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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4 简单计数问题简单计数问题 A 组 1.设集合A=0,2,4,B=1,3,5,分别从A,B中任取2个元素组成无重复数字的四位数,其中能被5 整除的数共有( ) A.24 个B.48 个 C.64 个D.116 个 解析:只含0不含5的有:=12;(2)只含5不含0的有:=12;(3)含有0和5的有:当0 在个位时,有=24;当 5 在个位时,有=16.共有 12+12+24+16=64 个. 答案:C 2.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144B.120 C.72D.24 解析:先把 3 把椅子隔开摆好,它
2、们之间和两端有 4 个位置,再把 3 人带椅子插放在 4 个位置,共 有=24 种放法,故选 D. 答案:D 3.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60的共有( ) A.24 对B.30 对 C.48 对D.60 对 答案:C 4.将 A,B,C,D,E 排成一列,要求 A,B,C 在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排 列数有( ) A.12 种B.20 种 C.40 种D.60 种 解析:(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为,由于要求 A,B,C 的次序一定(按 A,B,C 或 C,B,A),故除以这三个元素的全排列再乘以 2,
3、可得2=40. 答案:C 5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相 同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( ) A.24B.28 C.36D.48 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:穿红色衣服的人相邻的排法有=48 种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有 48 种.而 红色、 黄色同时相邻的有=24 种.故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有-248+24=48 种. 答案:D 6.某校准备参加 2017 年高中数学联赛,把 10 个选手名额分配到高三年级的 8 个教学班,每班至 少一个名额,则不同的分配方案共有 种. 解析:原问题
4、等价于把 10 个相同的小球放入 8 个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数 问题. 将 10 个小球排成一排,从中间 9 个间隙中选出 7 个截成 8 段(有=36 种截法),对应放 到 8 个盒子里,有 36 种放法. 因此,不同的分配方案共有 36 种. 答案:36 7.(2016山东潍坊高二检测)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次 入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序 排法种数为 .(用数字作答) 解析:第一步:将两位爸爸排在两端有 2 种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排 在中间的三
5、个位置上有种排法;第三步:将两个小孩排序有 2 种排法.故总的排法有 22 =24(种). 答案:24 8.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张, 不同的获奖情况有 种(用数字作答). 解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有=36 种;二是有 三人各获得一张奖券,共有=24 种. 因此不同的获奖情况有 36+24=60 种. 答案:60 9.导学号43944014某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种不合格商品.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种不合格商
6、品必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种? 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解(1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种,有=561(种), 故某一种不合格商品必须在内的不同取法有 561 种. (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有种或者=5 984(种). 故某一种不合格商品不能在内的不同取法有 5 984 种. (3)从 20 种合格商品中选取 1
7、件,从 15 种不合格商品中选取 2 件有=2 100(种). 故恰有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 100 种. (4)选取 2 件不合格商品有种,选取 3 件不合格商品有种,共有选取方式 =2 100+455=2 555(种). 故至少有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 555 种. (5)任意选取 3 件的总数有种,因此共有选取方式=6 545-455=6 090(种). 故至多有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 6 090 种. B 组 1.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144B.120 C.72D.24 解析:插空法.
8、在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可.故排法种数为 =24.故选 D. 答案:D 2.(2016广东惠州市统考)任取三个互不相等的正整数,其和小于 100,则由这三个数构成的不同 的等差数列共有( ) A.528 个B.1 056 个 C.1 584 个D.4 851 个 解析:先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项. 设这三个成等差数列的数分别为 a,b,c. 由题意得 a+b+c100,即 3b100,得 b 可以取 2,3,33,共 32 个数. 第一类,b=2 时,a,c 的取值共有 2 个(a=1,c=3 和 a=3,c=1,对应的是两个数列); 第二
9、类,b=3 时,a,c 的取值共有 4 个; 第三十二类,b=33 时,a,c 的取值共有 64 个. 根据分类加法计数原理,可得满足题意的数列共有 2+4+64=1 056 个. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:B 3.(2016江西南昌高三联考)将 6 名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比 赛中(假设这些比赛都不设人数上限),每人只参加一项,则共有 x 种不同的方案,若每项比赛至少 要安排一人时,则共有 y 种不同的方案,其中 x+y 的值为( ) A.1 269B.1 206 C.1 719D.756 解析:依题意得 x=36=729,当每项比赛至少要
10、安排一人时,先分组,有 =90 种,再排列,有=6 种,所以 y=906=540,因此 x+y=1 269,故 选 A. 答案:A 4.数字 1,2,3,4,5,6 按如图形式随机排列,设第一行的数为 N1,其中 N2,N3分别表示第二、 三行中的 最大数,则满足 N1N2N3的所有排列的个数是 . 解析:(元素优先法)由题意知6必在第三行,安排6有=3种方法,第三行中剩下的两个空位安排 数字有=20 种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排在第二行,有 =2 种方法,剩下的两个数字有=2 种排法,按分步乘法计数原理,所有排列的个数是 =240. 答案:240 5.(201
11、6浙江宁波效实中学第一学期)对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色,每条边可以 染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边染相同的颜色,则不同的染色方法共有 种. 解析:不妨假设AB边染黄色,BC边染红色,若CD边染黄色,则DE边染蓝色,AE边染红色,或DE 边染红色,AE 边染蓝色,共 2 种情况;若 CD 边染蓝色,则 DE 边染红色,AE 边染蓝色,或 DE 边 染黄色,AE 边染红色或 DE 边染黄色,AE 边染蓝色,共 3 种情况,根据对称性,不同的染色方案共 有(2+3)32=30 种. 答案:30 6.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择 3 个,4 个,5 个,10 个同
12、时按下,可发出和声,若有一 个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同的和声数为 (用数字作答). 解析:可发出和声的情况共分以下 8 类: 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当选择 3 个音键时,有种情况;当选择 4 个音键时,有种情况;当选择 10 个音键时,有种情况.所以不同的和声数为+=968. 答案:968 7.导学号43944015把 7 个完全相同的小球放置在三个盒子中,允许有的盒子一个也不放. (1)如果三个盒子完全相同,有多少种放置方法? (2)如果三个盒子各不相同,有多少种放置方法? 解(1)因为小球完全相同,三个盒子也完全相同,所以把 7 个小球分成三份,比如分
13、成 3 个、 2 个、 2 个这样三份放入三个盒子中,无论哪一份小球放入哪一个盒子,均是同一种放置方法,因此,只需 将 7 个小球分成如下三份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可.所以共有 8 种不同的放置方法. (2)设三个盒子中小球的个数分别为 x1,x2,x3,显然有 x1+x2+x3=7,于是,问题就转化为求这个 不定方程的非负整数解的组数问题,令 yi=xi+1(i=1,2,3),得 y1+y2+y3=10,问题又成为求不定方程 y1+y2+y3=10 的正整数解的组数的问题,把 10 个
14、小球排成一排,在 10 个小球中间的 9 个空中,任 取两个空插入“隔板”,即可将 10 个球分成三组,故不定方程的解有=36 组.故有 36 种放置 方法. 8.导学号43944016已知平面 ,在 内有 4 个点,在 内有 6 个点. (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可作多少个不同平面? (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? 解(1)所作出的平面有三类: 内 1 点, 内 2 点确定的平面,有个; 内 2 点, 内 1 点确定 的平面,有个;, 本身. 所作的平面最多有+2=98(个). (2)所作的三棱锥有三类: 内 1 点, 内 3 点确定的三棱锥,有个; 内 2 点, 内 2 点确定的三棱锥,有个; 内 3 点, 内 1 点确定的三棱锥,有个. 最多可作出的三棱锥有=194(个).