第二章 质点动力学.ppt

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1、质点动力学研究的是质点运动与力的关系。本章学习的基本规律是牛顿定律以及由此推出的三个质点运动定理：动量定理、动能定理和角动量定理。重点学习这些基本规律的应用。,第二章 质点动力学,三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建立了动力学三大定律和万有引力定律。若没有后者，就不能充分显示前者的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推上荣耀的顶峰。,自然和自然规律隐藏在黑暗之中，上帝说“让牛顿降生吧”，一切就有了光明；但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，就恢复到现在这个样子。,魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，她在更加坚实的基础上确立了自己的使用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了又一个繁花

2、似锦的春天。,2.1.1 惯性定律和惯性参考系,它定性地阐明了力的涵义，力是改变物体运动状态的原因。,牛顿第一定律 指明了任何物体都具有保持其原有运动状态不变的特性惯性，因此又称第一定律为惯性定律。实际上第一定律所描述的是力处于平衡时物体的运动规律。,2.1 牛顿运动定律,牛顿第一定律： 一个质点，如果没有受到其他物体的作用，就将保持其静止或匀速直线运动状态。 或者说 一个自由粒子永远静止或作匀速直线运动。,甲是惯性系， 乙是非惯性系,一个参考系是不是惯性系,只能由实验确定。,天体运动的研究指出：以太阳中心为原点,以指向某些恒星的直线为坐标轴,则所观察到的天文现象都与 牛顿定律和万有引力定律推

3、出的结论相符合,因此,这样的日心参考系是惯性系。 研究人造地球卫星和远程导弹的运动，地心参考系是近似程度相当好的惯性系。 在研究地球表面附近物体的运动时，地面系（或固定在地面上的物体）就是近似程度相当好的惯性系。,2.1.2 力的概念,运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。,2.1.3 牛顿第二定律,1. 上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量 都是同一时刻的物理量。,3. 在一般情况下力 是一个变力,5、牛顿第二定律只适用于质点的运动，适用于宏观低速的惯性系。,4、质量是物体惯性的量度，称为惯性质量。,2.1.4 牛顿第三定律,表述：当物体 给物体 一个作用力 时

4、，物体 也必定同时给物体 一个反作用力 ；作用力与反作用力大小相等，方向相反，而且作用在同一条直线上。即,2.2 力学中常见的力,1、开普勒行星三定律:,（1）行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。 （2）行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）行星公转周期的平方与它们轨道半长径的立方成正比。,即,恒量,（恒量值决定于中心天体的质量 ）,2、万有引力和重力,万有引力：存在于任何两个物体之间的吸引力。,即,2.2,为地球上以地心为圆心的半径为 r 的球的质量。,重力：地球表面附近的物体因地球吸引而受到的力，方向竖直向下。,忽略地球自转，则,其中,3、弹性力,物体受力形变时，有企图恢

5、复原状的趋势，这种抵抗外力而力图恢复原状的力称为弹性力。,常见三种表现形式：,（1）压力：两个物体由于积压彼此发生形变，产生对对方的弹力，称为压力或支持力，其方向与接触面垂直。,如图所示，墙壁对细杆的压力 和支持力 。,例：如图所示，试分析静止圆球所受的力。,圆球和斜面虽有接触但球与斜面之间无相互作用的弹力。,（2）拉力：绳或线对物体的拉力f ，其方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向 ，如图1所示。,绳被拉紧时， 绳的内部各段之间的相互作用力T称为张力。如图2 所示，绳中P点的张力T为A和B两部分之间的相互作用力 。,在绳中任取一段 ，其质量为 ，如图3所示，根据牛顿第二定律：,可见：重绳加速运

6、动时，绳中各处的张力不等。忽略绳的质量时，各点的张力才会相等。,（3）弹簧的弹力：又称弹性恢复力。在弹性限度内，遵守胡克定律：,4、摩擦力,滑动摩擦力：当物体间发生相对滑动时，在接触面上出现的阻止物体间相对滑动的力。,实验表明：,方向与相对滑动的方向相反。,静摩擦力：当两个物体相对静止但有相对滑动趋势时，接触面间产生的摩擦力。,实验表明，最大静摩擦力为,（1） 静摩擦力在达到最大值之前，其大小始终与外力相等，而且随外力的变化而变化。 （2）擦系数 取决于接触面的材料和表面的粗糙程度。,一般情况下， 。在通常计算中，均可视为常数，并且近似相等。,说明：,以自行车前后轮为例，说明摩擦力的方向。,2

7、.3 牛顿第二定律的应用,（1）已知运动求力：,（2）已知力求运动：,2.3,（1）隔离物体,将所研究的物体从周围的物体中隔离出来，单独画出它的受力图。,（2）受力分析,按重力、弹力、摩擦力的顺序分析物体的受力情况，画出受力图。,（3）选取坐标系,根据物体的运动情况，选取适当的坐标系。若不知轨道，取直角坐标系；若已知运动轨道，可取自然坐标系；若物体作有心运动，取极坐标系。,（4）列方程，求解（对二维运动）,直角坐标系：,自然坐标系：,极坐标系：,例2-1：计算一小球在水中竖直沉降的速度 ，已知小球质量为m，水对小球的浮力为B，水对小球运动的阻力为 式中K是一常量。,解 ：,受力分析如图所示：,

8、积分得：,初始条件：t=0 时 v=0,例2-2：升降机内有一固定光滑斜面，倾角为，如图所示。当升降机以匀加速 上升时，质量为m的物体A沿斜面滑下，求A对地面的加速度。,A对地的加速度为,得：,根据牛顿第二定律，有,解：如图所示,由水面构成的曲面满足：,积分得：,例2-3：一桶水绕竖直对称轴转动，角速度 恒定，转动稳定后，桶内水面为一凹面，试确定水面的形状。,因此有,水面为一旋转抛物面,郭琴溪:,郭琴溪:,2.4.1 动量定理,2.4 质点的动量定理,大小：mv 方向：速度的方向 单位：kg m/s 量纲：MLT1,1、动量 （描述质点运动状态，矢量）,方向：速度变化的方向,单位：Ns 量纲：

9、MLT1,2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）,（1） 常力的冲量,2.4,当力连续变化时,（2） 变力的冲量,3、质点的动量定理,根据牛顿第二定律：,得，动量定理的微分式,动量定理的积分式,上式表明，质点所受的合外力在一段时间内的冲量，等于这段时间内质点动量的增量。,即,力对时间的积累作用导致物体动量的变化。因此，冲量的方向与动量增量的方向一致。如果力的方向不变，冲量的方向才与力的方向一致。显然，当质点所受的合外力为零时，动量守恒，它意味着质点作匀速直线运动。,动量定理的分量式： （对于二维运动）,可见,注意：动量为状态量，冲量为过程量。,2.4.2 动量定理的应用,冲力的特点：作用时间

10、极短，作用力极大而且变化很快，如图所示。因此，动量定理主要解决打击、碰撞一类问题 ，这里重点强调其矢量性。,平均冲力： 根据动量定理，质点动量的改变主要是由碰撞过程中的冲量来决定。为了估计冲力的大小，引入平均冲力的概念。,1）确定研究对象（质点） 2）进行受力分析 3）应用动量定理列方程：采用几何法，利用（1）式求 解；或采用解析法，利用（2）式求解。,例2.4.1、质量为2.5g的乒乓球以10 m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s 的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为 45o 和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01

11、s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。,解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有：,取坐标系，将上式投影，有：,为I与x方向的夹角。,此题也可用矢量法解，作矢量图用余弦定理和正弦定理，可得：,例2.4.2：煤与传送带的连续碰撞,如图所示，煤由传送带A落到B，已知煤下落的高度为 ，两传送带的速率均为 ，A带水平，B带与水平夹角 ， 单位时间内煤的输送量为 。 求煤对B带的作用力。,解：建立直角坐标系，采用矢量式求解。,取极短时间 内落到B带上的煤为 可视为质点，应用质点的动量定量。,方法 一 ：对由平抛到碰撞整个过程应用动量定理,则有,方法二：只对碰撞过

12、程应用动量定理,则有,2.5 质点的动能定理和机械能守恒,2.5.1 功和功率,力对空间的积累效果用力做的功来表示。,1、 功：作用于质点的力在质点位移方向上的分量与该位移大小的乘积。,2.5.1,（3）合力的功,合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。,注意：1、功是过程量，一般来说，与路径有关。 2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。,若物体同时受到 的作用，总功为：,于是，有,2、功率：单位时间内力所做的功。,则有,（4）用不同坐标系计算功,3、功的计算举例,（1）重力的功（恒力沿曲线做功）,如图所示，质量为 的质点只在重力的作用下由 点到达

13、 点。,因为,所以，重力做功为,重力做功与路径无关，只与始末位置有关。,（2）弹力的功（变力沿直线做功）,如图所示， 点为平衡位置，质点在弹力作用下由 处到达 处。根据胡克定律，弹力为,弹力的功为,弹力做功也与路径无关，只与始末位置有关。,（3）万有引力的功： （变力沿曲线做功）,如图所示,设太阳的质量为 ，固定不动。行星质量为 ，绕太阳由 点转到 点。,行星受到的万有引力为,引力的元功为,行星由 到 ，引力所做的总功为,引力做功也与路径无关，只与始末位置有关。,（4）摩擦力的功：,如图所示，质量为 的物体在粗糙的水平面上沿半径为 圆周运行一周，摩擦系数为 。,摩擦力为,摩擦力的元功为,总功为

14、,摩擦力做功与路径有关。,2.5.2 保守力、势能,2.5.2,做功与路径有关的力称为非保守力或耗散力。摩擦力为非保守力。,势能是相对量，要确定某一位置的势能，必须选取势能为零的参考点。在理论上，零势能点的选取是任意的。在实际应用中，一般取法为：,重力势能：取地面为零势能面，则有,（可正、可负）,弹性势能：取弹簧自然长处为零势能点，则有,（恒为正值）,引力势能：取无限远处为零势能点。则有,（恒为负值）,1、只要有保守力，就可引入相应的势能。 2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。 3、势能仅有相对意义，所以必

15、须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。,小结,2.5.3 动能定理和机械能守恒定律,1、动能定理,由牛顿第二定律，,两边标乘 ，得,则有,（称为动能定理的微分形式）,两边积分得动能定理得积分形式,上式表明：作用于质点的合力所做的功等于质点的动能的增量。,2.5.3,2、功能原理,若质点所受的力为保守力和非保守力，则,其中,则有,质点在运动过程中，非保守力作的功等于其机械能的增量。称为功能原理。,定义机械能：,即,3、机械能守恒定律,此式表明，仅有保守力做功时质点的机械能守恒。,势能是由质点的位置决定的能，动

16、能是由运动状态决定的能，二者都是状态量。力在做功的过程中，质点的状态发生变化，所以功是一个过程量。质点的动能定理只适用于惯性参考系。 势能、动能和功的单位相同均为 J （焦耳），量纲都是 。,（常量）,做功与路径有关,解：两种情况下所做的功分别为,例2.5.2 保守力作用下质点的圆周运动,如图所示，质量为 小珠，穿在半径为 的固定于竖直平 面内的光滑圆圈上，并可滑动。一条自然长为 ， 劲度系数为 的弹性轻绳一端固定于 点，另一端系住小珠。今使小珠从 点以速率 开始运动，当运动到弹性绳为自然长时，求：（1）小珠的速率；（2）小珠与圆轨道间的相互作用力。,解： （1）小珠运动过程中仅有保守力做功，

17、机械能守恒。,取 点为零势能点，则有,其中,解得小珠在 点的速率,（2）设轨道对小珠的作用力 方向如图所示，根据牛顿第二定律，沿轨道法线方向有,其中,则在 点轨道对小珠的作用力为,负号说明作用力 的方向沿半径指向圆心。,2.6 质点的角动量定理和角动量守恒,2.6.1 质点对定点的角动量定理及守恒定律,1、力矩：,是反映力对物体转动的作用效果。,力矩定义为 受力质点相对于固定点O 的位置矢量 与力 的矢量积 。即,力矩的大小：,式中 是固定点到力的作用线的垂直距离，称为力臂。,2.6.1,力矩的方向：,如图所示，力矩的方向垂直于 和 决定的平面，且 、 和 服从右手螺旋法则。,在直角坐标系中：

18、,则有,三个分量为：,2、角动量：,描述质点转动状态的物理量 。,角动量的方向 垂直与于 和 决定的平面，服从右手螺旋法则。,角动量的大小,（又称动量矩）,量纲：L2MT-1,如，质点做圆周运动。,角动量定义为 质点相对于固定点 的位置矢量 与动量 的矢量积。即,单位：,3、角动量定理,由牛顿第二定律知，,用 叉乘等式的两边,得,此式表明：质点所受得合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。,4、角动量守恒定律：,若 ， 则 。,即 当质点所受的合外力矩为零时，该质点的角动量保持不变。这一结论称为角动量守恒定律。,如：行星绕着太阳转，引力的方向始终指向太阳，对太阳力矩为零，行星对太阳的角动量守恒。

19、它意味着行星绕太阳转动的轨道平面不变。,2.6.2 质点对定轴的角动量定理及守恒定律,1、角动量定理,若取 z 轴为转轴，则角动量定理在 z 轴上的投影式为：,上式称为质点对 z 轴的角动量定理。,2、角动量守恒定律,即 当质点对 z 轴的力矩为零时，它对 z 轴的角动量守恒。,注：角动量守恒定律和动量守恒定律一样，都是自然界的 一条最基本的规律，在更广泛的情况下，不依赖于牛顿定律。,2.6.2,3、有心运动,有心力：质点所受力的作用线始终通过某一定点，此点称为力心，此力称为有心力。质点的运动称为有心运动。,如，行星绕着太阳转；电子绕着原子核转等。,有心运动的特点：,（1） 有心力矩为零，角动

20、量守恒；（2）有心力为保守力，机械能守恒。,例2.6.1 质点做直线运动时的角动量和力矩,解：,由此看出，两者的关系为,如图所示，求做自由落体运动的质点 , 时刻对固定点 的力矩和角动量。已知初始时质点在水平位置，距离 点为 。,质点对 点的角动量为,质点对 点的力矩为,例2.6.2 质点在有心力作用下的运动,质量为 小球系于弹性绳的一端，绳的另一端固定于光滑水平面的一点O 。已知弹性绳的劲度系数为 ，小球在A处，绳为自然长度 ，沿着与绳垂直的方向用力击球，使球获得初速度 ，到达B处，绳伸长为 。求小球在 B 处的速度的大小与绳间的夹角 。,解：如图所示，质点在运动的过程中，仅受有心力的作用。因此，角动量守恒，机械能守恒。则有,由上边两式解得,第二章结束,