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1、6.2 平面向量基本定理及坐标表示 大一轮复习讲义 第六章 平面向量、复数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意 向量a， 一对实数1，2，使a1e12e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 . ZHISHISHULIZHISHISHULI 不共线 有且只有 基底 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ，ab
2、 ， (x1x2，y1y2) (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. (x1x2，y1y2) (x1，y1) (x2x1，y2y1) 3.平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线 . x1y2x2y10 1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？ 【概念方法微思考】 提示 不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或 锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角 不一样. 2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？ 提示 不一定.当两个向量共线时，这
3、两个向量就不能表示，即两向量只有 不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量. 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 123456 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( ) 题组二 教材改编 (1,5) 123456 2.P97例5已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为
4、_. 123456 解析 由向量a(2,3)，b(1,2)， 得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1). 由manb与a2b共线， 123456 题组三 易错自纠 4.设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_. 0 123456 (7，4) 123456 6.已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_. 6 解析 因为ab， 所以(2)m430，解得m6. 2题型分类 深度剖析 PART TWO 题型一 平面向量基本定理的应用 师生共研师生共研 解 由题意知，A是BC的中点， 因为a与b不共线，由平面向量基本定理， 应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底
5、后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相 关向量用这一组基底表示出来. (2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形 的几何性质，如平行、相似等. (3)强化共线向量定理的应用. 思维升华 即P为AB的一个三等分点，如图所示. A，M，Q三点共线， 题型二 平面向量的坐标运算 师生共研师生共研 解析 设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)， x2，y0. 解析 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8). mbnc(6mn，3m8n)， 2 mn2. 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点 的
6、坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方 程(组)进行求解. 思维升华 2或6 此时xy2； 此时xy6. 综上可知，xy2或6. 题型三 向量共线的坐标表示 多维探究多维探究 命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 例3 已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的 坐标为_. (3,3) 所以点P的坐标为(3,3). 所以(x4)6y(2)0， 解得xy3， 所以点P的坐标为(3,3). 命题点2 利用向量共线求参数 例4 已知平面向量a(2，1)，b(1,1)，c(5,1)，若(akb)c，则
7、 实数k的值为 解析 因为a(2，1)，b(1,1)， 所以akb(2k，1k)， 又c(5,1)， 由(akb)c， 得(2k)15(k1)， 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b (x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R). 思维升华 解析 a2b(4，m4)，由a(a2b)， 得2(m4)4m，m4，故选A. 跟踪训练3 (1)已知a(2，m)，b(1，2)，若a(a2b)，则m的值是 A.4 B.1 C.0 D.2 A，B，C三点共线，
8、 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 根据题意可得1t2(2)，可得t4， 所以ab(1，2)， 12345678910111213141516 4.已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的 任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，则实数m的取值范 围是 A.(，2) B.(2，) C.(，) D.(，2)(2，) 解析 由题意知向量a，b不共线， 故2m3m2，即m2. 123456789101
9、11213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 由a与b共线得13x20， 7.已知向量a(1，x)，b(x,3)，若a与b共线，则|a|_. 2 12345678910111213141516 (4，2) 解析 b(2,1)，且a与b的方向相反， 设a(2，)(0). 12345678910111213141516 9.(2018全国)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)， 则_. 解析 由题意得2ab(4,2)， 12345678910111213141516 k1 1(k1)2k0，解
10、得k1. 1234578910111213141516 解 kabk(1,0)(2,1)(k2，1)， a2b(1,0)2(2,1)(5,2). kab与a2b共线， 2(k2)(1)50， 11.已知a(1,0)，b(2,1)， (1)当k为何值时，kab与a2b共线； 6 1234578910111213141516 解 方法一 A，B，C三点共线， 8m3(2m1)0，即2m30， 6 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1， 所以B1OC90. 所以4，2，所以6. 1234567891
11、0111213141516 方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 技能提升练 12345678910111213141516 解析 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图， 则B(1,0)，E(1,1)， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1). 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD. CD1，BC2， 12345678910111213141516 故选A. 拓展冲刺练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 方法二 cosADCcos(ADBCDB) cosADBcosCDBsinADBsinCDB 在ADC中，由余弦定理得， 12345678910111213141516 解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，E(2,0)， D(0,2)，F(3,1)， 12345678910111213141516 (cos ，sin )(2,2)(3,1)， cos 23，sin 2， 12345678910111213141516