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1、第三章 恒定磁场,Steady Magnetic Field,恒定磁场基本方程分界面上的衔接条件,序,磁感应强度,磁通连续性原理安培环路定律,磁矢位及边值问题,磁位及边值问题,镜像法,电感,磁场能量与力,磁路,下 页,返 回,导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。,恒定磁场的知识结构。,恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。,下 页,上 页,返 回,磁矢位（A）,边值问题,解析法,数值法,有限差分法,有限元法,分离变量法,镜像法,电感的计算,磁场能量及力,磁路及其计算
2、,基本实验定律 (安培力定律）,磁感应强度（B）(毕奥沙伐定律),H 的旋度,基本方程,B 的散度,磁位( ),分界面衔接条件,下 页,上 页,返 回,本章要求,深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。,掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。了解磁位及其边值问题。,熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方 法。了解磁路及其计算方法。,下 页,上 页,返 回,3.1.1 安培力定律 (Amperes Force Law ),两个载流回路之间的作用力 F,3.1 磁感应强度,Magnetic Flux Density,图3.1.1 两载流回路间的相互作用力,下 页,上 页,返 回,式中，
3、 为真空中的磁导率,磁场力,电场力,定义：磁感应强度,单位 T（Wb/m2）,力 = 受力电荷 电场强度,下 页,上 页,返 回,力 = 受力电流 磁感应强度,毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。,体电流,面电流,下 页,上 页,返 回,线电流,当 时，,例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。,解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dz，,式中,下 页,上 页,返 回,图3.1.2 长直导线的磁场,例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。,根据圆环电流对 P 点的对称性，,解：元电流 在 P 点产生的 为,图3.1.3 圆形载
4、流回路,下 页,上 页,返 回,图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布,下 页,上 页,返 回,根据对称性 ,By = 0,解：取宽度 dx 的一条无限长线电流,例 3.1.3 无限大导体平面通有面电流 , 试求磁感应强度 B 分布。,下 页,上 页,返 回,图3.1.5 无限大电流片及 B 的分布,3.2 磁通连续性原理 安培环路定律,表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。,3.2.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem ),1. 恒定磁场的散度,可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场的必要条件。,Magnetic Flux Conti
5、nue Theorem & Amperes Circuital Law,进行散度运算后,图3.2.1 计算体电流的磁场,下 页,上 页,返 回,上式中， ，故可将其改写为,由矢量恒定式,则有,而梯度场是无旋的，,所以,2. 磁通连续性原理,表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。,直角坐标系,3. 磁感应线,磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通,单位：Wb (韦伯),根据,有,磁感应线方程,图3.2.2 B 的通量,下 页,上 页,返 回,磁感应线的性质：,图3.2.3 导线位于铁板上方,图3.2.4 长直螺线管的磁场,磁感应线是闭合的曲线;,磁感应线不能相交；,磁感应强处 ，磁感应线 稠密
6、，反之，稀疏。,闭合的磁感应线与交链 的电流成右手螺旋关系；,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,3.2.2 安培环路定律 (Aperes Circuital Law),1. 恒定磁场的旋度,在直角坐标系中,（ 毕奥沙伐定律 ）,恒定磁场是有旋场,（有电流区）,（无电流区）,旋度运算后，得到,下 页,上 页,返 回,C和C相交链,C和C不相交链,交链,根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式：,当穿过积分回路C的电流是几个电流时， 可以得到为一般形式：,1. 安培环路定律（真空）,以长直导线的磁场为例,（1）安培环路与磁力线重合,（2）安培环路与磁力线不重合,圆弧为,（3）
7、安培环路不交链电流,（4）安培环路与若干根电流交链,该结论适用于其它任何带电体情况。,强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。,2. 真空中的安培环路定律,用斯托克斯定理,环路上的 B 仅与环路交链的电流有关吗？,真空中的安培环路定律,B 的旋度,等式两边取面积分,思考,当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正值，否则取负；,下 页,上 页,返 回,根据对称性,例3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。,解：定性分析场分布，取安培环路与电流呈右手螺旋,下 页,上 页,返 回,图3.2.9 无限大载流导板,例半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度
8、。,解:,在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，,r a,ra,当ra时，,当ra时，,解： 平行平面磁场,例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,故,图3.2.11 安培定律示意图,安培环路定律,下 页,上 页,返 回,图3.2.10 同轴电缆,得到,得到,下 页,上 页,返 回,图3.2.12 同轴电缆的磁场分布,3. 介质的磁化（magnetization）,2）介质的磁化,无外磁场作用时，介质对外不显磁性，,1）磁偶极子 (magnetic dipole),在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，,图3.2.14 介质的磁化,下 页,上 页,返 回,转矩为 Ti=miB ，
9、旋转方向 使磁偶极矩方向与外磁场方向一 致，对外呈现磁性，称为磁化现 象。,磁化强度（magnetization Intensity）,（A/m）,图3.2.15 磁偶极子受磁 场力而转动,下 页,上 页,返 回,3） 磁化电流,体磁化电流,面磁化电流,例 3.2.3 判断磁化电流的方向。,有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用，在真空中产生的。,磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。,下 页,上 页,返 回,4） 磁偶极子与电偶极子对比,下 页,上 页,返 回,4.有磁介质时的环量与旋度,移项后,下 页,上 页,返 回,图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系,图3.2.17
10、 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？,图3.2.17 H 的分布与磁介质有关,图3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？,有磁介质存在时，重答上问。,安培环路定律,思考,下 页,上 页,返 回,图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系,说明: H的环量仅与环路交链的自由电流有关。 环路上任一点的H是由系统全部载流体产生的。 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手 螺旋关系，是为正，否为负。,5. B 与 H 的关系,实验证明，在各向同性的线性磁介质中,积分式对任意曲面 S 都成立，则,恒定磁场是有旋场,6. H 的旋度,即,mr相对磁导率。, 磁化率。,下 页
11、,上 页,返 回,解: 在镯环中, 为有限值，故H = 0。,例3.2.4 一矩形截面的镯环，镯环上绕有 N 匝线 圈，电流为 I ，如图示，试求气隙中的 B 和 H。,取安培环路的半径, 且环路与 I 交链，,图3.2.18 镯环磁场分布,忽略边缘效应,下 页,上 页,返 回,解: 平行平面磁场，且轴对称，故,例 3.2.5 有一磁导率为 ，半径为 a 的无限长导磁圆柱 ，其轴线处有无限长的线电流 I ，圆柱外是空气，磁导率为 0 ，试求 B，H 与 M 的分布。,磁场强度,下 页,上 页,返 回,图3.2.19 磁场分布,下 页,上 页,返 回,图3.2.20 场量分布,磁化体电流密度为,
12、故总磁化面电流为,磁化面电流在圆柱表面，其方向与I 相反。,磁化面电流密度为,例 ：一长直圆柱体导线由内外两种导电材料构成，其截面如图所示，求内外的导体磁场强度。,22,11,解: 平行平面磁场，且轴对称，故,3.3.1 基本方程 (Basic Equations),构成方程,恒定磁场的基本方程表示为,（磁通连续原理）,（安培环路定律）,恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。,3.3 基本方程 、 分界面衔接条件,Basic Equations and Boundary Condition,下 页,上 页,返 回,3.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition
13、),1. B 的衔接条件,B 的法向分量连续,2. H 的衔接条件,H 的切向分量不连续,(K = 0时),下 页,上 页,返 回,图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件,图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件,例.3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。,图3.3.3 铁磁媒质与空 气分界面,解：,3. 折射定律,媒质均匀、各向同性，分界面 K=0,折射定律,表明只要 ，空气侧的B 与分界面近似垂直，铁磁媒质表面近似为等磁面。,下 页,上 页,返 回,磁位 A（安培）,3.4 磁位及其边值问题,Magnetic Potential and Boundary Value Problem,3.
14、4.1 磁位 (Definition Magnetic Potential ),等磁位面（线)方程为 常数，等磁位面（线） 与磁场强度 H 线垂直;,的多值性。,下 页,上 页,返 回,推论,规定: 积分路径不得穿过磁屏障面。,图3.5.1 磁位 与积分路径的关系,下 页,上 页,返 回,积分路径不得穿过从电流回路为周界的 S 面,图3.5.2 等磁位线与等电位线的类比,图3.5.3 线电流 I 位于两铁板之间的磁场,图3.5.4 线电荷 位于两导板之间的电场,下 页,上 页,返 回,在直角坐标系中,2. 分界面上的衔接条件,由,（仅适用于无电流区域）,1. 微分方程,3.4.2 磁位 的边值
15、问题 ( Boundary Value Problem of ),下 页,上 页,返 回,3.5.1 磁矢位 A 的引出 （Definition Magnetic Vector Potential A),由,A 磁矢位 Wb/m（韦伯/米）。,3.5 磁矢位及其边值问题,Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem,下 页,上 页,返 回,3.5.2 磁矢位 A 的边值问题 （ Boundary Value Problem of A),1. 微分方程及其特解,（矢量）泊松方程,从基本方程出发,矢量运算,取库仑规范（Coulombs g
16、auge),下 页,上 页,返 回,令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为,矢量合成后，得,在直角坐标系下， 可展开为,面电流元与线电流元引起的磁矢位为,下 页,上 页,返 回,dA方向与电流方向一致。,2. 分界面上 A 的衔接条件,a) 围绕 P点作一矩形回路，则,当 时,下 页,上 页,返 回,图3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件,b) 围绕 P点作一扁圆柱，则,表明 在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。,从式(1)、(2) 得,当 时，,(2),(1),下 页,上 页,返 回,图3.4.2 磁矢位 A 的衔接条件,由 有,对于平行平面场，,如长直电流、无限大平板电流产生的磁场
17、等。,下 页,上 页,返 回,3.5.3 磁矢位 A 的应用（Application of A ),1) 由磁矢位 A 求 B,解: 取圆柱坐标系,图3.4.3 位于坐标原点的短铜线,例3.4.1 空气中有一长度为l ，截面积为 S ，位于 z 轴上的短铜线，电流 I 沿 z 轴方向，试求离铜线较远处（r l ）的磁感应强度。,由于,下 页,上 页,返 回,可以忽略z,根据,能否用安培环路定律求解此问题 ?,思考,下 页,上 页,返 回,例3.5.2 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流 细导线产生的磁场。,解: 定性分析场分布，,磁感应强度,下 页,上 页,返 回,图3.4.4 长直载流细导线
18、的磁场,解: 由上例计算结果, 两导线在 P 点的磁矢位,例 3.5.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。,总的磁矢位,磁感应强度,下 页,上 页,返 回,图3.4.5 圆截面双线输电线,3) 在平行平面场中， 等 A 线就是磁感应线。,Wb（韦伯）,下 页,上 页,返 回,2) 由磁矢位 A 计算磁通,根据,磁矢位 A 只在 z 轴方向由分量Az ， Ax =0、Ay=0,图3.4.6 等 A 线与 B 线关系,(2),下 页,上 页,返 回,在轴对称场中， 为等 A 线。,式（2）代入式（1）,(2),下 页,上 页,返 回,即平行平面磁场中的等 A 线可以代表 B 线。,图3.4.2 A
19、 线,等 A 线与 B 线关系,等 A 线不是 A 线，只涉及 A的大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映B的大小分布。,两线输电线的等A 线方程为偏心圆方程,下 页,上 页,返 回,通解,4) 由微分方程求 A,例3.5.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez ，试求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B 。,解: 采用圆柱坐标系， 且,下 页,上 页,返 回,解得,通解,边界条件,(3),下 页,位 函 数,比较内容,引入位函数依据,位与场的关系,微分方程,位与源的关系,电位,磁位,磁矢位A,(有源或无源）,(无源）,(有源或无源）,3.5.4 磁位 、磁矢位与电位的比较 (Com
20、parison of 、A and ）,下 页,上 页,返 回,下述两个场能进行磁电比拟吗？,由于两种场均满足拉普拉斯方程，且边界条 件相同，所以可以磁电比拟。,思考,下 页,上 页,返 回,图3.5.7 恒定磁场与恒定电流场的比拟,联立求解,根据惟一性定理,由,由,3.6 镜像法,Image Method,(1),(2),图3.6.1 两种不同磁介质的镜像,下 页,上 页,返 回,空气中,铁磁中磁感应强度 B2=0 吗？,例3.6.2 线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。,解：镜像电流,图3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像,思考,下 页,上 页,返 回,磁场分布的特点：,解
21、：镜像电流,例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？,图3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像,空气中 的磁场为无铁磁物质情况下的2倍。,铁磁表面近似为等磁位面。空气中的磁感应线与其垂直。,下 页,上 页,返 回,基本概念 1、磁链：一个线圈或电流回路各匝导线交链的磁通总和。 2、内磁链：磁通穿过导线界面或者完全在导线内部闭合，只与导线的部分电流交链。 3、 外磁链：磁通环绕着电流在导线外部闭合，与导线的中全部电流交链。 N匝线圈的磁链为：,3.7 电 感,Inductance,4、自感磁链内磁链外磁链 5、分数匝数,6、互感磁链：在回路1中通以电
22、流，回路2所环绕的磁链,无限长直导线的磁感应强度,3.7 .1 自感（Self-Inductance）,回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。,H（亨利）,L = 内自感 Li + 外自感 L0,求自感的一般步骤：,图3.7.1 内磁链与外磁链,下 页,上 页,返 回,例 3.7.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。,磁通,匝数,内自感,因此，,下 页,上 页,返 回,图3.7.2 同轴电缆截面,与导线半径无关,2. 外导体内自感,图3.7.3 同轴电缆,由例3.2.2 知,匝数,下 页,上 页,返 回,3. 外自感,总自感,下 页,上 页,返 回,设,总自感为,解法一,例 3.
23、7.2 试求半径为R的两平行传输线自感。,图3.7.4 两线传输线,下 页,上 页,返 回,解法二,图3.7.5 双线传输线,下 页,上 页,返 回,ab,bc,cd,da,Acd=Aab=0,3.7.2 互感（Mutual Inductance）,互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。,计算互感的一般步骤：,设,可以证明,H（亨利）,下 页,上 页,返 回,图3.7.6 电流I1 产生与回路L2交链的磁链,图3.7.7 两对传输线的互感,解： 设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链,导线 B 作用,合成后,导线 A 作用
24、,例 3.7.3 试求图示两对传输线的互感。,下 页,上 页,返 回,3.7.3 诺依曼公式（Neumanns Formula）,1. 求两导线回路的互感,互感,设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为,穿过回路 2 的磁通为,图3.7.11 两个细导线电流回路,下 页,上 页,返 回,(由磁失位计算电感的一般表达式),2. 用诺依曼公式计算回路的外自感,外自感,电流 I 在 l1 上产生的磁矢位为,与 l2 交链的磁通为,设电流 I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过外表面轮廓 l2 所限定的面积。,下 页,上 页,返 回,图3.7.12 线圈的自感, 媒质为线性；, 磁场建立无限
25、缓慢（不考虑涡流及辐射）；, 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。,假设：,磁场能量的推导过程,3.8.1 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy）,3.8 磁场能量与力,Magnetic Energy and Force,下 页,上 页,返 回, 是回路k 独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。, 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。,由矢量恒等式,3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度 ( Energy Distribution and Energy Density ),得,下 页,上
26、 页,返 回,第一项为 0,由于,J（焦耳）,磁能密度,磁场能量是以密度形式储存在空间中。,下 页,上 页,返 回,解: 由安培环路定律,自感,例 3.8.1 试求长度为 l , 通有电流 I 的同轴电缆储存的磁场能量与自感。,磁能,下 页,上 页,返 回,图3.8.1 同轴电缆截面,磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。,高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源受控热聚变, 磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。,3.8.3 磁场力 ( Magnetic
27、Field Force ),1. 安培力,解: 定性分析场分布,B 板的磁场,A 板受力,例3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。,下 页,上 页,返 回,图3.8.2 两平行导板间的磁力,2. 虚位移法（Method of False Displacement ),电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功, 常电流系统,外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。,n 个载流回路中， 当仅有一个广义坐标发生位移dg ，系统的功能守恒是,广义力,即,下 页,上 页,返 回, 常磁链系统,磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量,广义力,取两个
28、回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁能，便可求得相互作用力。,两种假设的结果相同，即,下 页,上 页,返 回,解：系统的相互作用能为,用矢量表示为,例 3.8.3 试求图中载流平面线圈的转矩。,选 a 为广义坐标，对应的广义力是转矩，,T 0表示转矩企图使a 减小，使该回路包围尽可能多的磁通。,下 页,上 页,返 回,图3.8.3 外磁场中的电流回路,3. 法拉第观点,法拉第观点，通量管沿其轴向方向受到纵张力，垂直方向受到侧压力, 其量值都等于,N/m2,图3.8.7 载流导体位 于铁板上方,例 3.8.5 试判断物体受力情况。,下 页,上 页,返 回,图3.8.5 向量管受力,图3.8.
29、6 电磁铁,若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功,过程中，外源所做的功,推导磁场能量表达式,（1） 从,即,下 页,返 回,（2） 不变， 从 ,若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功,不变， 从 过程中，外源所做的功,即,下 页,上 页,返 回,总磁能,上 页,返 回,矢量恒等式,故,取散度,则,推导 B 的散度,返 回,无感电阻,下 页,返 回,无感电阻,上 页,返 回,下 页,江泽民总书记乘坐高温超导磁悬浮实验车,下 页,上 页,返 回,世界首辆载人高温超导磁悬浮实验车,下 页,上 页,返 回,高温超导磁悬浮模拟实验车,下 页,上 页,返 回,常导磁悬浮实验,下 页,上 页,返 回,