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1、6.3 平面向量的数量积 大一轮复习讲义 第六章 平面向量、复数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 a， b，则 就是向量a与b的夹 角，向量夹角的范围是 . ZHISHISHULIZHISHISHULI AOB 0， 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为，则数量 叫做a与b的数 量积，记作ab 投影 叫做向量a在b方向上的投影， 叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积
2、|a|b|cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.向量数量积的运算律 (1)abba. (2)(a)b(ab) . (3)(ab)c . a(b) acbc 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为. 结论几何表示坐标表示 模|a|_|a|_ 夹角 cos _ cos ab的充要条件_ |ab|与|a|b|的关系|ab|_ |x1x2y1y2| ab0 x1x2y1y20 1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？ 【概念方法微思考】 提示 不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos ，而b在a方向上的投影为 |b|c
3、os ，其中为a与b的夹角. 2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定.当夹角为0时，数量积也大于0. 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 123456 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是 向量.( ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)两个向量的夹角的范围是 .( ) (6)若ab0”是“a与b的夹角为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
4、 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 根据向量数量积的定义式可知，若ab0， 则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0， 所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B. 12345678910111213141516 2.(2018台州调研)已知向量a(2,1)，b(1,3)，则向量2ab与a的夹角为 A.135 B.60 C.45 D.30 解析 由题意可得2ab2(2,1)(1,3)(3，1)， 且(2ab)a(3，1)(2,1)615， 设所求向量的夹角为，由题意可得 则向量2ab与a的夹角为45. 123456789101112131
5、41516 则(ab)2a2b22ab 52ab5， 可得ab0，结合|a|1，|b|2， 可得(2ab)24a2b24ab448， 12345678910111213141516 又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0， 所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形. 以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标 系，如图所示， 则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0). 12345678910111213141516 12345678910111213141516 5.已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为 解析 由题意
6、可得 |a|b|1， 12345678910111213141516 解析 由|ab|6， 得|a|22ab|b|236， 12345678910111213141516 得|a|22ab|b|212， 由得|a|2|b|224，且ab6， 12345678910111213141516 解析 (ab)babb27， ab7b23. 设向量a与b的夹角为， 12345678910111213141516 8.已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 _. 12345678910111213141516 2 12345678910111213141516 解析 由(a
7、b)2b2|a|3，得(ab)2b2|a|22ab|b|2|b|29 2ab3，解得ab3， 10.(2018温州市高考适应性测试)若向量a，b满足(ab)2b2|a|3，且 |b|2，则a在b方向上的投影的取值范围是_. 1234578910111213141516 解 因为(2a3b)(2ab)61， 所以4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3， 所以644ab2761， 所以ab6， 11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角； 6 1234578910111213141516 解 |ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(
8、6)3213， (2)求|ab|； 6 12345789101112131415166 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解 方法一 设BC的中点为D，AD的中点为E， 12345678910111213141516 方法二 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图， 技能提升练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 14.(2018杭州质检)记M的最大值和最
9、小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b， c满足|a|b|abc(a2b2c)2.则 12345678910111213141516 拓展冲刺练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 即PFMQFM，则FM为PFQ的角平分线， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 16.(2019嘉兴质检)已知|c|2，向量b满足2|bc|bc.当b，c的夹角最大时， 求|b|的值. 12345678910111213141516 设OBm，BCn， 12345678910111213141516