《冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：11基本不等式及其应用（含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：11基本不等式及其应用（含解析）.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 11 基本不等式及其应用专题 11 基本不等式及其应用 【自主热身，归纳总结】【自主热身，归纳总结】 1、已知 a0, b0，且 ，则 ab 的最小值是_ 2 a 3 b ab 【答案】：【答案】：2 6 【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式 因为 2，所以 ab2，当且仅当 时，取等号ab 2 a 3 b 2 a 3 b 6 2 a 3 b 6 2、已知正数, x y满足22xy，则 8xy xy 的最小值为 【答案】9 【解析】： =9 3、已知正实数x，y满足，则x y 的最小值为 【答案】： 2 63 4、已知a，b为正数，且
2、直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则 2a3b的最小值为 _ 【答案】25 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【解析】 ： 由于直线axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行， 所以a(b3)2b， 即 1(a，b 2 a 3 b 均为正数)，所以2a3b(2a3b)136136225(当且仅当 即ab5 ( 2 a 3 b) ( b a a b) b a a b b a a b 时取等号) 5、已知正实数, x y满足，则xy的最小值为 【答案】8 【解析】：因为,0x y ，所以10y 又因为，所以10x ，所以 ，当且仅当 ，即5,3xy时等号成
3、立 易错警示 易错警示 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等” 另外，在应用基本不等式 时，要注意整体思想的应用 6、设实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是_ 【答案【答案】 51 2 思路分析 1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有 一个变量的函数，从而求它的最小值注意中消去y较易，所以消去y. 解法 1 由x22xy10 得y，从而x2y2x2 2 2 ，当且仅 1x2 2x( 1x2 2x) 5x2 4 1 4x2 1 2 5 16 1 2 51 2 当x时等号成立 4 1 5 思路分析 2 由所求的结论
4、x2y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2y2，然后将x2y2求解出来 解法 2 由x22xy10 得 1x22xymx2ny2， 其中mn1(m，n0)， 所以(m1)x2ny21， 令m1n， 与mn1 联立解得m，n，从而x2y2. 51 2 51 2 1 51 2 51 2 7、若正实数x y，满足1xy，则 4 y xy 的最小值是 【答案】 、8 【解析】： 因为正实数x y，满足1xy， 所以 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ，当且仅当 4yx xy ，即2yx，又1xy，即， 等号成立，即 4 y xy 取得最小值8. 8、若实数x，y满足xy3x3，则 的最小值
5、为_ (0x 1 2) 3 x 1 y3 【答案】： 8 解法 1 因为实数x，y满足xy3x3，所以y 3(y3)， (0x 1 2) 3 x 所以 y3y36268，当且仅当y3，即y4 时 3 x 1 y3 1 y3 1 y3 y3 1 y3 1 y3 取等号，此时x ，所以 的最小值为 8. 3 7 3 x 1 y3 解法 2 因为实数x，y满足xy3x3，所以y 3(y3)，y3 60， (0x 1 2) 3 x 3 x 所以 66268， 当且仅当 6， 即x 时取等号， 3 x 1 y3 3 x 1 3 x6 3 x 1 3 x6 ( 3 x6) 1 3 x6 3 x 1 3 x
6、6 3 7 此时y4，所以 的最小值为 8. 3 x 1 y3 解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy3x3 消“实数x”或消“实数y” ，无论用哪种消元方式， 消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟 9、 已知正数a，b满足 5，则ab的最小值为_ 1 a 9 b ab 【答案】. 36 【解析】 ： 因为正数a，b满足 5， 所以52， 当且仅当 9ab时等号成立， 即ab5 1 a 9 b abab 9 ab ab 60，解得6 或1(舍去)，因此ab36，从而(ab)min36.abab 10、已知，均为锐角，且 cos()，则 tan的最大值是_ sin sin 【答
7、案】 2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11、 已知正数x，y满足 1，则的最小值为_ 1 x 1 y 4x x1 9y y1 【答案【答案】25 【解析】：因为 1 ，所以9x49(x1)913 1 y 1 x 4x x1 9y y1 4x x1 9 11 y 4x x1 4 x1 4 x1 9(x1)139(x1)又因为 1 0，所以x1，同理y1，所以 139(x1)132 4 x1 1 y 1 x 4 x1 25，当且仅当x 时取等号，所以的最小值为 25.4 9 5 3 4x x1 9y y1 12、 已知ab2，b0，当取最小值时，实数a的值是_ 1 2|a| |
8、a| b 【答案】： 2 解法 1 2 ，当且仅当a0，且， 1 2|a| |a| b ab 4|a| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b 1 4 b 4|a| |a| b 3 4 b 4|a| |a| b 即a2，b4 时取等号 解法 2 因为ab2，b0，所以(a2) 1 2|a| |a| b 1 2|a| |a| 2a 设f(a)(a2)， 1 2|a| |a| 2a 则f(a)Error! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当a0 时，f(a)，从而f(a)，故当a2 时， 1 2a a 2a 1 2a2 2 a22 3a2a2 2a2a22 f(a)0；当2
9、a0 时，f(a)0，故f(a)在(，2)上是减函数，在(2，0)上是增函数，故 当a2 时，f(a)取得极小值 ； 同理，当 0a2 时，函数f(a)在a 处取得极小值 .综上，当a2 3 4 2 3 5 4 时，f(a)min . 3 4 【问题探究，变式训练】 【问题探究，变式训练】 :例 1、 已知正数 x，y 满足 xy1，则的最小值为_ 4 x2 1 y1 【答案】： 9 4 解法 1 令x2a，y1b，则ab4(a2，b1)， (ab) (54) ， 4 a 1 b 1 4( 4 a 1 b) 1 4(5 4b a a b) 1 4 9 4 当且仅当a ，b ，即x ，y 时取等
10、号 8 3 4 3 2 3 1 3 解法 2 (幂平均不等式)设ax2，by1，则 . 4 x2 1 y1 4 a 1 b 22 a 12 b 122 ab 9 4 解法 3 (常数代换)设ax2，by1，则 ，当且仅当a2b 4 x2 1 y1 4 a 1 b ab a ab 4b 5 4 b a a 4b 9 4 时取等号 【变式 1】 、【变式 1】 、已知实数x，y满足xy0，且xy2，则的最小值为_ 2 x3y 1 xy 【答案【答案】 32 2 4 设Error!解得Error!所以xy2， 即mn4.设t ， 所以4t(mn)3 mn 2 2 x3y 1 xy 2 m 1 n(
11、2 m 1 n) 32.即t，当且仅当 ，即mn时取等号 2n m m n 2 32 2 4 2n m m n 2 【变式 2】 、【变式 2】 、已知x，y为正实数，则的最大值为 4x 4xy y xy .【答案】： 4 3 【解析1】：令，从而得，故 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ，当且仅当2ab，即2yx时等号 成立。 解法 2 设BDCDm，ADn， 则由已知得 7(2m)22(m2n2)4， 所以 15m2n222mn， 所以3315 mn，当且仅当 15m2n2时取等号，此时m2，所以面积的最大值为. 5 5 3 15 5 5 例 3、 若实数x，y满足 2x2xyy
12、21，则的最大值为_ x2y 5x22xy2y2 【答案】. 2 4 【解析】 ： 在 2x2xyy21 中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三 个变量来表示x，y. 由 2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，设 2xyt，xy ，其中t0.则xt，yt， 1 t 1 3 1 3t 2 3t 1 3 从而x2yt ，5x22xy2y2t2，记ut ，则，当 1 t 1 t2 1 t x2y 5x22xy2y2 u u22 1 u2 u 1 2u2 u 2 4 且仅当u ，即u时取等号，即最大值为. 2 u 2 2 4 【变式 1】 、【变式 1】 、 已知正实数
13、 x，y 满足 5x24xyy21，则 12x28xyy2的最小值为_ 【答案】： 7 3 解法1 1(双变量换元) 因为x0，y0，且满足5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，令u5xy，vx y， 则有 u0， v0， uv1， 并且 x， y， 代入 12x28xyy212 28 uv 6 5vu 6( uv 6) uv 6 5vu 6( 5vu 6) 2 ，当且仅当 u3v，uv1，即 u，v，亦 u29v222uv 12 2 u 29v222uv 12 28uv 12 28 1 12 7 3 3 3 3 即 x，y时，12x28xyy2取得最小值 . 2 3 9 3 9
14、7 3 解法 2 2(常数 1 1 的代换) 因为 x0， y0， 且满足 5x24xyy21， 由此可得(5xy)(xy)1， 因为 x0， y0， x y0， 所以5xy0， 即有00，f(t)单调递增，所以当 t 时，f(t) (0， 1 2)( 1 2，5) 1 2 取极小值，也是最小值 f . ( 1 2) 7 3 此时 x2y，结合 5x24xyy21，解得 x，y，即当 x，y时，12x28xyy2取得最 2 3 9 3 9 2 3 9 3 9 小值 . 7 3 解法 3 3(基本不等式) 因为 x0， y0， 设 u0， v0， 则 ux2vy22xy.12x28xyy212x
15、28xyy2(2uv xyux2vy2)， 即12x28xyy2(12u)x2(82)xy(v1)y2.令(12u)x2(82)xy(vuvuvuv 1)y2t(5x24xyy2)t，则 12u5t，824t，v1t，解得 t ，u ，v ，uv 7 3 1 3 4 3 所以 12x28xyy22x2xy y2 ( 35 3 x28xy7 3y 2) (1 3x 24 3y 2) (35 3 x28xy7 3y 2) 1 3x 24 3y 2 35 3 28 3 7 3 7 3 (5x24xyy2) ， 当且仅当 x2y， 结合 5x24xyy21， 解得 x， y， 即当 x， y时， 12
16、x2 7 3 2 3 9 3 9 2 3 9 3 9 8xyy2取得最小值 . 7 3 【变式 2】 、【变式 2】 、 若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x的最大值为_ 1 2y 【答案】：. 1 3 2 2 解法 1 令xz，则 2xy2yz1，代入(2xy1)2(5y2)(y2)整理得(4z25)y28(z1)y8 1 2y 0 (*)， 由题意得y20， 该方程在2， )应有解， 故0， 即 64(z1)232(4z25)0， 化简得 2z2 4z70, 故 00，y1y24，故方程必有大于 2的实根，所以x的最大值为1. 12 216 1712 2 8 1712
17、2 1 2y 3 2 2 解法 2 (2xy1)2(5y2)(y2)，即 2 ，则x，所以 (2x 1 y)(5 2 y)(1 2 y) (5 2 y)(1 2 y) 1 y 2 x 1 2y 1 2 (5 2 y)(1 2 y) 1 y 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1(1 y1) 29 4( 1 y1) 12( 1 y1) 29 4( 1 y1) 2 1， 3 2 2 当且仅当 1，即y2 时等号成立，所以x的最大值为1.(1 y1) 29 4 1 y 4 3 24 1 2y 3 2 2 解法 3 由(2xy1)2(5y2)(y2)得 2 ， (2x 1 y)(5 2 y)(
18、1 2 y) 即 292，即229， (2x 1 y)( 2 y2)(2x 1 y)( 2 y2) 所以 9 22 2x 22，所以x 1. (2x 1 y)( 2 y2) 1 2 1 y 2 y 1 2y 3 2 2 【变式 3】 、【变式 3】 、若实数x，y满足x24xy4y24x2y24，则当x2y取得最大值时， 的值为_ x y 【答案】：2 思路分析 设xa,2yb，则问题变简单了 设xa,2yb，则实数a，b满足(ab)2(ab)24. 因为(ab)2(ab)24ab4(ab)24ab8(ab2)28， 当且仅当ab时，ab取最大值 2，此时x2y，所以 2.22 x y 【关联
19、 1】 、【关联 1】 、 已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 取值范围是_ 【答案】： (， 17 4 【解析】：对于正实数x，y，由xy42xy得xy42xy，解得xy4， xy2 2 不等式x22xyy2axay10 可化为(xy)2a(xy)10， 令txy(t4)，则该不等式可化为t2at10，即at 对于任意的t4 恒成立， 1 t 令u(t)t (t4)，则u(t)10 对于任意的t4 恒成立，从而函数u(t)t (t4)为 1 t 1 t2 t21 t2 1 t 单调递增函数，所以u(
20、t)minu(4)4 ，于是a. 1 4 17 4 17 4 【关联 2】 、【关联 2】 、 设实数x，y满足y21，则 3x22xy的最小值是_ x2 4 【答案】. 64 2 解法 1 因为y21，所以 3x22xy，令k ，则 3x22xy x2 4 3x22xy x2 4 y2 32y x 1 4( y x) 2 y x( 1 2， 1 2) 32k 1 4k 2 ， 再令t32k(2,4)， 则k， 故 3x22xy64 432k 14k2 3t 2 4t t26t8 4 (t8 t)6 4 62 8 ，当且仅当t2时等号成立22 解法 2 令t3x22xy，则y，代入方程y21 并化简得 8x4(46t)x2t20，令ux24， 3x2t 2x x2 4 则 8u2(46t)ut20 在4，)上有解，从而由Error!得t212t40，解得t64，当取得最2 小值时，u2满足题意 3 2 2 解法 3 因为y21， 所以令 yt， 则 y ， 从而Error!Error!则 3x22xy62t2 x2 4 ( x 2y)( x 2y) x 2 x 2 1 t 4 t2 64，当且仅当t2时等号成立22