线性系统理论第六章.ppt

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1、线性反馈系统的时间域综合,线性系统的时间域理论,第6章 线性反馈系统的时间域综合,分析 ：,综合与分析是相反的一个命题。,稳定性等）和定量的变化规律。,研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、,已知系统结构和参数及外输入作用，,001,综合 ：,律及需要增加的结构和参数。,确定需要施加于系统的外输入作用，即控制作用的规,已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些,特征。,合问题。,以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综,控制作用规律常取为反馈的形式。,抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。,综合是建立在系统分析的基础上的。,002,线性反馈系统的时间域综合,6.1 引

2、言,综合问题的提出,： 维状态向量， ： 维输出向量， ： 维输入向量，,给定系统的状态空间描述：,矩阵 、 和 为常阵且为给定。,给定 ：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、,或极小（或极大）值一个性能函数。,003,线性反馈系统的时间域综合,寻找一个控制作用 ，在其作用下系统的运动满足所给,所谓综合：,出的期望性能指标。,如果控制作用依赖于系统的实际响应：,输出反馈控制,有 状态反馈控制,其中： 为 常阵，状态反馈矩阵。,为参考输入向量。,为 常阵，输出反馈矩阵。,004,线性反馈系统的时间域综合,性能指标的类型,所导出的闭环结构的控制系统，分别称为状态反馈系统和,输出反馈系统。

3、,综合 ：确定控制 的规律和形式。,非优化型指标 ：不等式型的指标， 即可。,设计 ：还要考虑控制 的实现问题。,优化型指标 ：一类极值型指标，所有值中取极值。,005,线性反馈系统的时间域综合,非优化型指标 ：,（1）以渐近稳定作为性能指标，镇定问题。,一个输出 ”作为性能指标，解耦问题。,作为性能指标，跟踪问题。,（2）以一组期望的闭环极点作为性能指标，极点配置。,（3）以使一个多输入多输出系统实现 “一个输入只控制,（4）以使系统的输出 无静差地跟踪一个外部信号,006,线性反馈系统的时间域综合,优化型性能指标 ：,常取一个相对于状态 和控制 的二次型积分性能指标 ：,规定出加权矩阵 和

4、 ，综合的任务，是确定一个控制,为最优控制， 为最优性能。,其中 ： 为正定对称常阵， 为正定对称常阵或正半定对,称常阵且 为能观测。,，使指标 为极小值。,007,线性反馈系统的时间域综合,（1）建立可综合条件,综合问题分解为两个性质不同的命题。,研究综合问题的思路,给定的受控系统和指标，控制存在且实现综合的条件。,（2）建立相应的用以综合控制规律的算法,确定满足要求的控制律。,008,线性反馈系统的时间域综合,（1）状态反馈的构成问题,控制系统工程实现中的一些理论问题,利用可测输入 和输出 来构造出不能测的状态 。,称为状态重构，观测器问题。,问题。,（2）系统模型的不准确和参数慑动问题,

5、模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的,控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的,009,线性反馈系统的时间域综合,鲁棒性问题 ：参数的不精确误差或摄动出现在模型参数,的一个邻域内时，系统仍能稳定地运行或保持期望的性能,值，则是鲁棒性的。,（3）对外部扰动的影响的抑制问题,扰动抑制问题。,010,线性反馈系统的时间域综合,6.2 状态反馈和输出反馈,控制 取为状态 的线性函数，,状态反馈和输出反馈的构成形式,称为状态反馈，线性的直接状态反馈。,线性定常系统,011,线性反馈系统的时间域综合,控制 取为输出 的线性函数，,称为输出反馈，线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。,

6、为参考输入。,012,线性反馈系统的时间域综合,状态反馈的构成形式：,传递函数矩阵为：,013,线性反馈系统的时间域综合,输出反馈的构成形式：,传递函数矩阵为：,014,线性反馈系统的时间域综合,则,受控系统的传递函数矩阵为：,或,证 ：,015,线性反馈系统的时间域综合,证 毕,016,线性反馈系统的时间域综合,两者都可改变系统结构属性和实现性能指标。,状态反馈和输出反馈，都可改变系统矩阵。,令 ： 则输出反馈达到的功能，必可找到相应的,状态反馈要优于输出反馈。,一个状态反馈来实现。,但 的解 通常不存在，则反之不成立。,017,线性反馈系统的时间域综合,反馈的引入对能控性和能观测性的影响。

7、,结论 1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能,改变系统的能观测性。,结论2 ：输出反馈的引入不改变系统的能控性和能观测性。,能控（能观）= 能控（能观）,状态反馈和输出反馈系统的能控性和能观测性,018,线性反馈系统的时间域综合,反馈信息的性质：,状态 可完全地表征系统结构的信息，,状态反馈是一种完全的系统信息反馈。,输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。,为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息,状态反馈和输出反馈的比较,反馈系统，即状态反馈。,019,线性反馈系统的时间域综合,联补偿器，构成动态输出反馈系统。,欲使输出反馈也能达到满意的性能，引入串联补偿器和并,020,线

8、性反馈系统的时间域综合,输出变量可直接测量，状态反馈的工程构成，是引入状态,观测器，利用可量测变量 和 作为其输入，以获得 的重,构量 ，来实现状态反馈。,时， 和 相等。,021,线性反馈系统的时间域综合,6.3 极点配置问题 ：可配置条件和算法,其中： 为 维状态向量， 为 维控制向量， 和 为,状态反馈的极点配置问题,相应维数的已知常阵。,线性定常受控系统,给定 个所期望的闭环系统的极点：,实数、或共轭复数。,希望闭环极点 = 性能指标。,022,线性反馈系统的时间域综合,极点配置 ：,确定状态反馈控制 ：,为参考输入。,即确定一个 的状态反馈增益矩阵 ，使得状态,反馈闭环系统 ：,的极

9、点为,即成立,表示 的特征值。,023,线性反馈系统的时间域综合,解决两个问题,条件 ：利用状态反馈任意地配置其闭环极点的条件。,算法 ：确定状态反馈增益矩阵 的算法。,极点可配置条件,循环矩阵 ：系统矩阵 的特征多项式等同于其最小多项式。,特性 ：,（1） 为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中，相应于,每一个不同的特征值仅有一个约当块。,024,线性反馈系统的时间域综合,（2）如果 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特,征值必仅有一个约当块，因此 必定是循环的。,间，也即 为能控。,（3）若 为循环矩阵，则其循环是指 ：必存在一个向量,，使向量组 可构成一个 维空,（4）若 为能控，且

10、为循环，则对几乎任意的,实向量 ，单输入矩阵对 为能控。,025,线性反馈系统的时间域综合,（5）若 不是循环的，但 为能控，则对几乎任意,的 常阵 ， 为循环。,结论 ：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全,部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。,单输入极点配置问题的算法,算法 ：给定能控性矩阵对 和一组期望的闭环特征,使成立,值 ，确定 的增益矩阵 ，,026,线性反馈系统的时间域综合,第 1 步 ：计算 的特征多项式，即,第 2 步 ：计算由 所决定的特征多项式。,即 ：,第 3 步 ：计算,027,线性反馈系统的时间域综合,第 4 步 ：计算变换矩阵,第 5 步 ：求,第

11、6 步 ：所求增益矩阵,028,线性反馈系统的时间域综合,例 ：给定单输入线性定常系统为 ：,再给定期望的一组闭环特征值为 ：,解 ：系统为完全能控，故满足可配置条件。计算特征多项式,029,线性反馈系统的时间域综合,计算,可求得,计算变换矩阵,030,线性反馈系统的时间域综合,求出逆矩阵,所求增益矩阵为,031,线性反馈系统的时间域综合,状态反馈 配置闭环系统矩阵的特征值 配置闭环系,状态反馈对传递函数矩阵的零点的影响,状态反馈 ：改变极点的同时，是否影响系统的零点。,单输入单输出，完全能控的线性定常系统，,统传递函数矩阵的极点。,032,线性反馈系统的时间域综合,其中 ：,引入适当的线性非

12、奇异变换，将其化为能控规范形，,033,线性反馈系统的时间域综合,传递函数 为 ：,任意给定期望的一组闭环极点,相应的特征多项式为 ：,034,线性反馈系统的时间域综合,反馈增益矩阵为 ， 为使,由极点配置问题的算法可知 ：,化为能控规范形 的变换矩阵，而,则状态反馈系统为 ：,035,线性反馈系统的时间域综合,其中 ：,其能控规范形为 ：,036,线性反馈系统的时间域综合,状态反馈系统的传递函数 为 ：,引入状态反馈，使 的极点移动，但不影响零点。,但是，移动极点与零点相重合而对消，也影响了零点，被对,消掉的极点成为不可观测的。,037,线性反馈系统的时间域综合,反馈增益矩阵解的不唯一性。,

13、相同极点配置的两个不同的反馈增益矩阵 和 ，,相应的闭环传递函数矩阵 和,将有不同的状态运动响应和输出响应。,应选取使元增益值较小且瞬态响应较好的反馈增益矩阵解。,一般是不相同的。,038,线性反馈系统的时间域综合,输出反馈的极点配置问题,（ 为参考输入），不能任意地配置系统的全部极点。,（1）一般地说，利用非动态输出反馈,其中： 为 维状态向量， 和 为标量输入和标量输出。,单输入单输出系统,039,线性反馈系统的时间域综合,其中 ： 为参考输入， 为标量反馈增益。,取反馈控制,其特征多项式为 ：,输出反馈系统的传递函数为 ：,040,线性反馈系统的时间域综合,注意 ：,利用 ：,可得 ：,

14、041,线性反馈系统的时间域综合,再表 ：,引入输出反馈后，反馈系统的极点即为方程 ：,则 ：,的根。,042,线性反馈系统的时间域综合,极点和零点，则由根轨迹可知，闭环系统的极点只能分布于,由 和 的根分别为 的,输出反馈不可能把反馈系统的极点配置到根轨迹以外的位置,以开环极点为始点和以开环零点为终点的一组根轨迹上。即，,非动态输出反馈不能任意地配置系统的全部极点。,上。,043,线性反馈系统的时间域综合,统的维数为 ，且 和 ，则采用,（2）对于能控和能观测的受控系统 ，令系,非动态线性输出反馈 ，可对数目为 ：,个闭环极点进行 “任意地接近 ”式,配置，即可使它们任意地接近于指定的期望极

15、点位置。,（3）如果在引入输出反馈的同时，附加引入补偿器，那,么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出,的输出反馈系统的全部极点进行任意配置。,044,线性反馈系统的时间域综合,对于线性定常受控系统 ：,状态反馈律 ： ， 为参考输入。,则称系统实现了状态反馈镇定。,6.4 镇定问题 ：可镇定条件和算法,是渐近稳定的，也即其特征值均具有负实部，,状态反馈的镇定条件,如，通过反馈构成的闭环系统 ：,045,线性反馈系统的时间域综合,开平面上，属于极点区域配置问题。,镇定问题 ：综合的目标不是使闭环系统的极点严格地配置,到任意指定的一组位置上，而是使其配置于复数平面的左半,可镇定条件,

16、如果系统 为能控，必存在增益矩阵 ，使得,的全部特征值配置到任意位置上，包括使,046,线性反馈系统的时间域综合,状态反馈镇定的充分必要条件为 ：,条件。,为能控是系统可由状态反馈实现镇定的一个充分,结论 ：线性定常系统是由状态反馈可镇定的，当且仅当,其不能控部分是渐近稳定的。,题中综合状态反馈增益矩阵 的计算可按下述步骤进行 ：,算法 ：给定 ，且知其满足可镇定条件，则镇定问,047,线性反馈系统的时间域综合,第 1 步 ：对 按能控性进行结构分解，导出,，并求出变换矩阵 。,第 2 步 ：对 求出约当规范形，,其中， 为 常阵，且,048,线性反馈系统的时间域综合,为 常阵，且,为 矩阵，

17、并有,同时，求出 。,第 3 步 ：利用极点配置问题算法，计算 的反馈,增益矩阵 ，使 均具有,负实部。,049,线性反馈系统的时间域综合,第 4 步 ：所求的镇定反馈增益矩阵 ：,是通过把位于右半闭复数平面上的极点 “ 调整 ” 到左半开复,数平面上而实现镇定的。,050,线性反馈系统的时间域综合,6.5 解耦控制问题 ：可解耦条件和算法,三个基本假定 ：,问题的提出 ：多输入多输出的线性定常系统,其中， 为 维状态向量， 为 维控制向量， 为 维,输出向量。,051,线性反馈系统的时间域综合,（2）控制律采用状态反馈结合输入变换，取,为参考输入。,（1） ，输出和输入具有相同的变量个数。,

18、为 反馈增益矩阵， 为 输入变换矩阵，,（3）输入变换矩阵 为非奇异，即 。,052,线性反馈系统的时间域综合,结构图如下 ：,状态空间描述为 ：,053,线性反馈系统的时间域综合,传递函数矩阵为 ：,，则 为 的有理分式矩阵。,解耦控制问题 ：对（1）式给出的多变量受控系统，寻找,一个输入变换和状态反馈矩阵对 ，使由（3）式所定,出的传递函数矩阵 为非奇异对角线有理分式阵，即,054,线性反馈系统的时间域综合,两个问题 ：,关系式 ： 实现解耦后，存在,如下关系，输出变量和参考输入变量之间 ：,（1）受控系统的可解耦性，实现解耦的条件。,（2）解耦控制问题的算法，求 。,055,线性反馈系统

19、的时间域综合,受控系统包含着变量间的耦合，通过外部的控制作用，,可使一个 维的多输入多输出系统化为 个相互独立的,单输入单输出控制系统。,一个输出量仅由一个输入量所完全控制。,传递函数矩阵的两个特征量,完全能观测的多输入多输出线性定常系统,056,线性反馈系统的时间域综合,为 的传递函数矩阵， 为它的第,个行传递函数向量，并有 ：,表 的分母多项式的次数和 的分子,多项式的次数之差。,则 的第一个特征量 定义为 ：,必为非负整数。,当 给定后， 为唯一确定。,057,线性反馈系统的时间域综合,的第二个特征量 定义为 ：,的常行向量。,两个特征量 和 的基本属性 ：,（1）如果 的相应的状态空间

20、描述为 ，,且表 为 的第 个行向量。,058,线性反馈系统的时间域综合,则有 ：,和,059,线性反馈系统的时间域综合,状态反馈闭环系统的传递函数矩阵 的第 个行,传递函数向量可表为 ：,（2）对于任意的矩阵对 ，其中 ，,其中 ：,060,线性反馈系统的时间域综合,和,061,线性反馈系统的时间域综合,而 的两个特征量 和 可表为 ：,和,062,线性反馈系统的时间域综合,开环系统和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在如下,的关系式 ：,（3）对于任意的矩阵对 ，其中 ，,063,线性反馈系统的时间域综合,结论 ：线性定常受控系统，可采用状态反馈和输入变换，,即存在矩阵对 进行解耦的充分

21、必要条件，是如,可解耦条件,为非奇异。,下的 常阵 ：,064,线性反馈系统的时间域综合,解耦后系统能正常运行，并具有良好的动态性能，要求受控,系统是能控的，至少是能镇定的。,（1）能否实现解耦，由传递函数矩阵 的两组特征,推论 ：,量 和 决定。,（2） 可由传递函数矩阵组成，也可由状态空间描述组,成。,065,线性反馈系统的时间域综合,（3）一个可解耦的受控系统，当选取 为 ：,阵， 时，,使系统解耦，解耦系统的传递函数矩阵为 ：,066,线性反馈系统的时间域综合,均具有多重积分器的特性，称为积分型解耦。,解耦后，每个单输入单输出闭环控制系统的传递函数,有一定的价值。,动态性能不好，没有实

22、用价值，但作为一个中间步骤，,067,线性反馈系统的时间域综合,给定受控系统为 ：,其中 ： ， 为能控。,确定解耦控制矩阵对 的算法,系统要实现期望的极点配置。,实现解耦，同时对解耦后的每一个单输入单输出控制,068,线性反馈系统的时间域综合,判断， 是否为非奇异。,第 1 步 ：计算 和,若是，可解耦，进入下一步。若否，不能解耦。,第 2 步 ：计算 和,069,线性反馈系统的时间域综合,导出积分型解耦系统,第 3 步 ：取 为 ：,其中，,且由 能控，知 为能控。,070,线性反馈系统的时间域综合,变换为如下的解耦规范形,第 4 步 ：引入线性非奇异变换 ，把,071,线性反馈系统的时间

23、域综合,（ 不完全能观测，或状态反馈导致 不完全能,其中，虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式，,观测）。,当 为能观测时，则 中不出现不能观测部分。,072,线性反馈系统的时间域综合,此外，进而有 ：,073,线性反馈系统的时间域综合,其中，,074,线性反馈系统的时间域综合,现解耦控制和解耦后的单输入单输出控制系统的极点配置。,第 5 步 ：对解耦规范形 ，引入状态反馈，来实,其中，,状态反馈增益矩阵取为如下形式的 常阵 ：,075,线性反馈系统的时间域综合,并且，由此可以导出 ：,076,线性反馈系统的时间域综合,和,077,线性反馈系统的时间域综合,的元则由解耦后的第 个单输入单,表

24、明， 的结构形式保证了解耦控制的实现，而,部特征值。,由于需保证实现解耦，状态反馈所能控制的不是 的全,输出控制系统的期望极点组所决定。,078,线性反馈系统的时间域综合,使其实现解耦和对解耦后各单输入单输出系统进行期,第 6 步 ：对于所讨论的受控系统 ：,望的极点配置的 为 ：,079,线性反馈系统的时间域综合,静态解耦控制问题,控制系统 ：,输出维数和输入维数相等的线性定常系统 ：,如果存在状态反馈和输入变换 ，使得所导出的闭环,080,线性反馈系统的时间域综合,具有如下的属性 ：,（2） 一般为非对,（1）闭环控制系统是渐近稳定的。,角线矩阵，但是，当 时其为对角线非奇异常阵，即,则称

25、受控系统是静态能解耦的。,前面所研究的解耦问题为动态解耦问题。,081,线性反馈系统的时间域综合,信号的情况。,静态解耦的概念只适用于参考输入 的各个分量为阶跃,令 ：,其中 ： 为非零常数， 为单位阶跃函数。,利用拉普拉斯变换的终值定理，在系统为渐近稳定的前提,下，可得到系统为稳态时的输出为 ：,082,线性反馈系统的时间域综合,即有 ：,083,线性反馈系统的时间域综合,表明，相对于分量为阶跃信号的参考输入，当系统实现,静态解耦时，可做到稳态下每个输出都只受同序号的一个,输入的完全控制。,但输出和输入间的交叉耦合关系并不能消除。,静态解耦与动态解耦的区别。,084,线性反馈系统的时间域综合

26、,结论 ：存在 ，可使受控系统静态解耦的充分必,是否能实现静态解耦的判据,要条件是 ：,（1）受控系统是用状态反馈能镇定的。,（2）受控系统的系数矩阵满足关系式 ：,其中， 为系统的维数， 为输出（和输入）的维数，且,为非奇异。,085,线性反馈系统的时间域综合,阵的秩条件是否成立。,静态解耦算法,第 1 步 ：判断 是否能稳定或能控，判断系数矩,算法，确定一个状态反馈增益矩阵 ，使 的特征,第 2 步 ：对于满足可静态解耦条件的系统，按极点配置,值均具有负实部。,086,线性反馈系统的时间域综合,稳态增益要求，确定 的值，且取,第 3 步 ：按照静态解耦后各单输入单输出系统的,第 4 步 ：

27、取输入变换阵 ：,则 ：,087,线性反馈系统的时间域综合,6.6 跟踪问题 ：无静差性和鲁棒控制,控系统 ：,问题的提出 ：考虑同时作用有控制和扰动的线性定常受,其中， 为 维状态向量， 为 维控制向量， 为 维,输出向量， 为 维扰动向量。,088,线性反馈系统的时间域综合,假定 为能控， 为能观测。,所谓跟踪问题，即讨论系统 ，在满足什么条件下可找,受控系统的输出 所要跟踪的参考信号为 ，,跟踪的误差信号 ：,到适当的控制规律 ，来实现使 跟踪 的目标。,089,线性反馈系统的时间域综合,相应的跟踪问题的系统结构框图如下。,090,线性反馈系统的时间域综合,由于物理可实现性的限制，要找到

28、使对于所有 均有 ：,称为无静差跟踪。,一般只能做到使 ：,的控制 是不可能的。,091,线性反馈系统的时间域综合,系统为线性，且同时作用有参考信号 和扰动信号 。,满足关系式 ：,对 ，任意的 相应的输出 ，,称 式为渐近跟踪，而 式为扰动抑制。,则 ： ，对任意的 有 ：,092,线性反馈系统的时间域综合,如果参考信号 和扰动 ，当 时均趋,动抑制，即对任意的 和 ， 式成立。,直观的情况。,当系统实现无静差跟踪时，将可同时达到渐近跟踪和扰,成立。即无静差跟踪可自动地达到。,于零。只要寻找控制 使系统为渐近稳定， 式就自动地,093,线性反馈系统的时间域综合,设 和 ，当 时均不趋于零，且

29、对,参考信号和扰动的模型,和,下面的讨论中假定 ：,实际情况大多如此。,它们的属性没有任何了解，则无从讨论系统的渐近跟踪问题,和扰动抑制问题。,094,线性反馈系统的时间域综合,标量情况 ：,知振幅和初始相位的正弦函数，拉氏变换为 ：,为了研究跟踪问题，需要对 和 的某些结构,设信号为未知幅值的阶跃函数，则拉氏变换为 ，未,性质有所了解，并建立起相应的信号模型。,095,线性反馈系统的时间域综合,可将标量的 和 的拉氏变换 和 分,别表示为 ：,由于信号的函数结构为已知，多项式 和 是,和,已知的，又由于信号的非结构特性为未知，多项式 和,为未知和任意。对 和 的唯一限制是应保,证 和 均为严

30、格真的有理分式函数。,096,线性反馈系统的时间域综合,在时间域内，上述关系等价于把 和 分别看成,为是由信号模型 ：,相对于各自的未知初始条件 和 所产生的。,并且， 和 的最小多项式即为 和 。,和,097,线性反馈系统的时间域综合,向量信号的情况 ：,参考信号 看成为是在未知的初始状态下，由其模型,所产生。,所产生。,而扰动 看成为是在未知的初始状态下，由它的模型,098,线性反馈系统的时间域综合,再令 和 分别是 和 的最小多项式。,跟踪问题中只需考虑 和 的当 时不趋,于零的部分，所以只需考虑 和 中根均位于右半闭,平面的部分。,现表多项式 和 的位于右半闭 平面上的根因,式的最小公

31、倍式为 ：,099,线性反馈系统的时间域综合,显然 的所有根均具有非负实部。,于是， 可导出 和 的当 时不,有 ：,跟踪误差 作为它的输入，,趋于零的部分的共同模型，且将其和受控系统相串联，即把,100,线性反馈系统的时间域综合,其中：,而 ：,由 式所描述的动态系统就是对 和 所建立的信,号模型。,101,线性反馈系统的时间域综合,无静差跟踪控制系统的综合,现考虑由受控系统 和信号模型 顺序串联组成的系,统，容易导出此串联系统的状态方程为 ：,102,线性反馈系统的时间域综合,将 取为状态反馈控制律 ：,则可得到实现无静差跟踪的闭环控制系统，控制系统,的结构图如下所示。,103,线性反馈系

32、统的时间域综合,从上结构图，给出受控系统可实现无静差跟踪所需满足,的条件。,104,线性反馈系统的时间域综合,结论 1 ：受控系统 可按上图所示的控制方式实现无静,差跟踪的充分必要条件为 ：,（1）,（2）对 的每一个根 ，成立 ：,最小公倍式， 输出维数。,105,线性反馈系统的时间域综合,把上图所示的无静差跟踪控制系统表示为更一般的形式。,从图中可以看出，一个无静差跟踪控制系统，实质上是一,个包含补偿器的输出反馈系统。,106,线性反馈系统的时间域综合,伺服补偿器的基本功能是使系统实现渐近跟踪和扰动抑,制，它也是一个动态系统，其动态方程可表示为 ：,而镇定补偿器的功能在于使整个反馈系统实现

33、镇定，它,是一个非动态的状态反馈，即 ：,107,线性反馈系统的时间域综合,结论 2 ：设受控系统 满足结论 1 中所给出的条件，则,可使上图的控制系统实现无静差跟踪的充分必要条件，是引入,（1）可对系统实现镇定。,（2）伺服补偿器中必须包含 和 的不稳定信号,系统的补偿器必须满足如下条件 ：,模型。,108,线性反馈系统的时间域综合,称这个引入系统的不稳定信号模型为内模。,利用在系统内部复制一个 和 的不稳定信号模型，,来达到完全的渐近跟踪和扰动抑制的原理，称之为内模原理。,内模原理实现无静差跟踪控制的一个重要优点，是对除了,内模以外的受控系统和补偿器的参数的变动不敏感。,当参数出现摄动时，

34、只要闭环控制系统仍为渐近稳定，则,必仍具有无静差跟踪的属性。,称控制系统为鲁棒的。,109,线性反馈系统的时间域综合,但是，内模的参数的变化，即 的最小多项式 （,公倍式）的系数的变化则是不允许的。,内模原理的实质，就是依靠 的根与 和 的,破坏了渐近跟踪和扰动抑制。,内模参数的任何摄动，都将破坏这种精确的对消，从而,不稳定振型实现精确的对消来达到渐近跟踪和扰动抑制的。,110,线性反馈系统的时间域综合,实际工程问题中， 和 总是有界的，即使,的系数有变动或工程实现中不够精确，输出 仍能跟踪,参考信号 ，即只有有限的稳态跟踪误差。,结论 3 ：利用内模原理来实现的无静差跟踪控制，即前,图的控制

35、方式，对除了内模以外的系统各部分的参数而言，,是一种鲁棒控制。,111,线性反馈系统的时间域综合,6.7 状态重构问题和状态观测器,状态反馈的优越性。,状态重构问题 ：,极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪，都引入适当的,状态反馈才能实现。,不易直接测量，或经济性上的限制，不能实际获得系统的,全部状态变量，状态反馈的物理实现不可能。,112,线性反馈系统的时间域综合,通过重构系统的状态，用重构状态代替系统的真实状态，来,状态反馈的优越性与物理上的不能实现性，形成了矛盾，,实现所要求的状态反馈。,状态重构问题，就是重新构造一个系统。,利用原系统中可直接量测的变量，如输出向量和输入向量,作为它的输

36、入信号，并使其输出信号 在一定的提法下，,等价于原系统的状态 。,113,线性反馈系统的时间域综合,称 为 的重构状态或估计状态，而称这个用以实,现状态重构的系统为观测器。,一般， 和 间的等价性常采用渐近等价提法，即,使得两者仅成立 ：,114,线性反馈系统的时间域综合,表征状态重构问题含义的直观说明如下图所示。,状态观测器是一个线性定常系统。,115,线性反馈系统的时间域综合,输出 渐近等价于原系统状态 的观测器，即以,观测器按功能可分为状态观测器和函数观测器。,为性能指标综合得到的观测器，称为状态观测器。,输出 渐近等价于原系统状态的一个函数 的观,测器，也即以 ： 为常阵，,为性能指标

37、来构成的观测器，称为函数观测器。,函数观测器的维数要低于状态观测器。,116,线性反馈系统的时间域综合,状态观测器，按其结构分为全维观测器和降维观测器。,维数等同于原系统的状态观测器称为全维观测器。,维数小于原系统的状态观测器称为降维观测器。,降维观测器在结构上较为简单。,全维状态观测器,维线性定常系统,其中， 和 分别为 和 实常阵。,117,线性反馈系统的时间域综合,以利用的。,状态 不能直接加以量测，输出 和输入 是可,的一个 维线性定常系统。,输出 满足如下关系式 ：,所谓全维状态观测器，就是以 和 为输入，且其,118,线性反馈系统的时间域综合,相同的结构形式，复制出一个基本系统。取

38、原系统输出,全维状态观测器可按不同方法来进行设计,矩阵 馈送到复制系统中积分器的输入端，而构成一个闭环,和复制系统输出 之差值信号作为修正量，并将其经增益,方法 ：根据已知的系数矩阵 和 ，按和原系统,系统，如下图所示。,119,线性反馈系统的时间域综合,120,线性反馈系统的时间域综合,个 维线性定常系统，待确定的系数矩阵 。,适当地选取增益矩阵 ，可使这个重构系统成为给定系统的,论证 ：被估计系统 ，满足一定的条件下，通过,重构系统 ：以原系统的可量测变量 和 为输入的一,一个全维观测器。,121,线性反馈系统的时间域综合,修正项 起到了反馈的作用。,直接复制 ：,状态观测器的维数等于被估

39、计系统。,全维状态观测器的动态方程为 ：,没有修正项 时，观测器就是对被估计系统的,如果使初态 ，则理论上可实现，对所有 均成,立 ，即实现完全的状态重构。,122,线性反馈系统的时间域综合,1、用这种观测器前必须设置初始状态 ，不,和 间的很小偏差， 的增加使 和 的偏,方便。,缺点 ：,2、如果系数矩阵 包含不稳定的特征值，那么即使,愈来愈大。,修正项 克服上述问题。,123,线性反馈系统的时间域综合,相应地观测器的结构图为下图形式。,全维状态观测器的动态方程为 ：,124,线性反馈系统的时间域综合,可得， 所应满足的动态方程为 ：,值 均具有负实部，,不管初始误差 为多大，只要使矩阵 的

40、特征,为真实状态和估计状态间的误差，则,125,线性反馈系统的时间域综合,即实现状态的渐近重构。,任意配置，则 的衰减快慢是可被控制的。,如果可通过选择增益矩阵 而使,那么一定可做到使成立，,的所有分量将以比 要快的速率衰减至零，即可使重构状,若 均具有小于 的负实部，则,态 很快地趋于真实状态 。,126,线性反馈系统的时间域综合,为能观测，则必可采用 式所表达的全维观测器来重构其,的全部特征值。,状态，并且必可通过选择增益矩阵 而任意配置,结论 ：给定 维线性定常系统是能观测的，即若,127,线性反馈系统的时间域综合,设 为能观测，再对所要设计的全维观测器指定一组,骤为 ：,期望的极点 ，

41、则设计全维状态观测器的步,算法 ：给定被估计系统,定使,的反馈增益矩阵 。,第 1 步 ：导出对偶系统,第 2 步 ：利用极点配置问题的算法，对矩阵 确,128,线性反馈系统的时间域综合,而 即为 的估计状态。,测器就为 ：,第 3 步 ：取,第 4 步 ：计算 ，则所要设计的全维状态观,129,线性反馈系统的时间域综合,方法 ：给定能控且能观测的 维线性定常系统，,其中，待定系数矩阵 和 分别为,则将其全维状态观测器取为 ：,和 实常阵。,130,线性反馈系统的时间域综合,先讨论使 式成为给定被估计系统的全维观测器的条件。,（1） 为非奇异。,结论 1 ：对任意的 和 ，使系统 成为被估计系

42、,统 的全维状态观测器的充分必要条件为 ：,（2）,（3） 的全部特征值 ，均具,有负实部。,131,线性反馈系统的时间域综合,存在一个非奇异解阵 的必要条件是 ，,结论 2 ：设 和 不具有公共的特征值，则方程，,为能观测和 为能控。,对于单输出 情形，这个条件也是充分条件。,132,线性反馈系统的时间域综合,能观测，则全维观测器的设计步骤为 ：,算法 ：给定被估计系统 ，其中 能控和,实部，且,第 1 步 ：选取 矩阵 ，使其全部特征值均具有负,第 3 步 ：求解矩阵方程 ，定出其唯一解,第 2 步 ：选取 矩阵 ，使 为能控。,阵 。,133,线性反馈系统的时间域综合,而估计状态 ：,的全维观测器就为 ：,第 4 步 ：如果 为非奇异，计算 ，且所要设计,若 为奇异，重新选取 或 / 和 。,134,线性反馈系统的时间域综合,