江苏省2019高考数学二轮复习专题七随机变量空间向量理7.1随机变量与分布列讲义含解析2019052.wps

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1、7.17.1 随机变量与分布列 江苏卷 5 年考情分析 这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个 内容但 2017年两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中的应用，又考查概率 分布与期望值；既考查运算能力，又考查思维能力.2018 年又只考查了空间向量由于考题 属中档题要求，所以不宜过难立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算空间角为 主；概率题是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分 布这几个基本知识交叉考查 第一讲 随机变量与分布列 题型(一) 离散型随机变量的分布列及其期望 主要考查特殊事件的概率求解以及分布列与

2、 期望的求解. 典例感悟 例 1 (2018无锡期末)某公司有 A，B，C，D四辆汽车，其中 A车的车牌尾号为 0， B，C两辆车的车牌尾号为 6，D车的车牌尾号为 5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车 3 1 或不出车其中 A，D两辆汽车每天出车的概率为 ，B，C两辆汽车每天出车的概率为 ，且 4 2 四辆汽车是否出车是相互独立的该公司所在地区汽车限行规定如下： 汽车车牌尾号 车辆限行日 0 和 5 星期一 1 和 6 星期二 2 和 7 星期三 3 和 8 星期四 4 和 9 星期五 (1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率； (2)设 X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数

3、之和，求 X的分布列和数学期 望 解 (1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件 A，则 A为该公司在星期四最 多有一辆汽车出车 1 1 3 1 1 1 1 1 9 P(A) 2 2C 2C 2 . (4 )(2 ) 4 )(4 )(2 ) 1 2 ) (2 )(4 ) 1 64 1 55 所以 P(A)1P(A) . 64 55 所以该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为 . 64 (2)由题意，X的可能值为 0,1,2,3,4. 1 1 1 P(X0)(2 )2(4 ) 2 ； 64 1 1 1 3 1 1 1 P(X1)C 12(2 )( 2C 2 ； 2 )(4 ) 1 4 )(

4、4 ) (2 ) 8 1 1 3 1 1 1 3 1 11 P(X2)(2 )2( 2 4 )2(2 )2C 2 )( C ； 4 ) ( 2 ) 1 1 4 )(4 ) 32 1 3 1 3 1 1 3 P(X3)( 2C 2C ； 2 ) 1 4 ) ( 4 )( 4 ) 1 2 )(2 ) 8 3 1 9 P(X4)(4 )2(2 ) 2 . 64 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 64 1 8 11 32 3 8 9 64 1 11 3 9 5 E(X) 2 3 4 . 8 32 8 64 2 5 所以 X的数学期望为 . 2 方法技巧 求离散型随机变量分布列及期望的

5、关键和步骤 由于离散型随机变量的数学期望是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题 的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所 以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率具体步骤如下： 2 演练冲关 (2018扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学 和校园舞蹈赏析两场讲座已知 A，B两学习小组各有 5 位同学，每位同学在两场讲 座任意选听一场若 A组 1 人选听生活趣味数学，其余 4 人选听校园舞蹈赏析；B 组 2 人选听生活趣味数学，其余 3 人选听校园舞蹈赏析 (1)若从此 10 人中任意选出 3 人，求选出的 3

6、人中恰有 2 人选听校园舞蹈赏析的概 率； (2)若从 A，B两组中各任选 2 人，设 X为选出的 4 人中选听生活趣味数学的人数， 求 X的分布列和数学期望 E(X) C27C13 解：(1)设“选出的 3 人中恰有 2 人选听校园舞蹈赏析”为事件 M，则 P(M) C130 21 21 ，故选出的 3 人中恰有 2 人选听校园舞蹈赏析的概率为 . 40 40 (2)X可能的取值为 0,1,2,3， C24C23 9 P(X0) ， C25C25 50 C1C14C23C24C12C13 12 P(X1) ， C25C25 25 C14C12C13C24 3 P(X2) ， C25C25 1

7、0 C1C14C 1 P(X3) ， C25C25 25 2 所以 X的分布列为： X 0 1 2 3 P 9 50 12 25 3 10 1 25 9 12 3 1 6 所以 X的数学期望 E(X)0 1 2 3 . 50 25 10 25 5 题型(二) n次独立重复试验的模型及二项分布 主要考查对 n次独立重复试验的模型的识别 以及二项分布模型公式的应用. 典例感悟 例 2 (2018南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排 3 节课，每天下午 随机选择 1 节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的 3 综合实践课程 (1)“”求这两个班 在星期一不

8、同时上综合实践课 的概率； (2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为 X，求 X的概率分布与数学期 望 E(X) 3 2 解 (1)“”这两个班 在星期一不同时上综合实践课 的概率为 P1 . 3 3 3 1 (2)由题意得 XB( 3 )， 5， 1 2 P(Xk)C k5(3 )k(3 )5k，k0,1,2,3,4,5. 所以 X的概率分布为： X 0 1 2 3 4 5 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 1 5 所以 X的数学期望为 E(X)5 . 3 3 方法技巧 二项分布的分布列及期望问题求解三步骤 先判断随机变量是否服

9、从二项分布，即若满足：对立性： 第一步 即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有 判断 且仅有一个发生；重复性：试验在相同条件下独立重复地 二项 进行 n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都 分布 保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分 布 若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独 第二步 立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功” 的 求概 率 概率分别是多少 第三步 根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式 求期望 或二项分布期望公式求期望即可 演练冲关 (2018苏北四市三调)将 4 本不同的书随机放入编号为 1,2,3

10、,4的四个抽屉中 (1)求 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率； (2)设随机变量 X表示放在 2 号抽屉中书的本数，求 X的分布列和数学期望 E(X) 解：(1)将 4 本不同的书放入编号为 1,2,3,4的四个抽屉中，共有 44256种不同放法 4 “记 4”本书恰好放在四个不同抽屉中 为事件 A， 则事件 A共包含 A424个基本事件， 24 3 所以 P(A) ， 256 32 3 所以 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为 . 32 (2)法一：X的所有可能取值为 0,1,2,3,4， 34 81 C14 33 27 P(X0) ，P(X1) ， 44 256 44 64 C24

11、 32 27 C34 3 3 P(X2) ，P(X3) ， 44 128 44 64 C 1 P(X4) . 44 256 4 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 81 27 27 3 1 所以 X的数学期望为 E(X)0 1 2 3 4 1. 256 64 128 64 256 1 1 3 法二：每本书放入 2 号抽屉的概率为 P(B) ，P(B)1 . 4 4 4 1 根据题意 XB( 4 )， 4， 1 3 所以 P(Xk)C k4(4 )k(4 )4k，k0,1,2,3,4， 所以 X的分布列为 X 0 1 2

12、3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 1 所 以 X的数学期望为 E(X)4 1. 4 题型(三) 概率与其他知识的综合 主要考查与概率或期望有关的综合问题或在复 杂背景下的概率与期望的综合问题. 典例感悟 例 3 (2018南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛 2n(nN N*)局根据以往 5 1 比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概 率和乙胜的概率均为 .如果某人获胜的局数多于另一人， 2 则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为 P(n) (1)求 P(2)与 P(3)的值； (2)试比较 P(n)与 P(n1)的大小，并证明你的结论 解 (1)若甲、乙比赛

13、 4 局甲赢，则甲在 4 局比赛中至少胜 3 局， 1 1 5 所以 P(2)C 34(2 )4C4(2 )4 ， 16 1 1 1 11 同理 P(3)C 46(2 )6C 2 )6C6(2 )6 . 5 32 (2)在 2n 局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为 n1 局， 1 1 1 故 P(n)C n2n1(2 )2nCn2n2(2 )2nC2n(2 )2n 1 (Cn2n1Cn2n2C 2n 2n) (2 ) 1 1 2n 2(C20nC21nC2nC2nn) (2 ) 1 1 2n 2(22nC2nn) (2 ) 1 C2nn 2( ， 12 2n) 1 C2nn 12 所以 P(n1

14、)2(122n2). C2nn 22n 4C2nn 又 C2nn12 C2nn12 2n！ n！n！ 4 2n2！ 22n2n1！n1！ 4n12 2n1 1， 2n22n1 2n1 C2nn C2nn 12 所以 ，所以 P(n)P(n1) 22n 22n2 方法技巧 二项分布与二项式定理的交汇问题，其求解的一般思路是先利用二项分布求其 P(n)和 P(n1)，然后利用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法、 立体几何等知识交汇命题 演练冲关 1(2018常州期末)已知正四棱锥 PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，按下列方式定义随机

15、变量 的值： 若这两条棱所在的直线相交，则 的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)；若 6 这两条棱所在的直线平行，则 0；若这两条棱所在的直线异面，则 的值是这两条棱 所在直线所成角的大小(弧度制) (1)求 P(0)的值； (2)求随机变量 的分布列及数学期望 E() 解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC， PBD为等腰直角三角形 的可能取值为 0， ， ，共 C 28种情况，其中，0 时， 82 3 2 有 2 种； 时，两条棱所在直线相交时，4 个侧面三角形，共 43 种，两条棱所在直线异 3 面时，底面一条边与不相邻的两条侧棱，共 42 种

16、，共有 342420(种)； 时，两个等腰直角三角形，2 种，底面正方形，4 种，共有 246(种) 2 2 1 (1)P(0) . 28 14 20 5 (2)P( ， 3 ) 28 7 6 3 P( . 2 ) 28 14 再根据(1)的结论，随机变量 的分布列为： 0 3 2 P 1 14 5 7 3 14 1 5 3 29 E()0 . 14 3 7 2 14 84 2(2017江苏高考)已知一个口袋中有 m个白球，n个黑球(m，nN N*，n2)，这些 球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3， ，mn的抽屉内，其中第 k次取出的球放入编号为

17、 k的抽屉(k1,2,3，mn). 1 2 3 mn (1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p； (2)随机变量 X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是 X的数学期望， n 证明：E(X)0的解集为 R R 的概率 解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为 0,1,2,3,4，对应的未发芽的种 子数为 4,3,2,1,0， 所以 的所有可能取值为 0,2,4， 1 2 8 P(0)C24(3 )2(3 )2 ， 27 10 1 2 1 2 40 P(2)C34(3 )3(3 )1C1 1 3 ， 3 ) (3 ) 81 1 2 1 2 17 P(4)C 4

18、0C 0 4 . 4 (3 ) ( 3 ) (3 ) 3 ) 0 81 所以随机变量 的概率分布为 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 8 40 17 148 数学期望 E()0 2 4 . 27 81 81 81 (2)由(1)知 的所有可能取值为 0,2,4， 当 0 时，代入 x2x10，得 10，对 xR R 恒成立，即解集为 R R； 当 2 时，代入 x2x10，得 2x22x10， 1 1 即 2( 2 0，对 xR R 恒成立，即解集为 R R； x2 ) 2 1 当 4 时，代入 x2x10，得 4x24x10，其解集为 x ，不满足题意 2 64 所以不等式

19、x2x10 的解集为 R R 的概率 PP(0)P(2) . 81 B组大题增分练 1 1(2018镇江期末)某学生参加 4 门学科的学业水平测试，每门得 A 等级的概率都是 4 ，该学生各学科等级成绩彼此独立规定：有一门学科获 A 等级加 1 分，有两门学科获 A 等 级加 2 分，有三门学科获 A 等级加 3 分，四门学科获 A 等级则加 5 分记 X1表示该生的加 分数，X2表示该生获 A 等级的学科门数与未获 A 等级学科门数的差的绝对值 (1)求 X1的数学期望； (2)求 X2的分布列 解：(1)记该学生有 i门学科获得 A 等级为事件 Ai，i0,1,2,3,4. X1的可能取值

20、为 0,1,2,3,5. 1 3 则 P(Ai)C i4(4 )i(4 )4i， 81 27 27 3 1 即 P(A0) ，P(A1) ，P(A2) ，P(A3) ，P(A4) ，则 X1的分布列为 256 64 128 64 256 X1 0 1 2 3 5 11 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 81 27 27 3 1 257 所以 E(X1)0 1 2 3 5 . 256 64 128 64 256 256 (2)X2的可能取值为 0,2,4，则 27 P(X20)P(A2) ； 128 27 3 15 P(X22)P(A1)P(A3) ； 64 64

21、 32 81 1 41 P(X24)P(A0)P(A4) . 256 256 128 所以 X2的分布列为 X2 0 2 4 P 27 128 15 32 41 128 2.(2018南京、盐城、连云港二模)甲、乙两人站在点 P处分别向 A，B，C三个目标进 行射击，每人向三个目标各射击一次每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中 1 1 1 A，B，C的概率分别为 ， ， . 2 3 4 (1)设 X表示甲击中目标的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两人共击中目标数为 2 个的概率 解：(1)随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3. 1 1 1 1 P(X0

22、)( ， 12 ) (13 ) ( 4 ) 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 P(X1)2( ， 1 4 ) ( 3 ) ( 2 ) 3 ( 4 ) (1 1 1 1 3 ) 2 ) (1 4 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(X2)( ， 12 ) 2 ( 3 ) 3 ( 4 ) 1 1 3 4 4 2 4 1 1 1 1 P(X3) . 2 3 4 24 所以随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 1 11 1 1 13 X的数学期望 E(X)0 1 2 3 . 4 24 4 24 12 (2)设 Y表示乙击中目

23、标的个数， 12 1 11 1 由(1)可知，P(Y0) ，P(Y1) ，P(Y2) . 4 24 4 1 1 1 则 P(X0，Y2) ， 4 4 16 11 11 121 P(X1，Y1) ， 24 24 576 1 1 1 P(X2，Y0) ， 4 4 16 193 所以 P(XY2)P(X0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0) . 576 193 所以甲、乙两人共击中目标的个数为 2 的概率为 . 576 3.如图，设 P1，P2，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现 任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量 S. 3 (1)求 S 的概率； 2 (2)求

24、S的分布列及数学期望 E(S) 3 解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有 C 36种不同选法，其中 S 的 2 为有一个角是 30的直角三角形(如P1P4P5)，共 6212 种， 3 12 3 所以 P( 2) . S C36 5 3 3 3 3 3 (2)S的所有可能取值为 ， ， .S 的为顶角是 120的等腰三角形(如P1P2P3) 4 2 4 4 ，共 6 种， 3 6 3 所以 P( . S 4) C36 10 3 3 S 的为等边三角形(如P1P3P5)，共 2 种， 4 3 3 2 1 所以 P( 4 ) . C36 10 S 3 12 3 又由(1)知 P(

25、， S 2) C36 5 故 S的分布列为 S 3 4 3 2 3 3 4 P 3 10 3 5 1 10 3 3 3 3 3 3 1 9 3 所以 E(S) . 4 10 2 5 4 10 20 13 4一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有 6 个大小相同、颜色各异的 玻璃球参加者交费 1 元可玩 1 次游戏，从中有放回地摸球 3 次参加者预先指定盒中的某 一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻 璃球出现 1 次，2 次，3 次时，参加者可相应获得游戏费的 0 倍，1 倍，k 倍的奖励(kN N*)， 且游戏费仍退还给参加者记参加者玩 1

26、次游戏的收益为 X 元 (1)求概率 P(X0)的值； (2)为使收益 X 的数学期望不小于 0 元，求 k 的最小值 解：(1)“事件X0”“表示 有放回的摸球 3 回，所指定的玻璃球只出现 1”次 ， 1 5 25 则 P(X0)3 2 . 6 (6 ) 72 (2)依题意得，X 的可能值为 k，1,1,0， 1 1 5 125 1 5 5 且 P(Xk)(6 ) 3216，P(X1)(6 )3216，P(X1)3(6 )2 6 72 ， 结合(1)知，参加游戏者的收益 X 的数学期望为 1 125 5 k110 E(X)k (1) 1 ， 216 216 72 216 为使收益 X 的数学期望不小于 0 元， 所以 k110，即 kmin110. 故 k 的最小值为 110. 14 15