《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3．7 点到平面的距离 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3．7 点到平面的距离 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 37点到平面的距离点到平面的距离 读教材读教材填要点填要点 1点到平面的距离点到平面的距离 (1)定义：从空间中一点定义：从空间中一点 P 到平面到平面 作垂线作垂线 PD 交平面交平面 于于 D，则线段，则线段 PD 的长度的长度 d 称称 为点为点 P 到平面到平面 的距离的距离 (2)求法：平面求法：平面 的法向量的法向量 n 以及平面上任一点以及平面上任一点 A，则在法向量，则在法向量 n 所在方向上的投所在方向上的投AP 影长度影长度 d 就等于点就等于点 P 到平面到平面 的距离，即的距离，即 d. | | n |n| | 2直线与平面的
2、距离直线与平面的距离 设直线设直线 l 平行于平面平行于平面 ，则，则 l 上所有的点到上所有的点到 的距离相等，称为的距离相等，称为 l 与与 的距离，显然，的距离，显然， 只要在只要在 l 上任取一点上任取一点 P，求出，求出 P 到到 的距离，就得到的距离，就得到 l 与与 的距离的距离 3平面与平面的距离平面与平面的距离 设两个平面设两个平面 与与 平行， 则平行， 则 上所有的点到上所有的点到 的距离的距离 d 相等，相等， d 称为两个平行平面称为两个平行平面 ， 之间的距离显然，只要在之间的距离显然，只要在 上任取一点上任取一点 P，求出，求出 P 到到 的距离，就得到了这两个平
3、面的的距离，就得到了这两个平面的 距离距离 小问题小问题大思维大思维 1求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么 关系？ 求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么 关系？ 提示：直线与平面平行，平面与平面平行提示：直线与平面平行，平面与平面平行 2点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？ 提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离 求点
4、到平面的距离求点到平面的距离 四棱锥四棱锥PABCD中， 四边形中， 四边形ABCD为正方形，为正方形， PD平面平面ABCD， PDDA2， F， E 分别为分别为 AD，PC 的中点的中点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求证：求证：DE平面平面 PFB； (2)求点求点 E 到平面到平面 PFB 的距离的距离 自主解答自主解答 (1)证明：以证明：以 D 为原点，为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系， 则则 P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)， E(0,1,1) (1,0,2)，(1,2,0)，FP FB (0,1,1)
5、，DE ，DE 1 2 FP 1 2 FB 平面平面 PFB.DE 又又DE平面平面 PFB， DE平面平面 PFB. (2)DE平面平面 PFB， 点点 E 到平面到平面 PFB 的距离等于点的距离等于点 D 到平面到平面 PFB 的距离的距离 设平面设平面 PFB 的一个法向量的一个法向量 n(x，y，z)， 则则Error!Error!Error!Error! 令令 x2，得，得 y1，z1. n(2，1,1)，又，又(1,0,0)，FD 点点 D 到平面到平面 PFB 的距离的距离 d. |n| |n| 2 6 6 3 点点 E 到平面到平面 PFB 的距离为的距离为. 6 3 利用空
6、间向量求点到平面的距离的四步骤利用空间向量求点到平面的距离的四步骤 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1长方体长方体 ABCDA1B1C1D1中，中，AB4，AD6，AA14，M 是是 A1C1的中点，的中点，P 在线 段 在线 段 BC 上，且上，且|CP|2.求点求点 M 到平面到平面 AB1P 的距离的距离 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(4,0,0)，B1(0,0,4)， P(0,4,0)，M(2,3,4) 设设 n(x， y， z)是平面是平面 AB1P 的一个法向量，则的一个法向量，则 n， n，AB1 AP (4,0,4)，
7、(4,4,0)，AB1 AP Error!Error! 因此可取因此可取 n(1,1,1)，由于，由于(2，3，4)，MA 所以点所以点 M 到平面到平面 AB1P 的距离为的距离为 d， |n| |n| |2 1 3 1 4 1| 3 53 3 故故 M 到平面到平面 AB1P 的距离为的距离为. 53 3 求直线与平面、平面与平面的距离求直线与平面、平面与平面的距离 棱长为棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中，中， E， F 分别为分别为 BB1， CC1的中点，的中点， DG DD1，过，过 E，F，G 的平面交的平面交 AA1于点于点 H，求直线，求直线 A1D1到
8、平面到平面 EFGH 的距离的距离 1 3 自主解答自主解答 以 以 D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系 则则 E，F， ( (1， ，1， ， 1 2) ) ( (0， ，1， ， 1 2) ) G，D1(0,0,1)， ( (0， ，0， ， 1 3) ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1,0,0)，EF .FG ( (0， ， 1， ，1 6) ) 设平面设平面 EFGH 的一个法向量为的一个法向量为 n(x，y，z)， 则则 n0，且，且 n0，EF FG 即即Error!Error!令令 z6，可得，可得 n
9、(0，1,6) 又，又，d.D1F ( (0， ，1， ， 1 2) ) |n| |n| 437 37 (1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离 (2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后 求出平面的法向量，正确运用公式求解 用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后 求出平面的法向量，正确运用公式求解 2正方体正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 1，求平面，求平面 A1BD 与平面与平面 B1CD1间的距离间
10、的距离 解：以解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则则 A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， (0,1，1)，(1,0，1)，A1B A1D (1,0,0)A1D1 设平面设平面 A1BD 的一个法向量为的一个法向量为 n(x，y，z)， 则则Error!Error!Error!Error! 令令 z1，得，得 y1，x1， n(1,1,1) 点点 D1到平面到平面 A1BD 的距离的距离 d. |n| |n| 1 3 3 3 平面平面 A1BD 与平面与平面 B1CD1间的距离等于点间的距离等于点 D1到平面到平面 A1
11、BD 的距离，的距离， 平面平面 A1BD 与平面与平面 B1CD1间的距离为间的距离为. 3 3 解题高手解题高手 多解题多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试条条大路通罗马，换一个思路试一试 如图，已知正方体如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 a，求直线，求直线 BD 与与 B1C 的的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 距离距离 解解 法一：连接 法一：连接 AC，交，交 BD 于点于点 O，则，则 O 为为 AC，BD 的中点，取的中点，取 CC1的中点的中点 M，连 接 ，连 接 BM 交交 B1C 于于 E， 连接， 连接 OM， AC1， 则，
12、 则 OMAC1， 过， 过 E 作作 EFOM 交交 OB 于于 F， 则， 则 EFAC1， 又斜线又斜线 AC1的射影为的射影为 AC，BDAC， BDAC1，EFBD. 同理同理 AC1B1C，EFB1C. EF 为为 BD 与与 B1C 的公垂线的公垂线 M 为为 CC1的中点，的中点，MECBEB1， . MC BB1 ME BE 1 2 BMa，BE MBa， 5 2 2 3 5 3 EFOM， ， ， BF BO BE BM 2 3 故故 BF OBa， 2 3 2 3 EFa.BE2BF2 3 3 法二：法二：(转化为直线到平面的距离转化为直线到平面的距离)BD平面平面 B1
13、D1C，B1C平面平面 B1D1C，故，故 BD 与与 B1C 的距离就是的距离就是 BD 到平面到平面 B1D1C 的距离为的距离为 h，由，由 VBB1D1CVD1B1BC， 即即 (a)2h a2a，解得，解得 ha. 1 3 3 4 2 1 3 1 2 3 3 法三：法三：(转化为两平行平面间的距离转化为两平行平面间的距离)易证：易证： 平面平面 B1D1C平面平面 A1BD，AC1平面平面 A1BD，用等体积法易证，用等体积法易证 A 到平面到平面 A1BD 的距离 为 的距离 为a.同理可知同理可知 C1到平面到平面 B1D1C 的距离为的距离为a， 而， 而 AC1a， 故两平面
14、间的距离为， 故两平面间的距离为a. 3 3 3 3 3 3 3 即即 BD 与与 B1C 的距离为的距离为a. 3 3 法四：法四：(垂面法垂面法)如图，如图，BD平面平面 B1CD1， B1D1A1C1， B1D1OO1， B1D1平面平面 OO1C1C. 平面平面 OO1C1C平面平面 B1D1CO1C， O1B1D1， 故， 故 O 到平面到平面 D1B1C 的 距离为 的 距离为 RtO1OC 斜边上的高，斜边上的高， ha. OCOO1 O1C 2 2 aa 3 2a 3 3 法五：法五：(极值法极值法)如图，在如图，在 B1C 上取一点上取一点 M， 作， 作 MEBC 交交 B
15、C 于于 E， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 过过 E 作作 ENBD 交交 BD 于于 N， 易知， 易知 MN 为为 BD 与与 B1C 的公垂线时，的公垂线时，MN 最小最小 设设 BEx，则，则 CEMEax，ENx， 2 2 MN 1 2x 2 a x 2 ， 3 2x 2 2axa2 3 2( (x 2 3a) ) 2 a 2 3 当当 x a 时，时，MNmina. 2 3 3 3 1ABC 中，中，ABAC5，BC6，PA平面平面 ABC，PA8，则点，则点 P 到到 BC 的距离 是 的距离 是( ) A. B255 C3D455 解析：在平面解析：在平面 AB
16、C 内作内作 AHBC，垂足为，垂足为 H，连接，连接 PH， 则则 PH 即为点即为点 P 到到 BC 的距离的距离 PH4.824264165 答案：答案：D 2ABC 中，中，C90，点，点 P 在在ABC 所在平面外，所在平面外，PC17，点，点 P 到到 AC，BC 的距 离 的距 离 PEPF13，则点，则点 P 到平面到平面 ABC 的距离等于的距离等于( ) A7B8 C9D10 解析：点解析：点 P 在平面在平面 ABC 内的射影在内的射影在C 的平分线上，易求的平分线上，易求 d7. 答案：答案：A 3已知夹在两平行平面已知夹在两平行平面 ， 内的两条斜线段，内的两条斜线段
17、，AB8 cm，CD12 cm，AB 和和 CD 在在 内的射影的比为内的射影的比为 35，则，则 ， 间的距离为间的距离为( ) A. cmB. cm517 C. cmD. cm1921 解析：设解析：设 ， 间距离为间距离为 d，AB，CD 在在 内的射影长分别为内的射影长分别为 3x,5x，由，由Error!Error!解得解得 d .19 答案：答案：C 4.如图，在三棱锥如图，在三棱锥 ABCD 中，中，AC底面底面 BCD，BDDC，BDDC，ACa， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ABC30， 则， 则 C 点到平面点到平面 ABD 的距离是的距离是_ 解析：设解析
18、：设 C 到平面到平面 ABD 的距离为的距离为 h，则由，则由 VCABDVABCD得，得， S ABDh S BCDAC， ， 1 3 1 3 即 即 BDCDAC BDADh， 1 3 1 2 1 3 1 2 解得解得 ha. 15 5 答案：答案：a 15 5 5.如图， 等边三角形如图， 等边三角形 ABC 的边长为的边长为 4， D 为为 BC 中点， 沿中点， 沿 AD 把把ADC 折叠到折叠到ADC处， 使二面角 处， 使二面角 BADC为为 60，则折叠后点，则折叠后点 A 到直线到直线 BC的距离为的距离为_ 解析：取解析：取 BC中点中点 E，连接，连接 AE，DE， 则
19、则 AEBC，DEBC， BDAD，CDAD， BDAD，CDAD， BDC即为二面角即为二面角 BADC的平面角，的平面角， BDC为正三角形，为正三角形， 即即|AE|为为 A 到到 BC的距离，的距离， RtAEB 中，中，|AE|.|AB|2|BE|215 答案：答案：15 6设设 A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，求，求 D 到平面到平面 ABC 的距离的距离 解：设平面解：设平面 ABC 的法向量的法向量 n(x，y，z)， n0，n0，AB AC Error!Error! 即即Error!Error!Error!Error! 令令 z2，则，
20、则 n(3,2，2) cosn，AD 3 7 2 7 2 7 3222 2 2 7 2 7 2 72 点点 D 到平面到平面 ABC 的距离为的距离为 d|cosn|.AD AD 49 17 4917 17 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 一、选择题一、选择题 1 三个平面两两垂直， 它们的三条交线交于一点 三个平面两两垂直， 它们的三条交线交于一点 O， 点， 点 P 到三个平面的距离之比是到三个平面的距离之比是 1 23，PO2，则点，则点 P 到这三个平面的距离分别是到这三个平面的距离分别是( )14 A2,4,6 B4,8,12 C3,6,9D5,10,15 解析：将解析：
21、将 P 点到三个平面的距离点到三个平面的距离 k,2k,3k 看作是一个长方体的长、宽、高，而看作是一个长方体的长、宽、高，而 PO 为其 对角线， 为其 对角线， 则则 PO2k2(2k)2(3k)2，解得，解得 k2， P 点到这三个面的距离分别是点到这三个面的距离分别是 2,4,6. 答案：答案：A 2正方体正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为中，棱长为 a，设点，设点 C 到平面到平面 ABC1D1的距离为的距离为 d1，D 到平 面 到平 面 ACD1的距离为的距离为 d2，BC 到平面到平面 ADD1A1的距离为的距离为 d3，则有，则有( ) Ad3d1d2Bd1d2d3
22、Cd1d3d2Dd2d1d3 解析：易求解析：易求 d1a，d2a，d3a. 2 2 3 3 答案：答案：D 3 已知直二面角 已知直二面角l， 点， 点A， ACl ， C为垂足，为垂足， B， BDl， D为垂足， 若为垂足， 若AB2， AC BD1，则，则 D 到平面到平面 ABC 的距离等于的距离等于( ) A.B. 2 3 3 3 C.D1 6 3 解析：设点解析：设点 D 到平面到平面 ABC 的距离等于的距离等于 h. 依题意得，依题意得，AC，ACBC， BC，CD.AB2AC23BC2BD22 由由 VDABCVADBC得，得， S ABC h S DBC AC， 1 3
23、1 3 h 1， 1 3 ( ( 1 2 1 3) ) 1 3 ( ( 1 2 2 1) ) 由此解得由此解得 h，即点，即点 D 到平面到平面 ABC 的距离等于的距离等于. 6 3 6 3 答案：答案：C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.如图，正方体的棱长为如图，正方体的棱长为 1，C，D，M 分别为三条棱的中点，分别为三条棱的中点，A，B 是 顶点，那么点 是 顶点，那么点 M 到截面到截面 ABCD 的距离是的距离是( ) A.B. 2 3 6 3 C.D. 1 3 6 6 解析：设点解析：设点 M 到到 ABCD 的距离为的距离为 h，连接，连接 AC，AM， 作作
24、CFAB，垂足为，垂足为 F，连接，连接 CM， 则则 VCABMVMABC， VCABM S ABM CM 1， 1 3 1 3 1 4 1 12 又又 VMABC ABCFh h ， ， 1 3 1 2 1 3 1 2 2 3 22 h 4 则由 ，得则由 ，得 h . h 4 1 12 1 3 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 5BAC 在平面在平面 内，内，PA 是是 的斜线，若的斜线，若PABPACBAC60，PAa， 则点 ， 则点 P 到到 的距离为的距离为_ 解析：作解析：作 PO 于于 O. 由由PABPAC，可知，可知 AO 平分平分BAC， 作作 OCAC 于于 C，
25、连接，连接 PC， 则则 PCAC，PAa，AC a， 1 2 于是于是 AOa， AC cos 30 3 3 POa.PA2AO2 6 3 答案：答案：a 6 3 6 在长方体 在长方体ABCDA1B1C1D1中， 底面是边长为中， 底面是边长为2的正方形， 高为的正方形， 高为4， 则点， 则点A1到截面到截面AB1D1 的距离为的距离为_ 解析：如图所示，设解析：如图所示，设 A1C1B1D1O1， B1D1A1O1，B1D1AA1， B1D1平面平面 AA1O1， 故平面故平面 AA1O1平面平面 AB1D1，其交线为，其交线为 AO1， 在平面在平面 AA1O1内过点内过点 A1作作
26、 A1HAO1于于 H，则易知，则易知 A1H 的长即是点的长即是点 A1到平面到平面 AB1D1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 的距离的距离 在在 RtA1O1A 中，中，A1O1，2 AO13，A1O2 1AA2 12 由由 A1O1A1AA1HAO1，可得，可得 A1H . 4 3 答案：答案：4 3 7.如图，正方体如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 1，O 是底面是底面 A1B1C1D1的中心，则的中心，则 O 到平面到平面 ABC1D1的距离为的距离为_ 解析：连接解析：连接 A1D 交交 AD1于于 E. 则则 A1DAD1，A1DAB， A1D
27、平面平面 ABC1D1， A1E 为为 A1到平面到平面 ABC1D1的距离，的距离， A1E A1D， 1 2 2 2 O 为为 A1C1的中点，的中点， O 到平面到平面 ABC1D1的距离等于的距离等于 A1E 的 ，的 ， 1 2 d A1E. 1 2 2 4 答案：答案： 2 4 8已知平面已知平面 ，且它们之间的距离为，且它们之间的距离为 d，给出以下命题：，给出以下命题： 若直线若直线 a，则，则 a 到到 的距离也为的距离也为 d； 若直线若直线 b，且，且 b 到到 的距离为的距离为 d，则，则 b； 若平面若平面 l1，l2，则，则 l1与与 l2间的距离的取值范围为间的距
28、离的取值范围为d，)； 若平面若平面 ，且，且 与与 的距离为的距离为 d1， 与与 的距离为的距离为 d2，则，则 d1d2d. 其中假命题有其中假命题有_(填写序号填写序号) 解析：解析：a， 上任意一点即为上任意一点即为 内的一点，它到平面内的一点，它到平面 的距离就是的距离就是 与与 间的 距离，故命题为真命题； 间的 距离，故命题为真命题； 当平面当平面 与直线与直线 b 在平面在平面 的两侧时，也可以有的两侧时，也可以有 b 且且 b 与与 的距离为的距离为 d，这时，这时 b ， 故命题为假命题； ， 故命题为假命题； 当当 与与 相交时，相交时，l1与与 l2间的距离为间的距离
29、为 d，而当，而当 与与 ， 相交且不垂直时，相交且不垂直时，l1与与 l2间间 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 的距离大于的距离大于 d，由此可知命题是真命题；，由此可知命题是真命题； 当当 平面夹在平面夹在 与与 之间时，有之间时，有 d1d2d，但当，但当 不夹在不夹在 与与 之间时，之间时，d1d2d， 故命题为假命题 ， 故命题为假命题 综上所述，假命题为综上所述，假命题为. 答案：答案： 三、解答题三、解答题 9正方体正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 2，E，F，G 分别是分别是 C1C，D1A1，AB 的中点，求 点 的中点，求 点 A 到平面到平面
30、EFG 的距离的距离 解：如图，建立空间直角坐标系解：如图，建立空间直角坐标系 D1xyz，则，则 A(2,0,2)，E(0,2,1)， F(1,0,0)， G(2,1,2)，所以，所以(1， 2， 1)，(2， 1,1)， ， EF EG GA (0，1,0) 设设n(x，y，z)是平面是平面EFG的法向量，则由的法向量，则由n，n，得，得x2yzEF EG 0,2xyz0， 从而， 从而xy， 所以可取， 所以可取n(1,1， ， 1)， 所以在， 所以在n上射影的长度为上射影的长度为GA |n| |n| | 1| 3 ，即点，即点 A 到平面到平面 EFG 的距离为的距离为. 3 3 3
31、 3 10正方体正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 4，M，N，E，F 分别为分别为 A1D1，A1B1，C1D1，B1C1 的中点，求平面的中点，求平面 AMN 与平面与平面 EFBD 间的距离间的距离 解：以解：以 D 为原点，为原点，DA，DC，DD1所在直线为所在直线为 x，y，z 轴建立直角 坐标系，则 轴建立直角 坐标系，则 A(4,0,0)， M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)， 从 而从 而 (2,2,0)， (2,2,0)， ( 2,0,4)， (EF MN AM BF 2,0,4)， ，EF MN AM BF EFMN，AMBF， 平面平面 AMN平面平面 EFBD. 设设 n(x，y，z)是平面是平面 EFBD 的法向量，的法向量， 从而从而Error!Error!即即Error!Error! 解得解得Error!Error! 取取 z1，得，得 n(2，2,1)， 由于由于(0,4,0)，AB 所以在所以在 n 上的投影长度为上的投影长度为 .AB |n| |n| 8 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即平面即平面 AMN 与平面与平面 EFBD 间的距离为间的距离为 . 8 3