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1、3.4 幂函数与二次函数 大一轮复习讲义 第三章 函数概念与基本初等函数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 函数yxyx2yx3yyx1 图象 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 yx 知识梳理 ZHISHISHULIZHISHISHULI 1 2 x 性 质 定义域RRR_ 值域R_R_ 奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数 单调性 在R上单 调递增 在 上 单调递减；在 上单 调递增 在R上单 调递增 在
2、 上 单调递增 在 和 上单 调递减 公共点_ x|x0x|x0 y|y0y|y0y|y0 (，0 (0，) 0，) 奇偶奇非奇非偶 奇 (，0) (0，) (1,1) 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0且0. 【概念方法微思考】 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是( ) (2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系 中的开口大小.( ) (3)函数y 是幂函数.( ) (4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)( ) (5)如果幂函数
3、的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( ) (6)当n0)，若f(m)”“ 且f(1)0，f(0)0，而f(m)0. 123456 2题型分类 深度剖析 PART TWO 题型一 幂函数的图象和性质 1.若幂函数的图象经过点 则它的单调递增区间是 A.(0，) B.0，) C.(，) D.(，0) 自主演练自主演练 即f(x)x2， 它是偶函数，单调递增区间是(，0).故选D. 2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示， 则a，b，c，d的大小关系是 A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc 解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数
4、越大， 函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B. 3.已知幂函数f(x)(n22n2) (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，) 上是减函数，则n的值为 A.3 B.1 C.2 D.1或2 解析 由于f(x)为幂函数，所以n22n21， 解得n1或n3， 经检验只有n1符合题意，故选B. 2 3nn x 4.若(a1) 32a0或32a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象 开口向上，故可排除A； 若a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14， (3)当a2xm在区间1,1上恒成立， 即x23x1m0在1,1上恒成立， 命题点4 二次函数中
5、的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，若不等式f(x)2x m在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_. (，1) 所以g(x)ming(1)131m0，所以m1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大 值为_. 2 所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立， 所以有a23a28， 解得5a2，又a1，所以a的最大值为2. 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题， 先“定性”(作草图
6、)，再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求 函数的最值或值域. 思维升华 跟踪训练2 (1)函数yx2bxc(x0，)是单调函数的充要条件是 A.b0 B.b0 C.b0 D.b0，则实数a的 取值范围为_. 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题， 要明确参数对图象的影响，进行分类讨论. 例 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值. 思想方法 SIXIANGFANGFASIXIANGFANGFA 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用
7、 解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x 1. 当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减 函数， 所以最小值为f(t1)t21； 当t0， 解得m1. 2 68mm x 3.若命题“ax22ax30恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是 A.a3 D.00恒成立， 12345678910111213141516 故当命题“ax22ax30恒成立”是假命题时，af(1)，则 A.a0,4ab0 B.a0,2ab0 D.af(1)，f(4)f(1)， f(x)先减后增，于是a0，故选A. 5.函数f(x)(x2)(axb)为偶
8、函数，且在(0，)上单调递增，则f(2x)0 的解集为 A.x|22或x4或x0. 根据二次函数的性质可知， 不等式f(2x)0的解集为x|2x2或2x4，故选D. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 3 2 2 PRQ 3 2 2 8.(2018台州路桥中学检测)已知幂函数yf(x)的图象过点(2， )，则f(9) _. 12345678910111213141516 3 1 2 x 所以f(9) 3. 1 2 9 9.设函数f(x)2x24x在区间m，n上的值域是6，2，则mn的取值
9、范 围是_. 0,4 12345678910111213141516 解析 令f(x)6，得x1或x3； 令f(x)2，得x1.又f(x)在1,1上单调递增， 在1,3上单调递减， 当m1，n1时， mn取得最小值0； 当m1，n3时，mn取得最大值4. 10.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)4ac；2ab1； abc0； 5a0，即b24ac，正确； 结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误； 由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下， 所以a0，所以5a2a，即5ab，正确. 14.已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t
10、 1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为 12345678910111213141516 解析 由于函数f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt， 函数f(x)x22tx1在区间(，1上递减， t1. 当x0，t1时，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21， 要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2， 12345678910111213141516 15.已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x) maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较
11、大值， minp，q表示p，q中的较小值).记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则 AB等于 A.16 B.16 C.a22a16 D.a22a16 拓展冲刺练 12345678910111213141516 解析 令f(x)g(x)，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28， 即x22axa240，解得xa2或xa2. f(x)与g(x)的图象如图. 12345678910111213141516 由题意知H1(x)的最小值是f(a2)， H2(x)的最大值为g(a2)， 故ABf(a2)g(a2) (a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)2a2816. 12345678910111213141516 16.若函数f(x)x2a|x1|在0，)上单调递增，求实数a的取值范围. 12345678910111213141516 当x1，)时， 当x(，1)时， 12345678910111213141516 综上，a的取值范围是0,2.