2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量高考专题突破五 .pdf

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1、高考专题突破五 高考中的立体几何问题 大一轮复习讲义 第八章 立体几何与空间向量 NEIRONGSUOYIN 内容索引 题型分类 深度剖析 课时作业 1题型分类 深度剖析 PART ONE 题型一 求空间几何体的表面积与体积 师生共研师生共研 例1 (1)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正 视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为 解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长 为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图， (2)(2018浙江省嘉兴市第一中学期中)如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一 动点，PA圆O所在平面

2、，且PAAB2，过点A作平面PB，交PB，PC分 别于E，F，当三棱锥PAEF体积最大时，tanBAC_. 解析 PB平面AEF，AFPB， 又ACBC，APBC，ACAPA，AC，AP平面PAC， BC平面PAC，又AF平面PAC， AFBC，又PBBCB，PB，BC平面PBC， AF平面PBC，AFE90， 设BAC，在RtPAC中， (1)等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)不规则的几何体可通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. 思维升华 跟踪训练1 (1)(2018嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该 几何体的表面积(单位：cm2)是 解析 由三视图得该

3、几何体为一个组合体，上面是棱长为2的正方体，下面是 下底为边长为4的正方形、上底为边长为2的正方形的四棱台， (2)(2018温州高考适应性测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积是 解析 由三视图可还原出几何体的直观图，该几何体是由半个圆柱(底面圆的 半径为1，高为2)和一个四棱锥(底面为边长是2的正方形，高为1)组成的，如图 所示. 题型二 空间点、线、面的位置关系 例2 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC 2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点. (1)求证：平面ABE平面B1BCC1； 证明 在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面

4、ABC. 因为AB平面ABC，所以BB1AB. 又因为ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1. 又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1. 师生共研师生共研 (2)求证：C1F平面ABE； 证明 方法一 如图1，取AB中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 因为ACA1C1，且ACA1C1， 所以FGEC1，且FGEC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG. 又因为EG平面ABE，C1F 平面ABE， 所以C1F平面ABE. 方法二 如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH. 因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HFAB， 又因为E

5、，H分别是A1C1，AC的中点， 所以EC1AH，且EC1AH， 所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1HAE， 又C1HHFH，AEABA， 所以平面ABE平面C1HF， 又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE. (3)求三棱锥EABC的体积. 解 因为AA1AC2，BC1，ABBC， (1)平行问题的转化 思维升华 利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题 时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面 平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际 的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用. (2)垂直

6、问题的转化 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提 供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定 理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从 而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题. 跟踪训练2 如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，点 E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2. (1)求证：EF平面PAB； 证明 以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)

7、，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1). 点E，F分别是PC，PD的中点， 又AB平面PAB，EF 平面PAB， EF平面PAB. (2)求证：平面PAD平面PDC. 又APADA，AP，AD平面PAD， DC平面PAD. DC平面PDC，平面PAD平面PDC. 题型三 空间角的计算 1.(2018浙江高考适应性考试)四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点 M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为 自主演练自主演练 解析 由四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切， 则可以把O1，O2，O3，O4看成正四面体的四个顶点，球的半径

8、为棱长的一半， 记球的半径为1， 则正四面体的棱长为2. 平移直线O3O4至O2C位置，过O2C，O1O2的平面截球O1得一个大圆，过O2作大 圆的两条切线O2E，O2F， 由线面垂直易证O1O2O2C， 由图可知，当点M运动至切点E时，MO2C最小， 当点M运动至切点F时，MO2C最大， 设EO2O1， 2.(2017浙江)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q， R分别为AB，BC，CA上的点，APPB， 分别记二面角DPRQ， DPQR，DQRP的平面角为，则 A. B. C. D. 解析 如图，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的 垂线O

9、E，OF，OG，连接DE，DF，DG， 则DEO，DFO，DGO. 由图可知它们的对边都是DO， 只需比较EO，FO，GO的大小即可. 如图，在AB边上取点P，使AP2PB，连接OQ，OR， 则O为QRP的中心. 设点O到QRP三边的距离为a， 则OGa，OFOQsinOQFOQsinOQPa， OEORsinOREORsinORPa， .故选B. 3.(2018浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2. (1)证明：AB1平面A1B1C1； 证明 方法一 由AB2，AA14，BB12，AA1AB，

10、BB1AB， 由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC， 又因为A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1， 因此AB1平面A1B1C1. 方法二 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴， 建立空间直角坐标系Oxyz. 又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1， 所以AB1平面A1B1C1. (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 解 方法一 如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD. 由AB1平面A1B1C1， 得平面A1B1C1平面ABB1. 由C1DA1B1，平面A1B1C1平面AB

11、B1A1B1，C1D平面A1B1C1， 得C1D平面ABB1. 所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角. 方法二 设直线AC1与平面ABB1所成的角为. 设平面ABB1的一个法向量为n(x，y，z). 空间角是高考中的常考内容，线线角和二面角多出现在小题中，线面角多 出现在解答题中，主要注意几何法与空间向量法的灵活应用. 思维升华 题型四 立体几何中的动态问题 自主演练自主演练 1.(2018杭州模拟)等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD的侧棱，直 角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法： 四面体EBCD的体积有最大值和最小值； 存在某个位置，使得AEBD； 设二

12、面角DABE的平面角为，则DAE； AE的中点M与AB的中点N的连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析 四面体EBCD的底面BCD的面积为定值，且在旋转的过程中，点E到 底面BCD的距离存在最大值和最小值，所以四面体EBCD的体积有最大值和 最小值，正确； 设BD的中点为F，则当AE旋转到平面ACF内时，AEBD，正确； 综上所述，正确说法的个数为3，故选C. 2.(2018浙江高考研究联盟联考) 如图，已知正四面体DABC，P为线段AB上的 动点(端点除外)，则二面角DPCB的平面角的余弦值的取值范围是_. 解析 当点P从点

13、A运动到点B时，二面角DPCB的平面角逐渐增大，二面 角DPCB的平面角最小趋近于二面角DACB的平面角，最大趋近于二 面角DBCA的平面角的补角. 设正四面体的棱长为2，如图所示，取AC的中点为E.连接DE，BE， (1)考虑动态问题中点线面的变化引起的一些量的变化，建立目标函数，用 代数方法解决几何问题. (2)运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现 动点的运动规律. (3)运动过程中端点的情况影响问题的思考，可以利用极限思想考虑运动变 化的极限位置. 思维升华 2课时作业 PART TWO 基础保分练 12345678910111213141516 1.(2018

14、绍兴质检)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下 列命题中正确的个数是 若m且m，则； 若m且，则m； 若mn，m，n，则； 若mn，n，则m. A.1 B.2 C.3 D.4 12345678910111213141516 解析 若m，则由线面平行的性质定理知，在内有直线l与m平行，又m， 则l，从而，故正确； 若m且，则m或m，故不正确； 若mn，m，则n，又n，所以，故正确； 若mn，n，则m或m，故不正确.故正确的个数为2. 解析 考虑到平行的性质，AB，CC，AD可以用同一顶点处的三条棱替 代，如AB，AA，AD，投影的长度相等等价于这些线段所在直线与平面所 成的角相等，

15、 因此以正方体为依托， 如图，平面ABD(BCD)，ACD(ABC)， ABD(BCD)，ACD(ABC)均符合题意， 所以这样的平面有4个.故选B. 12345678910111213141516 2.过正方体ABCDABCD的顶点A作平面，使得棱AB，CC， AD在平面上的投影的长度相等，则这样的平面的个数为 A.6 B.4 C.3 D.1 12345678910111213141516 3.(2018绍兴模拟)九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的 面积，则该“堑堵”的侧面积为 1234567891011121

16、3141516 12345678910111213141516 4.(2018台州适应性考试)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ACD平面ABC，若点N是BD上的动 点，当线段ON最短时，二面角NACB的余弦值为 12345678910111213141516 解析 易知OBOD，所以当N为BD的中点时，线段ON最短， 因为ACOB，ACOD，OBODO，OB，OD平面OBD， 所以AC平面BOD，所以ONAC， 又OBAC， 所以BON即二面角NACB的平面角. 因为平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，ODAC， 所以O

17、D平面ABC， 所以ODOB，BOD为等腰直角三角形，所以BON45， 12345678910111213141516 5.(2018浙江)已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段 AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2， 二面角SABC的平面角为3，则 A.123 B.321 C.132 D.231 12345678910111213141516 解析 如图，不妨设底面正方形的边长为2，E为AB上靠近点A的四等分点， E为AB的中点，S到底面的距离SO1，以EE，EO为邻边作矩形 OOEE， 则SEO1，SEO2，SEO3. 此时t

18、an 2tan 3tan 1，可得231. 当E在AB中点处时，231.故选D. 12345678910111213141516 6.(2018嘉兴调研)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱 AA1，CC1的中点，过EF的平面与棱BB1，DD1分别交于点G，H.设BGx， x0，1. 四边形EGFH一定是菱形； AC平面EGFH； 四边形EGFH的面积Sf(x)在区间0，1上具有单调性； 四棱锥AEGFH的体积为定值. 以上结论正确的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 12345678910111213141516 解析 由正方体的性质易得D1HBGx， 则四边形

19、A1D1HE、四边形ABGE、四边形CBGF、四边形C1D1HF为四个全等的 直角梯形， 则HEEGGFFH，即四边形EGFH为菱形，正确； 因为ACEF，EF平面EGFH，AC 平面EGFH， 所以AC平面EGFH，正确； 在线段DD1上取DMx，则易得HMG为直角三角形，且HM12x， 12345678910111213141516 综上所述，正确结论的个数是3，故选B. A.二面角AQRP的平面角二面角APR Q的平面角，即0). (1)证明：BC1平面AB1D； 12345678910111213141516 证明 方法一 如图1，连接A1B，交AB1于点E，连接DE， 则DE是A1B

20、C1的中位线， 所以DEBC1. 又DE平面AB1D，BC1 平面AB1D， 所以BC1平面AB1D. 方法二 如图2，取AC的中点F，连接BF，C1F，DF. 因为AFDC1，且AFDC1， 所以四边形AFC1D是平行四边形，故ADFC1. 又FC1平面BFC1，AD 平面BFC1， 所以AD平面BFC1. 图1 图2 12345678910111213141516 因为DFB1B，且DFB1B，所以四边形DFBB1是平行四边形，故DB1FB. 又FB平面BFC1，DB1 平面BFC1， 所以DB1平面BFC1. 又ADDB1D，AD，DB1平面ADB1， 所以平面ADB1平面BFC1. 又

21、BC1平面BFC1， 故BC1平面AB1D. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解 方法一 取A1B1的中点H，连接C1H，BH. 因为A1B1C1与ABC都是正三角形，所以C1HA1B1. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABB1A1平面A1B1C1，平面ABB1A1平面 A1B1C1A1B1， 又C1H平面A1B1C1，故C1H平面ABB1A1. 所以C1BH就是BC1与平面ABB1A1所成的角， 12345678910111213141516 方法二 以AB的中点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，过点 O且

22、与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图3所示， 图3 易得平面ABB1A1的一个法向量为n(0，1，0). 技能提升练 12345678910111213141516 13.(2018绍兴市适应性考试)如图，在ABC中，ACB90，CAB，M 为AB的中点.将ACM沿着CM翻折至ACM，使得AMMB，则的取值 不可能为 12345678910111213141516 解析 如图，设点A在平面BMC上的射影为A， 则由题意知，点A在直线CM的垂线AA上.要使AMMB， 则AMMB，所以只需考虑其临界情况， 即当AMMB时，点A与点A关于直线CM对称， 又AMMC，所以AMC是以M

23、AC为底角的等腰三角形， 12345678910111213141516 14. (2018温州高考适应性测试)已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆 上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹 A.是圆 B.是椭圆 C.是抛物线 D.不是平面图形 12345678910111213141516 解析 设在定圆内过点B的直径与圆的另一个交点为点D，过点B作AD的垂线， 垂足为点E，连接EH，CD. 因为BD为定圆的直径， 所以CDBC，又因为AB垂直于定圆所在的平面，所以CDAB， 又因为ABBCB，所以CD平面ABC，所以CDBH， 又因为BHAC，ACCDC， 所以

24、BH平面ACD， 所以BHEH，所以动点H在以BE为直径的圆上， 即点H的运动轨迹为圆，故选A. 拓展冲刺练 15 15.(2018浙江省镇海中学模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且 底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别 交于三点M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最 小值为 123456789101112131416 15 解析 取D，D1分别为AC，A1C1的中点，连接DD1，DB， 根据题意以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，点M在侧棱AA1上， 设M(0，1

25、，a)，点N在BB1上， 设Q(0，1，c)，不妨设cba， 因为MNQ为直角三角形，由cba，得MNQ为直角， 123456789101112131416 12345678910111213141516 当且仅当abbc时取等号，故选D. 16 16.已知三棱锥PABC中，点P在底面ABC上的投影正好在等腰直角三角形 ABC的斜边AB上(不包含两端点)，点P到底面ABC的距离等于等腰直角三角形 ABC的斜边AB的长.设平面PAC与底面ABC所成的角为，平面PBC与底面ABC 所成的角为，则tan()的最小值为_. 123456789101112131415 16 解析 设点P在底面ABC上的投影为H，连接PH，则PH平面ABC. 过H作HMAC于M，HNBC于N，连接PM，PN，则PMH，PNH. 因为ABC为等腰直角三角形， 123456789101112131415 12345678910111213141516