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1、试题为word版 下载可打印编辑专题47 数列 数列的通项4（构造法） 【考点讲解】1、 具本目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列的前项和和通项的关系：.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添
2、项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用或来调整（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或
3、等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。3. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写 【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.4. 递推公式推导通
4、项公式方法：（1）叠加法： 叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即.（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法. （3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法：（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等
5、比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.（8） 取倒数法： 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已
6、有概念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法类型一：取倒数法已知函数,数列满足 ()求数列的通项公式; ()记,求.【分析】由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由SS作切入点探索解题的途径【解析】（）由已知得，即数列是首项,公差的等差数列.,故 () 类型二：已知数列满足，求数列的通项公式。【分析】通过对递推关系式的整理，目的是构造成特殊数列.类型三：数列满足，求数列的通项公式.【解析】由，得即，且.是以2为公比，3为首项的等比数列.利用逐差法可得 = = = =.类型四：已知数
7、列满足求数列的通项公式；求的值.【真题分析】1.【2015全国】设是数列的前n项和，且，则_【解析】本题考查的是等差数列和递推关系由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以【答案】2. 【2018优选题】已知数列满足。的前项的和，则等于 .【解析】本题考点是周期函数与数列的递推关系.由题意可知由此推得： .【答案】3.【2017届衡水中学押题卷】数列满足， （），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D4.【2017武汉市调研】已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）A. B. C. D. 【解析】, , ,则,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法
8、， ，则.选B. 【答案】B5.【2019优选题】已知数列，且，求数列的通项6.已知数列中，,，求【解析】本题考点是二次构造求数列的通项公式.在两边乘以，得：令，则，由得，则可求得，这里的所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以有：，所以即.7.【2018优选题】已知数列满足， （）求数列的通项公式；（）若，求证：对任意的， .【分析】(1)设数列的前项和为表示出两式相减得到关于的表达式,从而求出 (2) 化简之后裂项相消求出（）因为.因此有相加整理可得：. 所以对任意的，都有成立.8.【2019优选题】数列满足，（1） 设，证明是等差数列；（2） 求数列的通项公式【解析】（1）由，得所以有
9、，设数列， ，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.9.已知在数列中，且（1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式.【解析】（1）证明：由，得，且整理得：，因为数列所以，这样就有：，由，得所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.（2） 解：由（1）得，知数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以有：，由得： 所以：. 10.【2018优秀题】设正数列，满足=且，求数列的和.【模拟考场】1.已知数列满足，则= .【解析】对递推关系取倒数，得.即，分别用替换，有， 以上个式子相加，得所以， 【答案】2.数列满足，写出数列的通项公式_【答案】3.数列中, ,则数列的前5项为_, 猜想它的通项
10、公式是_.【解析】由可得，数列的通项公式为.由取倒数或得，所以，即数列是以为首项公差为1的等差数列，所以，即.4. 【解析】 .5数列满足=0，求数列a的通项公式。分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。6.已知数列，且，求数列的通项【解析】将原等式的两边同时除以，得，所以有，新数列是以2为首项，公差为1的等差数列，即 7.已知数列满足，求数列的通项公式。8.设数列的前项和为，（）求（）证明： 是等比数列；（）求的通项公式【解析】由得 （1）知 （2）（2）-（1）得 即，两边同除以，得：，易知：，又因为，所以则故9.已
11、知数列中，,，求通项.【解析】由，两边同除以即两边同乘以得： 令，则,解之得：所以. 10.设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式当时，由由（1） 两边同除以，得： 令，则,构造数列 令则由待定系数法可知则构成了以为首项，为公比的等比数列。 从而.则又可解得： 因此.11.数列的前项和为， （）求数列的通项；（）求数列的前项和【解析】（），又，数列是首项为，公比为的等比数列， 当时，12.已知：在数列中，当， ,求：通项公式.【解析】原递推式可化为： 比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.当=-3同理可求得：，所以有： .13.【2019优选题】在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立14.设数列满足（）（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）因为 当2时， 得：（2）因为试题为word版 下载可打印编辑