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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.2.1 综合法和分析法 课后训练案巩固提升巩固提升 一、一、A 组组 1.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2(0,+),当 x1f(x2)”的是( ) A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1) 解析:本题就是判断哪一个函数在(0,+)内是减函数,A 项中,f(x)=-bc,且 a+b+c=0,求证:a,则证明 的依据应是( ) A.a-b0B.a-c0 C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0(a-c)(a-b)0. 答案:C 3.命题“如果数列an的前 n 项和 Sn=2n
2、2-3n,那么数列an一定是等差数列”是否成立( ) A.不成立B.成立 C.不能断定D.与 n 取值有关 解析:当 n2 时,an=Sn-Sn-1=4n-5,又 a1=S1=212-31=-1 适合上式,所以 an=4n-5(nN*),则 an-an- 1=4(常数),故数列an是等差数列. 答案:B 4.已知函数 f(x)=cos(3x+4)是奇函数,则 等于( ) A.(kZ)B.k+ (kZ) C.k(kZ)D.(kZ) 解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x)对 xR 恒成立,即 cos(-3x+4)=-cos(3x+4),亦即 cos(3x- 4)+cos(3x+
3、4)=0,所以 2cos 3xcos 4=0,因此 cos 4=0,4=k+ (kZ),解得 =(kZ). 答案:A 5.要证 a2+b2-1-a2b20,只需证明( ) A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0 C.-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0 解析:a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0,由分析法知选 D. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:D 6.已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,求证:8.证明过程如下: 因为 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1, 所以-1=0,-1=0,-1=0,所以 =8.当且仅当a=b=c
4、时取等号,所以不等 式成立. 这种证法是 . 解析:本题从已知条件出发,不断地展开思考,去探索结论,这种方法是综合法. 答案:综合法 7.平面内有四边形 ABCD 和点 O,且满足,则四边形 ABCD 为 . 解析:因为,所以,即,故四边形 ABCD 为平行 四边形. 答案:平行四边形 8.在锐角三角形 ABC 中,求证:tan Atan B1. 证明:要证 tan Atan B1,只需证1, 因为 A,B 均为锐角,所以 cos A0,cos B0. 因此只需证明 sin Asin Bcos Acos B, 即 cos Acos B-sin Asin B1. 9.如图,在四棱锥 P-ABCD
5、 中,PA底面 ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,点 E 是 PC 的中点. (1)证明 CDAE. (2)证明 PD平面 ABE. 证明:(1)在四棱锥 P-ABCD 中, 因为 PA底面 ABCD,CD平面 ABCD, 所以 PACD. 因为 ACCD,PAAC=A,所以 CD平面 PAC. 又因为 AE平面 PAC,所以 CDAE. (2)由 PA=AB=BC,ABC=60,可得 AC=PA. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为点 E 是 PC 的中点,所以 AEPC. 由(1)知,AECD,又 PCCD=C, 所以 AE平面 PCD. 又因为
6、PD平面 PCD,所以 AEPD. 因为 PA底面 ABCD,AB平面 ABCD, 所以平面 PAAB. 又 ABAD,PAAD=A, 所以 AB平面 PAD. 因为 PD平面 PAD,所以 ABPD. 又因为 ABAE=A,所以 PD平面 ABE. 10.已知ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列.试分别用分析法和综合法证明 B 为锐角. 思路分析:在ABC 中,要证 B 为锐角,只需证 cos B0,结合余弦定理可解决问题. 证明:分析法:要证明 B 为锐角,只需证 cos B0. cos B=, 只需证明 a2+c2-b20,即 a2+c2b2. 又a2+c22ac,只需证明 2a
7、cb2. 由已知,得 2ac=b(a+c), 只需证明 b(a+c)b2,即只需证明 a+cb. 而 a+cb 显然成立,故 B 为锐角. 综合法:由题意,得, 则 b=,b(a+c)=2ac. a+cb,b(a+c)=2acb2. cos B=0. 又0QB.P=Q C.P0”是“ABC 为锐角三角形”的( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:若ABC 为锐角三角形,则 A 必为锐角,因此一定有0,但当0 时,只能得到 A 为锐角,这时ABC 不一定为锐角三角形. 答案:B 3.在ABC 中,C=
8、,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,则= . 解析:因为 C= ,所以 a2+b2=c2+ab,所以(a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),所以 =1. 答案:1 4.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有 A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 解析:要证明 A1CB1D1, 只需证明 B1D1平面 A1C1C. 因为 CC1B1D1, 只要再有条件 B1D1A1C1,就可证明 B1D1平面 A1C1C, 从而得答案为 B1D1A1C1. 答案
9、:B1D1A1C1(答案不唯一) 5.设 a,b,c,d 均为正数,求证:. 证明:要证明成立, 只需证(a+b)2+(b+c)2, 即证ac+bd, 就是证(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2, 就是证 b2c2+a2d22abcd, 也就是证(bc-ad)20,此式显然成立, 故所证不等式成立. 6.在锐角三角形 ABC 中,已知 3b=2asin B,且 cos B=cos C,求证:ABC 是等边三角形. 证明:ABC 为锐角三角形, A,B,C, 由正弦定理及条件,可得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3sin B=2sin Asin B. B, sin B0,3
10、=2sin A, sin A=. A, A=. 又 cos B=cos C,且 B,C, B=C. 又 B+C=, A=B=C=. 从而ABC 是等边三角形. 7.导学号 40294013是否存在常数 C,使不等式C对任 意正数 x,y 恒成立?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由. 解:存在常数 C= 使不等式成立. 证明如下: x0,y0, 要证, 只需证 3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y), 即证 x2+y22xy,此式显然成立. . 再证, 只需证 3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y), 即证 x2+y22xy,此式显然成立. . 综上所述,存在常数 C=,使得不等式C对任意正 数 x,y 恒成立. 8.求证:当 x0,1时,xsin xx. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 证明:记 F(x)=sin x-x,则 F(x)=cos x-. 当 x时,F(x)0,F(x)在上是增函数; 当 x时,F(x)0,所以当 x0,1时,F(x)0,即 sin xx. 记 H(x)=sin x-x,则当 x(0,1)时,H(x)=cos x-10,所以 H(x)在0,1上是减函数,则 H(x)H(0)=0,即 sin xx. 综上,xsin xx,x0,1.