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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二章测评第二章测评 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.用反证法证明“若 x+y0,则 x0 或 y0”时,应假设( ) A.x0 或 y0 B.x0 且 y0 C.xy0 D.x+y0 且 y0. 答案:B 2.某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.” 结论显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误B.小前提错误 C.推理形式错误D.非以上错误 解析:不符合“三段论”的形式,正确的“三段论”推理形式应为“鹅吃白菜,参议员先
2、生是鹅,所以参 议员先生也吃白菜”. 答案:C 3.观察下列各等式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,则 52 017的末四位数字是( ) A.3125B.5625 C.8125D.0625 解析:55=3 125 的末四位数字为 3125;56=15 625 的末四位数字为 5625;57=78 125 的末四位数字 为 8125;58=390 625 的末四位数字为 0625;59=1 953 125 的末四位数字为 3125根据末四位 数字的变化,3125,5625,8125,0625,即末四位的数字是以 4 为周期变化的,故 2 017 除以 4 余 1,即 末
3、四位数为 3125.则 52 017的末四位数字为 3125. 答案:A 4.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 09 和字母 AF 共 16 个计数符号, 这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 16 进制0123456789ABCDEF 10 进制0123456789101112131415 例如,用十六进制表示 E+D=1B,则 AB 等于( ) A.6EB.72 C.5FD.B0 解析:AB=110=616+14=6E. 答案:A 5.在ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EFBC.这个命题的大前提为( ) A.三角形的中位线平行于第三边 B
4、.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF 为中位线 D.EFCB 解析:本题的推理过程形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理. 答案:A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.某人在 x 天内观察天气,共测得下列数据:上午或下午共下雨 7 次;有 5 个下午晴;有 6 个 上午晴;当下午下雨时上午晴,则观察的天数 x 为( ) A.11B.9 C.7D.不能确定 解析:由题意可知,此人每天测两次,共测了 7+5+6=18(次),所以 x=9(天). 答案:B 7.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x),如果 f(x0)=0,那么 x=x0是函数 f
5、(x)的极值点, 因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f(x0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 解析:大前提是“对于可导函数 f(x),如果 f(x0)=0,那么 x=x0是函数 f(x)的极值点”,不是真命题,因 为对于可导函数 f(x),如果 f(x0)=0,且满足当 xx0时和当 x1,这与已知 a+b+c=1 矛盾.假设 a,b,c 都小于 ,则 a+b+ca+b; (2)由(1),运用类比推理,若|a|a+b+c; (3)由(1)(2),运用归纳推理,猜想出一个更一般性的结论(不要求证
6、明). 解:(1)由 ab+1-a-b=(a-1)(b-1)0, 得 ab+1a+b; (2)由(1)得(ab)c+1ab+c, 所以 abc+2=(ab)c+1+1(ab+c)+1=(ab+1)+ca+b+c; (3)若|ai|a1+a2+a3+an. 19.(本小题满分 12 分)设 f()=sinn+cosn,nn|n=2k,kN* (1)分别求 f()在 n=2,4,6 时的值域; (2)根据(1)中的结论,对 n=2k(kN*)时,f()的取值范围作出一个猜想(只需写出猜想,不必证明). 解:(1)当 n=2 时,f()=sin2+cos2=1, 所以 f()的值域为1; 当 n=4
7、 时,f()=sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-sin22, 此时有f()1, 所以 f()的值域为; 当 n=6 时,f()=sin6+cos6 =(sin2+cos2)(sin4+cos4-sin2cos2) =1-3sin2cos2=1-sin22, 此时有f()1, 所以 f()的值域为. (2)由以上结论猜想,当 n=2k(kN*)时,f()的值域是. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2+ (x0),若 P(x1,y1),Q(x2,y2)(00,使得 f(x0)=,证明:x10). 又
8、=x2+x1-, 所以 2x0-=x2+x1-. 若 x0x2,则 2x0x1+x2,-, 所以 2x0-x2+x1-,与矛盾; 若 x0x1,同理可得 2x0- ,(1-b)c ,(1-c)a . 将以上三式相乘, 得(1-a)b(1-b)c(1-c)a, 即(1-a)a(1-b)b(1-c)c. 又因为(1-a)a, 同理,(1-b)b,(1-c)c, 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c, 与(1-a)a(1-b)b(1-c)c矛盾. 因此假设不成立,所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于. 22.导学号 40294019(本小题满分 12 分)如图,设
9、A 是由 nn 个实数组成的 n 行 n 列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij1,-1.记S(n,n)为所有这样 的数表构成的集合.对于 AS(n,n),记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之积,cj(A)为 A 的第 j 列各数之积. 令 l(A)=ri(A)+cj(A). a11a12a1n 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 a21a22a2n an1an2ann (1)对如下数表 AS(4,4),求 l(A)的值; 11-1-1 1-111 1-1-11 -1-111 (2)证明存在 AS(n,n),使得 l(A)=2n-4k,其
10、中 k=0,1,2,n; (3)给定 n 为奇数,对于所有的 AS(n,n),证明 l(A)0. (1)解:r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1, 所以 l(A)=ri(A)+cj(A)=0. (2) 证明:数表 A0中 aij=1(i,j=1,2,3,n),显然 l(A0)=2n. 将数表 A0中的 a11由 1 变为-1,得到数表 A1,显然 l(A1)=2n-4. 将数表 A1中的 a22由 1 变为-1,得到数表 A2,显然 l(A2)=2n-8. 依此类推,将数表 Ak-1中的 akk由 1 变为-1,得到
11、数表 Ak. 即数表 Ak满足:a11=a22=akk=-1(1kn),其余 aij=1. 所以 r1(A)=r2(A)=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=ck(A)=-1. 所以 l(Ak)=2(-1)k+(n-k)=2n-4k,其中 k=0,1,2,n; 【注:数表 Ak不唯一】 (3) 证明: (反证法) 假设存在 AS(n,n),其中 n 为奇数,使得 l(A)=0. 因为 ri(A)1,-1,cj(A)1,-1(1in,1jn), 所以 r1(A),r2(A),rn(A),c1(A),c2(A),cn(A)这 2n 个数中有 n 个 1,n 个-1. 令 M=r1(A)r2(A)rn(A)c1(A)c2(A)cn(A). 一方面,由于这 2n 个数中有 n 个 1,n 个-1,从而 M=(-1)n=-1. 另一方面,r1(A)r2(A)rn(A)表示数表中所有元素之积(记这 n2个实数之积为 m);c1(A)c2(A)cn(A)也表示 m,从而 M=m2=1. 相互矛盾,从而不存在 AS(n,n),使得 l(A)=0. 即当 n 为奇数时,必有 l(A)0.