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1、武平一中 2018-20192018-2019 学年第二学期半期考 高二数学( (文) )试题 （考试时间：120120分钟 总分：150150分） 第 卷（选择题，共 6060分） 一、选择题( (本大题共 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) ) 2 i 1.若i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数 是（ ） z 1i 3 3 3 1 1 3i A. i B. i C. i D. 5 5 2 2 2 2 2. 设 xR ,“则1 x 2”“是 x2 x 2 0 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件
2、D既不充分也不必要条件 3.矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直。在以上三段论的 推理中（ ） A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论错误 4.若洗水壶要用 1分钟、烧开水要用12 分钟、洗茶杯要用 2 分钟、取茶叶要用1分钟、 沏茶 1 分钟，那么较合理的安排至少也需要 （ ） A. 12 分钟 B. 13分钟 C. 14 分钟 D. 15分钟 5. 用反证法证明命题:“若 a,bR, 且 a2 b 0 ，则 a,b 全为0”时，应假设为（ ） A.a 0 且b 0 B.a,b 不全为0 C.a,b 中至少有一个为0 D.a,b 中只有一
3、个为0 6.若 P a a 7 ，Q a 3 a 4 a 0，则 P,Q 的大小关系是（ ） A. P Q B. P Q C. P Q D. P,Q 的大小由 a 的取值确定 7.下列有关命题的说法正确的是（ ） A.若 p q 为真命题，则 p,q 均为真命题. B.“命题 若 x y ，则sin x sin y ”的逆否命题为假命题. C.命题 p ：x 0,sin x 2x 1，则 p 为：x 0,sin x 2x 1. D.“命题 若 x2 x 0, 则 x 0 或 x 1”“的否命题为 若x2 x 0, 则 x 0 或 x 1”. - 1 - 8.当 m 6,n 3时，执行如右图所示
4、的程序框图， 输出的 S 值为（ ） A.6 B. 30 C. 120 D. 360 9. 给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集， R 为 实数集，C 为复数集）： “ 若 a,bR, 则 a b 0 a b ”“类比推出 若 a,bC a b 0 a b , 则 ”； “ 若 a,b,c,d R, 则复a bi cdi a c 且b d ” “类比推出 若a,b,c,dQ,则ab 2 cd 2 a c且bd”； “ 若 a,bR, 则 a b 0 a b”“类比推出 若 a,bC a b 0 a b , 则 ”. 其中类比结论错误的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1
5、0. “一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说： 罪犯在 乙、 丙、丁三人之中”“，乙说： 我没有作案，是丙偷的”“，丙说： 在甲和乙中有一个人是罪犯”， “丁说： 乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是 真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（ ） A甲 B乙 C 丙 D丁 11. 已知函数 f x x x 5mx 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 2ln 2 4,5 m 2 ( ) 19 19 , A (,5 2 2 B C D , ,5 2 2 2 2 x y 2 2 12.已知双曲线C ： 1 0, 0的左、右焦点分别为
6、 ，点 为双曲线 右 a b F1,F P C 2 a b 2 2 支上一点，直线 PF1 与圆 相切，且 ，则双曲线 的离心率为 x 2 2 y2 a 1PF PF F C F 2 1 2 （ ） 100 4 A. B. C. 2 D. 3 3 5 3 第 卷（非选择题，共 9090分） 二、填空题( (本大题共 4 4 个小题，每小题 5 5 分，共 2020分，请把正确答案填在题中的横线上) ) 13. 将极坐标2, 化为直角坐标是 . 6 - 2 - 14.已知抛物线 y2 8x 的焦点为 F ，抛物线上一点 P ，若 PF 5 ，则 POF 的面积 为 . 15.已知命题 p ：存在
7、 x0,1，使得 0 成立，命题 对任意 ， a q : x R x2 4x a 0 e x 恒成立，若命题 p q 是真命题，则实数 a 的取值范围是 . 16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如 图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10,记为数列 ，将可被 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个 a 5 n 新数列 ，可以推测：b 是数列 中的第 项 b a n 2019 n 三、解答题( (本大题共 6 6 小题，共 7070分解答应写出文字说明, , 证明过程或演算步骤.).) 17.（本题满分 10 分）已知函数 f x x3 ax b
8、x ，其中 a,b 为实数，且 f x在 x 1处 2 取得的极值为 2 。 求 f x的表达式； 若 f x在 3, f 3处的切线方程。 18.（本题满分 12 分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进 行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本， 得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表： 超过1小时 不超过1小时 男 m 8 - 3 - 女 12 8 （1）求 m,n ； （2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ 附： P 2 0.050 0.010 0.001 K k k
9、3.841 6.635 10.828 K 2 n ad bc 2 a bc da cb d 19.（本题满分 12“分） 双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫） 2009 年11月11日举办的 促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11 日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.“”如今，中国的 双十一 已经从一个节日变成 “”了全民狂欢的 电商购物日 .某淘宝电商为分析近8“”年 双十一 期间的宣传费用 x （单 位：万元）和利润 y （单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格： （ 1） x （万元） 2 3 4 5 6 8 9 11
10、请 用 相 关 y （十万元） 1 2 3 3 4 5 6 8 系 数 r 说 - 4 - 明 y 与 x 之间是否存在线性相关关系（当 r 0.81时，说明 y 与 x 之间具有线性相关关系）； （2）建立 y 关于 x 的线性回归方程（系数精确到 0.1），预测当宣传费用为30万元时的利润， 附参考公式：回归方程 y bx a 中 b 和 a 最小二乘估计公式分别为 b n x y nx y i i i1 n 2 x nx 2 i i1 ， a y bx ，相关系数 r n x y nx y i i i1 n n (x 2 x) (y i i i1 i1 y) 2 参考数据： 8 i i
11、x y i1 241 ， 8 i x 2 i1 8 2 i 356 x x ， i1 8 8.25 y ， ( i y)2 6 i1 x cos 20（本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已 知曲线 （ 为参数）， C : y 3 sin 在以 O 原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 1 2 4 （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）过点 M 0,1且与直线l 平行的直线 交 于 两点，求线段 的距离 l C A, B AB 1 1 21.（本题满分 12分）已知 P 2,0,Q2,0，动点 M 满足
12、,设动点 的轨迹 kMP k M MQ 2 为曲线C - 5 - （1）求曲线C 的方程； 7 （2）已知直线 y kx1与 曲线C 交于 A, B 两点，若点 ，求证： 为定值. N NA NB ,0 4 22.（本题满分 12分）已知函数 f x ax ln xa R. （1）讨论 f x的单调性； （2）当a 1 时，不等式 xex 1 f xm对于任意 x0,恒成立，求实数 m 的取值范围. 参考答案 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分) CAACB ACCBB DD 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分) 13. 3 ,1 14.2
13、6 15. a1,4 16.5049 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.【解】(1)因为 f x x3 ax bx ，所以 f x 3x 2ax b ; 1 分 2 2 由 f x在 x 1处取得的极值为 2 ，可得 f 2a b ，3 分 3 0 1 f 1 1 a b 2 解之得： a 4,b 5 ,经检验，符合题意 所以 f x x 4x 5x （没检验扣 1 分）. .6 分 3 2 (2)由(1)可得 f x x 4x 5x ， f x 3x 8x 5， f 3 6, f 3 8 ， 3 2 2 - 6 - 所以切线方程为
14、y 8x 18. 10 分 m 8 560 18. 【解】（1）由已知，该校有女生 400人，故 ，得 ，.3 分 m 20 12 8 400 从而 n 20 812 8 48 5 分 （2）作出列联表如下： 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 合计 男 20 8 28 女 12 8 20 合计 32 16 48 K 48 160 96 24 2 2 2 0.686 28203216 35 3.841 .11 分 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关 .12 分 19. 解：（1）由题意得 x 6 ， y 4 .2 分 又 8 i i x y i1 8
15、 i 241 ， x x i1 8 i 8.25 ， y y i1 6 ， 所以 r 8 x y 8x y i i i1 8 8 (x x) (y 2 i i i1 i1 y) 2 241864 0.99 0.81 8.256 .4 分 所以， y 与 x 之间具有线性相关关系. .5 分 8 x y 8x y i i 241- 864 49 （2）因为b 0.72 ， 7 分 i1 8 2 356 -8 6 68 2 x 8x 2 i i1 72 6 0.3 4 0. a ） 68 68 .9 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y 0.7x 0.3 . 当 x 30 时， y 0.7
16、30 0.3 20.7 - 7 - 故可预测当宣传费用为30万元时的利润为 20.7 十万元（或 207 万元） .12 分 2 y 2 20解：（1）曲线C 化为普通方程为 x 1， . 3 分 3 2 由 cos 1，得 cos sin 2 ， 2 4 所以直线l 的直角坐标方程为 x y 2 0 .6 分 2 x t 2 （2）直线 的参数方程为 （t 为参数）， l 1 2 y 1 t 2 2 y 2 代入 x 1,化简得 2t2 2t 2 0 ， 3 设 A, B 两点所对应的参数分别为t ， t ， 1 2 2 则 ， t t t1t2 1 1 2 2 AB t t 1 2 3 2
17、 2 .12 分 1 21.解： 设动点 M (x, y) ， P 2,0,Q2,0，动点 M 满足 ， k MP k MQ 2 y y 1 x y x 2 2 2 可得： ，得曲线 C 的方程： .5 分 1 x 2 x 2 2 4 2 (注:没写 x 2 扣 1 分) y ( ) k x 1 由 x2 y ，得 ，显然 . 2 ( k 2 x2 k2 x k2 0 2 1) 4 2 4 0 1 4 2 4k 2k 4 2 2 设 A( 1, y ), (x , y ) ，由韦达定理得： ， x x x , x x 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2k 1 2k 1 .7 分 7 7 7
18、 49 NA NB x1 y x y ( 1)( 1) ( , ) ( , ) x x (x x ) k x x 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 4 4 4 16 7 49 (k 2 1)x x ( k )(x x ) k2 2 1 2 1 2 4 16 2k 4 4 2 7 k 2 (k 2 1) ( k ) k 2 2 2k 1 4 2k 1 2 2 49 16 - 8 - 8k 2 2k 2 4 1 49 16 15 16 15 NA NB 为定值 .12 分 16 1 ax 1 22. 解：（1）函数 f x的定义域为 0,， .1 分 f x a x x 当 a 0 时， f
19、 x 0，所以 f x在 0,上单调递增； .2 分 1 1 当 a 0时，令 f x 0得，0 ；令 f x 0得， . x x a a 1 1 , 则函数 f x在 上单调递增，在 上单调递减. 0, a a 综上所述，当 a 0 时， f x在 0,上单调递增； 1 1 , 当 a 0时， f x在 上单调递增，在 上单调递减. 0, a a .5 分 （2）设 gx xe 1 f x xe x ln x 1x 0， x x 则题意等价于：当 x 0 时， gx m 恒成立，只需 gx m. min x 1 xe 1 x 1 ，设 ，则 g x (x 1)e 1 x 1 h x xe x
20、 x x x (x 1)ex 0 h ， 1 1 所以 hx在 0,上单调递增.又 h1 e 1 0， 1 0 ， h e 2 2 1 1 x 1 0 ,1 ex 所以存 在唯一 ，使 0 ，即 ， h x x e x 0 0 0 0 x 2 0 且当 x 时， hx 0，即 gx 0，函数 gx单调递减， 0, x 0 当 x ,时， hx 0，即 gx 0 ，函数 gx单调递增. x 0 1 x e x x g x g x x ex0 x x ln 1 2 所以， ( ) ln 1 0 0 min 0 0 0 0 0 x 0 - 9 - 即 m 2. 所以，实数 m 的取值范围为 ,2. .12 分 - 10 -