15，则满足条件的数列an的个数为_ 解 析：fn(x)x22anxa2n1x(an1)x
6、(an1)，令 fn(x)0，得 xan 1 或 xan1，所以 an1an1或 an1an1(1n15)，所以|an1an|1(1n15)， 又 f8(x)x28x15，所以 a1268a161515，解得 a160 或 a168， 当 a160 时，a8a1(a2a1)(a3a2)(a8a7)3， 得 ai1ai(1i7，iN*)的值有 2 个为1,5个为 1； 由 a16a8(a9a8)(a10a9)(a16a15)4， 得 ai1ai(8i15，iN*)的值有 6 个为1,2 个为 1. 所以此时数列an的个数为 C27C28588， 同理可得当 a168 时，数列an的个数为 C27
7、C28588. 综上，数列an的个数为 2C27C281 176. 答案： 1 176 x2 y2 4已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，左顶点为 A，离心率为 a2 b2 2 21 ，点 B 是椭圆上的动点，ABF1面积的最大值为 . 2 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，线段 MN 的中垂线为 l.若直 |PQ| 线 l与直线 l 相交于点 P，与直线 x2 相交于点 Q，求 的最小值 |MN| c 2 解：(1)由已知得 e ，即 a22c2. a 2 a2b2c2，bc. 设 B 点的纵坐标为
8、y0(y00)， 1 1 21 则 SABF1 (ac)|y0| (ac)b ， 2 2 2 即( 2bb)b 21，b1，a 2. x2 椭圆 C 的方程为 y21. 2 (2)由(1)可知 F1(1,0)， 3 由题意知直线 l 的斜率不为 0，故设直线 l：xmy1， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ) 联立，得Error!消去 x， 得(m22)y22my10， 此时 8(m21)0， 2m 1 y1y2 ，y1y2 . m22 m22 由弦长公式，得|MN| 1m2|y1y2| 4m24m28 m21 1m2 2 2 . m22 m22 y1y2
9、 m 2 又 yP ，xPmyP1 ， 2 m22 m22 2m26 |PQ| 1m2|xP2| 1m2 ， m22 |PQ| 2m26 2 m23 2 2 （ m21 ） 2， |MN| 2 2 m21 2 m21 2 m21 2 当且仅当 m21 ，即 m1时等号成立， m21 |PQ| 当 m1，即直线 l 的斜率为1 时， 取得最小值 2. |MN| 5已知函数 f(x)xln xax1，aR. (1)当 x0 时，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围； n 3 n1 n (2)当 nN*时，证明： (ln 2)2 2 n ) 2 . 2n4 (ln 2 ) (
10、ln n1 解：(1)由 f(x)0，得 xln xax10(x0)， 1 1 即aln xx恒成立，即a( x)min. ln x 1 1 1 x1 令 F(x)ln x (x0)，则 F(x) ， x x x2 x2 函数 F(x)在(0,1)上单调递减，在(1， )上单调递增， 1 函数 F(x)ln x 的最小值为 F(1)1， x a1，即 a1， a 的取值范围是1， ) n 1 n 1 (2)证明：2n4为数列n1n2的前 n 项和，n1为数列nn1的前 n 项和， 1 n1 1 只需证明n1n2(ln n ) 2 即可 nn1 4 1 由(1)知，当 a1 时，xln xx10
11、，即 ln x1 ， x n1 n1 n 1 令 x 1，得 ln 1 ， n n n1 n1 n1 1 1 (ln 2 n1 )2 . n ) ( n1n2 n1 1 现证明 ( 2 ， ln n ) nn1 n1 1 n1n n1 n 即 2ln .(*) n n n1 n n1 n n1 1 现证明 2ln xx (x1)， x 1 构造函数 G(x)x 2ln x(x1)， x 1 2 x22x1 则 G(x)1 0， x2 x x2 函数 G(x)在(1， )上是增函数， 即 G(x)G(1)0， 1 即 2ln xx 成立 x n1 令 x ，则(*)式成立 n 1 n1 1 综上，得 n ) 2 . n1n2 (ln nn1 1 n1 1 n 对数列n1n2，(ln n )2， 分别求前 n 项和，得 (ln 2)2 nn1 2n4 3 n1 n ( 2 2 . ln 2 ) (ln n ) n1 5 6