《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理 Word版含解析.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 31.2 共面向量定理 对应学生用书P50 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，观察下列几组向量，回 答问题 问题 1：、AD 、 11 AC 可以移到一个平面内吗？AB 提示：可以，因为AC 11 AC ，三个向量可移到平面 ABCD 内 问题 2： 1 AA ，AC ， 1 AC 三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面 ACC1A1内 问题 3： 1 BB 、 1 CC 、 1 DD 三个向量是什么关系？ 提示：相等 1共面向量 一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量 2共面向量定理 如果两个向量 a， b 不共线， 那
2、么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在有序实数组(x， y)，使得 pxayb. 1空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面 2向量共面不具有传递性 3共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面， 它是判定三个向量是否共面的依据 对应学生用书P51 向量共面的判定 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 1 给出以下命题： 用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； 已知空间四边形 ABCD，则由四条线段 AB、BC、CD、DA 分别确定的四个向量之和 为零向量； 若存在有序实数组(x
3、，y)使得OP xOA yOB ，则 O、P、A、B 四点共面； 若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； 若 a，b，c 三向量两两共面，则 a，b，c 三向量共面 其中正确命题的序号是_ 思路点拨 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断 精解详析 错：空间中任意两个向量都是共面的； 错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； 正确：因为OP 、OA 、OB 共面， O、P、A、B 四点共面； 错：没有强调零向量； 错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量 答案 一点通 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内判定向量共 面的主要依据是共面向量定理 1下列说法
4、正确的是_(填序号) 以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体； 设平行六面体的三条棱是AB 、 1 AA 、AD ，则这一平行六面体的对角线所对应的 向量是AB 1 AA AD ； 若OP (PA PB )成立，则 P 点一定是线段 AB 的中点； 1 2 在空间中，若向量AB 与CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共面 若 a，b，c 三向量共面，则由 a，b 所在直线所确定的平面与由 b，c 所在直线确定的 平面是同一个平面 解析：不正确，正确 答案： 2 已知三个向量 a， b， c 不共面， 并且 pabc， q2a3b5c， r7a18b22c， 试问向量 p、q、r 是
5、否共面？ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解：设 rxpyq， 则7a18b22cx(abc)y(2a3b5c) (x2y)a(x3y)b(x5y)c， Error!解得Error! r3p5q. p、q、r 共面. 向量共面的证明 例 2 如图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE BB1，DF 1 3 DD1.证明： 1 AC 与AE 、AF 共面 2 3 思路点拨 由共面向量定理，只要用AE 、AF 线性表示出 1 AC 即可 精解详析 1 AC AB AD 1 AA AB AD 1 AA 1 AA 1 3 2 3 (A
6、B 1 AA )(AD 1 AA ) 1 3 2 3 AB BE AD DF AE AF ， 1 AC 与AE 、AF 共面 一点通 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向 量共面的充要条件 解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系， 解 答本题，实质上是证明存在惟一一对实数 x，y 使向量 1 AC xAE yAF 成立，也就是用 空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE 、AF 表示 1 AC . 3如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1和 A1D1的中点证明 ： 向量 1 A B ， 1 B C ，EF 是共面
7、向量 证明：法一：EF EB 1 BA 1 A F 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 B B 1 A B 11 A D 1 2 1 2 ( 1 B B BC 1 A B 1 2 1 B C 1 A B . 1 2 由向量共面的充要条件知， 1 A B ， 1 B C ，EF 是共面向量 法二 ： 连接 A1D， BD， 取 A1D 中点 G， 连结 FG， BG， 则有 FG 綊 DD1， 1 2 BE 綊 DD1， 1 2 FG 綊 BE. 四边形 BEFG 为平行四边形 EFBG. BG平面 A1BD，EF平面 A1BD EF平面 A1BD. 同理，B1CA1D，B1C平面
8、A1BD， 1 A B ， 1 B C ，EF 都与平面 A1BD 平行 1 A B ， 1 B C ，EF 是共面向量 4已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且满足AM k 1 AC ， BN kBC (0k1)求证：MN 与向量AB ， 1 AA 共面 证明： 如图，在封闭四边形 MABN 中，MN MA AB BN . 在封闭四边形 MC1CN 中，MN 1 MC 1 C C CN AM k 1 AC ， AM k(AM 1 MC ) (1k)AM k 1 MC ，即(1k)MA k 1 MC 0， 同理(1k)BN kCN 0. (1k)k 得MN
9、 (1k)AB k 1 C C ， 1 C C 1 AA ，MN (1k)AB k 1 AA ， 故向量MN 与向量AB ， 1 AA 共面. 共面向量定理的应用 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 3 如图所示，已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 (1)用向量法证明 E，F，G，H 四点共面； (2)用向量法证明 BD平面 EFGH. 思路点拨 (1)要证 E，F，G，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实 数 x，y，使EG xEF yEH 即可 (2)要证 BD平面 EFGH，只需证向量BD 与向量FH 、EG
10、共面即可 精解详析 (1)如图所示，连接 BG，EG，则： EG EB BG EB (BC BD ) 1 2 EB BF EH EF EH . 由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面 (2)设AB a，AC b，AD c， 则BD AD AB ca. EG EA AG (cb) a b c， a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 HF HA AF c (ab) a b c. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 假设存在 x，y，使BD xEG yHF . 即 caxy ( 1 2a 1 2b 1 2c) ( 1 2a 1 2b 1 2c) abc. ( y 2 x 2) ( x 2
11、y 2) ( x 2 y 2) a，b，c 不共线 Error! 解得Error! BD EG HF . BD 、EG 、HF 是共面向量， BD 不在平面 EFGH 内 BD平面 EFGH. 一点通 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在实数对 x、 y， 使MP xMA y MB .满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个 关系式， 这个充要条件常用来证明四点共面 在许多情况下， 可以用 “若存在有序实数组(x， y， z) 使得对于空间任意一点 O， 有OP xOA yOB
12、 zOC ， 且 xyz1 成立， 则 P、 A、 B、 C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据 2用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量； (2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可 5如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，O 是 B1D1的中点 求证：B1C平面 ODC1. 证明：设 11 C B a， 11 C D b， 1 C C c，则 1 B C ca，又 O 是 B1D1的中点，所以 1 OD 11 B D (ba) 1 2 1 2 因为 D1D 綊 C1C， 所
13、以 1 D D c，OD 1 OD 1 D D (ba)c. 1 2 1 OC (ab)，假设存在实数 x，y， 1 2 使 1 B C xOD y 1 OC ， 所以 caxy (ab) 1 2(ba)c 1 2 (xy)axcb，且 a，b，c 不共线， 1 2 ( x 2 y 2) 所以 x1， (xy)1，且0，即 x1，y1. 1 2 xy 2 所以 1 B C OD 1 OC ，所以 1 B C ，OD ， 1 OC 是共面向量， 又因为 1 B C 不在OD ， 1 OC 所确定的平面 ODC1内，所以 B1C平面 ODC1. 6 如图， 已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点
14、， 连结PA、 PB、 PC、 PD， 点E、 F、 G、 H 分别为PAB、PBC、PCD、PDA 的重心求证：E、F、G、H 四点共面 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 证明：分别延长 PE、PF、PG、PH 交平面四边形 ABCD 各边于 M、N、Q、R. E、F、G、H 分别是所在三角形的重心， M、N、Q、R 为所在边的中点，顺次连结 M、N、Q、R 所得四边形为平行四边形， 且有PE PM ，PF PN ， 2 3 2 3 PG PQ ，PH PR . 2 3 2 3 MNQR 为平行四边形， EG PG PE PQ PM MQ 2 3 2 3 2 3 (MN MR )
15、2 3 (PN PM ) (PR PM ) 2 3 2 3 2 3( 3 2 3 2) 2 3( 3 2 3 2) EF EH . 由共面向量定理得 E、F、G、H 四点共面 向量 e1，e2，e3共面存在三个不全为 0 的实数 ，使得 e1e2e30. 若 e1， e2， e3是不共面的三个向量， 且 e1e2e30(其中 ， ， R)， 则 0. 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对 x， y， 使MP xMA yMB . 对应课时跟踪训练(十九) 1下列结论中，正确的是_(填序号) 若 a、b、c 共面，则存在实数 x，y，使 axbyc； 若 a、b、c
16、不共面，则不存在实数 x，y，使 axbyc； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若 a、b、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数 x、y，使 axbyc. 解析 ： 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件所以第个命题正确但定理的应 用又有一个前提：b、c 是不共线向量，否则即使三个向量 a、b、c 共面，也不一定具有线 性关系，故不正确，正确 答案： 2已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若由向量OP OA OB 1 5 2 3 OC 确定的点 P 与 A，B，C 共面，那么 _. 解析：P 与 A，B，C 共面， AP AB AC ， AP (OB OA
17、)(OC OA )， 即OP OA OB OA OC OA (1)OA OB OC ， 11. 因此 1. 1 5 2 3 解得 . 2 15 答案： 2 15 3 如图， 平行六面体ABCDA1B1C1D1中， E、 F分别在B1B和D1D上， 且BE BB1， DF 1 3 DD1，若EF xAB yAD zAA1，则 xyz_. 2 3 解析：EF AF AE AD DF (AB BE )AD 1 DD AB 1 BB 2 3 1 3 AD AB 1 AA 1 3 x1，y1，z . 1 3 xyz . 1 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案：1 3 4 i， j， k
18、 是三个不共面的向量，AB i2j2k，BC 2ij3k，CD i3j5k， 且 A、B、C、D 四点共面，则 的值为_ 解析 ： 若 A、B、C、D 四点共面，则向量AB 、BC 、CD 共面，故存在不全为零的实 数 a，b，c， 使得 aAB bBC cCD 0. 即 a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0. (a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0. i，j，k 不共面， Error!Error! 答案：1 5 命题 ： 若 A、 B、 C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点，OM OA OB OC ， 1 3 1 3 1 3 则点 M 一定在平面 ABC 上
19、，且在ABC 内部是_命题(填“真”或“假”) 解析：AM OM OA OA OB OC 2 3 1 3 1 3 (OB OA ) (OC OA ) (AB AC ) 1 3 1 3 1 3 令 BC 中点为 D，则AM AD ，点 M 一定在平面 ABC 上，且在ABC 内部，故 2 3 命题为真命题 答案：真 6已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 O 满足OM OA OB OC . 1 3 1 3 1 3 判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面 解：(1)由已知得OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )， 即MA BM CM MB M
20、C ， MA ，MB ，MC 共面 7 若 e1， e2， e3是三个不共面的向量， 试问向量 a3e12e2e3， be1e23e3， c2e1 e24e3是否共面，并说明理由 解：法一：令 x(3e12e2e3)y(e1e23e3)z(2e1e24e3)0， 亦即(3xy2z)e1(2xyz)e2(x3y4z)e30， 因为 e1，e2，e3是三个不共面的向量， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以Error!解得Error! 从而 a7b5c，a，b，c 三个向量共面 法二：令存在 ，使 ab c 成立， 即 3e12e2e3(e1e23e3)(2e1e24e3)， 因为 e
21、1，e2，e3是三个不共面向量， 所以Error! 解这个方程组得 7，5， 从而 a7b5c，即 a，b，c 三向量共面 8 如图， 在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是正方形， EFAB， AB2EF， H 为 BC 的中点 求证：FH平面 EDB. 证明 ： 因为 H 为 BC 的中点，所以FH (FB FC ) (FE EB FE ED 1 2 1 2 DC ) (2FE EB ED DC ) 1 2 因为 EFAB，CD 綊 AB，且 AB2EF， 所以 2FE DC 0， 所以FH (EB ED )EB ED . 1 2 1 2 1 2 又EB 与ED 不共线，根据向量共面的充要条件可知FH ，EB ，ED 共面由于 FH 不在平面 EDB 内， 所以 FH平面 EDB