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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3 条件概率与独立事件条件概率与独立事件 A 组 1.设 A 与 B 是相互独立事件,则下列命题正确的是( ) A.A 与 B 是对立事件 B.A 与 B 是互斥事件 C.不相互独立 D.A 与 是相互独立事件 解析:若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 也是相互独立事件. 答案:D 2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相 互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( ) A.B.C.D. 解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为.因此,他们不去北京旅游的概率分别为, 所以,至
2、少有 1 人去北京旅游的概率为 P=1-. 答案:B 3. 如图,用 K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1,A2至少有一个正常工作时, 系统正常工作.已知 K,A1,A2正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( ) A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576 解析:方法一 由题意知 K,A1,A2正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8, K,A1,A2相互独立, A1,A2至少有一个正常工作的概率为 P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1- 0.8)0.8+0.8(1-0.
3、8)+0.80.8=0.96. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 系统正常工作的概率为 P(K)P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=0.90.96=0.864. 方法二 A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P()=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系统 正常工作的概率为 P(K)1-P()=0.90.96=0.864. 答案:B 4.已知 A,B,C 是三个相互独立事件,若事件 A 发生的概率为 ,事件 B 发生的概率为 ,事件 C 发生 的概率为 ,则 A,B,C 均未发生的概率为 . 解析:A,B,C 均未发生的概率为 P()=. 答案: 5.甲、乙二人进行射
4、击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、 蓝三区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,二人射击情况互不 影响,若甲、乙各射击一次,试预测二人命中同色区域的概率为 . 解析:同命中红色区域的概率为, 同命中黄色区域的概率为, 同命中蓝色区域的概率为, 二人命中同色区域的概率为. 答案: 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘 汰,已知某选手能正确回答第一、 二、 三轮的问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答 互不影响. (1)求该选手顺利通过三轮考核的概率;
5、(2)该选手在选拔中回答两个问题被淘汰的概率是多少? 解(1)设“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件记为 Ai(i=1,2,3),且它们相互独立. 则 P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, 设“该选手顺利通过三轮考核”为 A 事件, 则 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=. (2)因为回答 2 个问题被淘汰即第一轮答对,第二轮答错,概率是 P=. 7.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生之间是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲 的概率为 0.08,只选甲和乙的概率为 0.12,至少选一门的概率为 0.88,用 表示小张选修的课程门 数和没有选修的课
6、程门数的乘积. (1)求学生小张选修甲的概率; (2)记“函数 f(x)=x2+x 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (3)求 的分布列. 解(1)由题意知,学生小张三门选修课一门也不选的概率为 1-0.88=0.12. 设学生小张选修甲、乙、丙三门选修课的概率分别为 x,y,z. 则解得 所以学生小张选修甲的概率为 0.4. (2)若函数f(x)=x2+x为R上的偶函数,则=0,当=0时,表示小张选修了三门功课或三门功 课都不选.所以 P(A)=P(=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.40.60.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,故
7、 事件 A 的概率为 0.24. (3)依题意知 =0,2,所以 的分布列为 02 P0.240.76 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.导学号43944034甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局 仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布. 解用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak表示“第 k 局甲获胜”,Bk表示“第 k 局乙获胜”, 则 P(Ak)
8、= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P( A4)=. (2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1
9、)P(A2)P(B3)P(B4)=, P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=. 所以 X 的分布列为 X2345 P B 组 1.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落 在奇数所在区域的概率是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.B.C.D. 解析:设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P(A)= ,B 表示“第二个圆盘的指针落 在奇数所在的区域”,P(B)= . 则 P(AB)=P(A)P(B)=. 答案:A 2.一个盒子中有 20 个大小、形状、质地相同的小球,其中 5 个红的,5 个黄的,1
10、0 个绿的,从盒子 中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是( ) A.B.C.D. 解析:记 A:取的球不是红球.B:取的球是绿球.则 P(A)=,P(AB)=,P(B|A)= . 答案:C 3.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率 相同,则事件 A 发生的概率是( ) A.B.C.D. 解析:设事件 A 发生的概率为 x,事件 B 发生的概率为 y,则由题意得(1-x)(1-y)= ,x(1-y)=(1-x)y,联 立解得 x= ,故事件 A 发生的概率为 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:D 4.
11、把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件 A=第一次出现正面,事件 B=第二次出现正面, 则 P(B|A)=( ) A.B.C.D. 解析:P(A)= ,P(AB)= , 所以 P(B|A)=.故选 A. 答案:A 5.箱子里有除颜色外都相同的 5 个黑球,4 个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中, 重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第 4 次取球之后停止的概率为( ) A.B. C.D. 解析:因为每次取出黑球时都放回,所以在取到白球以前,每次取出黑球的概率都是 ,在第 4 次取 球后停止表示前 3 次取出的都是黑球,第 4 次才取出白球,故所求概率为. 答案:B 6.某种
12、元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1 年的该元件还能继续使用 1 年的概率为 . 解析:设事件 A 为“该元件的使用寿命超过 1 年”,B 为“该元件的使用寿命超过 2 年”,则 P(A)=0.6,P(B)=0.3,易知 P(AB)=P(B)=0.3, 于是 P(B|A)=0.5. 答案:0.5 7.根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险的概率为 0.6,购买甲、乙保 险相互独立,各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率; (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率; (3)求一位车主至
13、少购买甲、乙两种保险中 1 种的概率. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解记A表示事件 “购买甲种保险”,B表示事件 “购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与与B, 都是相互独立事件,且 P(A)=0.5,P(B)=0.6. (1)记 C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险”, 则 C=AB. P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.50.6=0.3. (2)记 D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则 D=B. P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)0.6=0.3. (3)方法一:记 E 表示事件 “至少购买甲、 乙两种保险中的一种”,则事件 E 包括B,A
14、 ,AB,且它们彼此为互斥事件. P(E)=P(B+A+AB) =P(B)+P(A)+P(AB) =0.50.6+0.50.4+0.50.6=0.8. 方法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对 立事件. P(E)=1-P()=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. 8.导学号43944035设每个工作日甲、 乙、 丙、 丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4, 各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的分布列. 解记 Ai表示事件
15、:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2. B 表示事件:甲需使用设备. C 表示事件:丁需使用设备. D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. (1)D=A1BC+A2C+A2B. P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1BC+A2B+A2C) =P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C) =0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 P(X=0)=P(A0) =P()P(A
16、0)P() =(1-0.6)0.52(1-0.4) =0.06. P(X=1)=P(BA0A0C+A1) =P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P() =0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25. P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25. P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06 =0.38. X 的分布列为 X01234 P0.060.250.380.250.06