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1、2.3 连续型随机变量 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度 通俗的讲,连续型随机变量就是取值可以值可以连续地充满某个区间的随机变量. 定义2.4 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有 (2.2) 则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数,第2章 随机变量及其分布,设离散型随机变量X在a, b内取n个值: x1=a, x2, x3, x4, ,xn=b,X,折线下面积之和！,画X的概率 直方图：,定义的引出,即小矩形的面积为取对应点的概率,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,若X为连续型随机变量，由于X
2、在a, b内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线,而且：,由此推出连续 型随机变量 的定义,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,再看连续型随机变量的定义: 定义2.4 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有 (2.2) 则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数 从(2.2)式可以看出，连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有 (2.3),2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,概率密度函数的性质,这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量X的概率 密度函数的
3、充要条件.,(3) X落入区间a,b内的概率,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关,由此可得,这是因为,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.,1,问题：f (a)是=a的概率吗？,不是!,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,如果为连续型随机变量，虽然PX=a=0，但 X=a 并非不可能事件.,可见，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推
4、出 B=,问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？,类似可知，,不一定！,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,【例2-9】设随机变量X的概率密度为 试求：(1) 系数A；(2) X落在(1/2，1/2)内的概率； (3) X的分布函数F(x) 解：(1) 由概率密度的归一性知 所以,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,(2) (3) 因为,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,故X的分布函数为,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,解:,【补充例】,得,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,【例2.1
5、0】设随机变量X的概率密度为 现对X进行n次独立重复观测，以Y表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y的分布律 解：事件“观测值不大于0.1”，即事件X 0.1的概率 由题意Y服从B(n，0.01)，于是Y的分布律为,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,【例2.11】设随机变量X的分布为 求： (1) 系数A和B； (2) X落在(1，1)内的概率； (3) X的概率密度 解：(1) 由于 可知 解得,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,于是,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,2.3.2 常用连续分布 1. 均匀分布 定义2.8 如果连续型随机变量X具有概率密度 (2.4)
6、则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b),2.3 连续型随机变量,均匀分布的意义,事实上，若X U(a, b)，则对于满足,的c,d, 总有,2.3.2 常用连续分布,均匀分布的分布函数为： f(x)和F(x)的图形见图2-6 图2-6 均匀分布的概率密度与分布函数,2.3.2 常用连续分布,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。,再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为
7、候车时间服从区间(0，a)上的均匀分布 ,2.3.2 常用连续分布,解 设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且,【补充例】 （等待时间）公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率.,所求概率为,X的概率密度为,2.3.2 常用连续分布,【例2.12】设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率 解：因为随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，所以X的概率密度为 事件“对X的观测值大于3”的概率为,2.3.2 常用连续分布,设Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数， 则 于是,2.3.2 常
8、用连续分布,2. 指数分布 定义2.9 如果随机变量X概率密度为 (2.6) 则称X服从参数为 的指数分布，记为XExp( ) 指数分布的分布函数为 (2.7),2.3.2 常用连续分布,指数分布的概率密度与分布函数的图形如下图所示 图2-7 指数分布的概率密度与分布函数,2.3.2 常用连续分布,因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用作各种“寿命”分布的近似分布，例如电子元器件的寿命，随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布指数分布在可靠性理论与排队论中有着广泛的应用,2.3.2 常用连续分布,下面给出指数分布的一个有趣性质 定理2.2（指数分布的无记忆性） 设 ，则对任意 s 0,
9、t 0 ，有 证：因为XExp()，所以PXs=1-F(s)=es/， 于是,2.3.2 常用连续分布,【例2.13】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分钟）服从 = 3的指数分布如果有一顾客恰好在你前头走到空闲的取款机，求(1) 该顾客至少等候3分钟的概率；(2) 该顾客等候时间在3分钟至6分钟之间的概率 如果该顾客到达取款机时，正有一名顾客使用着取款机，上述概率又是多少？,2.3.2 常用连续分布,解：以X表示该顾客前面这位顾客所用服务时间，F(x)为X的分布函数，由(2.7)，所求概率 (1) (2) 如果该顾客到达时取款机正在为一名顾客服务，同时没有其他人在排队等候，那么由指数
10、分布的无记忆性，取款机还需要花在你前面顾客身上的服务时间，与他刚到取款机相同，从而问题的答案不变,2.3.2 常用连续分布,3.正态分布 定义2.10 如果随机变量X的概率密度为 (2.9) 其中， ( 0)为参数，则称X服从参数为， 的正态分布（又称为高斯分布），记为 ,Carl Friedrich Gauss Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany),2.3.2 常用连续分布,显然 f(x)0
11、，下面来证明 若令 ， 得到 记 ，则有 ， 利用极坐标计算二重积分,2.3.2 常用连续分布,而 ，故有 即 ，于是 可见(2.9)中的f(x)满足概率密度的两个基本性质,2.3.2 常用连续分布,正态分布的分布函数为 (2.10) f(x)和F(x)的图形如图2-8 图2-8 正态分布的概率密度和分布函数,2.3.2 常用连续分布,2.3.2 常用连续分布,正态概率密度函数的几何特征,2.3.2 常用连续分布,2.3.2 常用连续分布,2.3.2 常用连续分布,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量
12、 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,2.3.2 常用连续分布,特别，当时称X服从标准正态分布，记作XN(0，1)，其概率密度和分布函数分别用 (x)和(x)表示，即,2.3.2 常用连续分布,标准正态分布的概率密度如图2-11所示易知 (x) = 1 (x) 图2-11 标准正态分布的概率密度 附表2对给出了 (x)的值，可供查用,2.3.2 常用连续分布,【例2.14】设XN(0，1)，利用附表2，求下列事件的概率： (1) PX 1.52 = (1.52) = 0.9357 (2) PX 1.52 = 1 (1.52) = 0.0643 (3) P| X | 1.52 =
13、(1.52) ( 1.52) = 2 (1.52) 1 = 0.8714,2.3.2 常用连续分布,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,2.3.2 常用连续分布,课堂练习,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,2.3.2 常用连续分布,