《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型 Word版含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题探究课五专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型高考中解析几何问题的热点题型 1.(2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y与直线 l：ykxa(a0) x2 4 交于 M，N 两点， (1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由. 解 (1)由题设可得 M(2，a)，N(2，a)，aa 或 M(2，a)，N(2，a).aa 又 y ， 故 y在 x2处的导数值为， C 在点(2， a)处的切线方程为 ya x 2 x2 4 aaa
2、(x2)，aa 即xya0.a y在 x2处的导数值为， C 在点(2， a)处的切线方程为 ya x2 4 aaa (x2)，aa 即xya0.a 故所求切线方程为xya0 和xya0.aa (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0， b)为符合题意的点， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 直线 PM， PN 的斜率分别为 k1， k2. 将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0. 故 x1x24k，x1x24a. 从而 k1k2 y1b x1 y2b x2 . 2kx1x2（ab）（x1x2） x1x2 k（ab） a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印
3、当 ba 时，有 k1k20， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意. 2.(2016北京卷)已知椭圆 C：1 过点 A(2，0)，B(0，1)两点. x2 a2 y2 b2 (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知 a2，b1. 所以椭圆方程为y21，又 c. x2 4 a2b23 所以椭圆离心率 e . c a 3 2 (2)证明 设 P 点坐标为(x0，y0)(
4、x00，y00)，则 x 4y 4，由 B 点坐标(0，1) 2 02 0 得直线 PB 方程为：y1(x0)， y01 x0 令 y0，得 xN，从而|AN|2xN2， x0 1y0 x0 y01 由 A 点坐标(2，0)得直线 PA 方程为 y0(x2)， y0 x02 令 x0，得 yM， 2y0 2x0 从而|BM|1yM1， 2y0 x02 所以 S四边形 ABNM |AN|BM| 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 2(2 x0 y01)(1 2y0 x02) x4y4x 0y04x08y04 2（x0y0x02y02） 2. 2x0y02x04y04 x0y0
5、x02y02 即四边形 ABNM 的面积为定值 2. 3.已知中心在坐标原点， 焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2，)，3 且它的离心率 e . 1 2 (1)求椭圆的标准方程； (2)与圆(x1)2y21 相切的直线 l： ykxt 交椭圆于 M，N 两点，若椭圆上一 点 C 满足，求实数 的取值范围.OM ON OC 解 (1)设椭圆的标准方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 由已知得：解得 4 a2 3 b21， c a 1 2， c2a2b2，) a28， b26，) 所以椭圆的标准方程为1. x2 8 y2 6 (2)因为直线 l：ykxt 与圆(x1)2y21 相切， 所以
6、12k(t0)， |tk| 1k2 1t2 t 把 ykxt 代入1 并整理得： x2 8 y2 6 (34k2)x28ktx(4t224)0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x1x2， 8kt 34k2 y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t， 6t 34k2 因为 (x1x2，y1y2)，OC 所以 C， ( 8kt （34k2）， 6t （34k2）) 又因为点 C 在椭圆上，所以， 12， 8k2t2 （34k2）22 6t2 （34k2）22 2t2 34k2 2 ( 1 t2) 2 1 t21 因为 t20，所以11，
7、 ( 1 t2) 2 1 t2 所以 022，所以 的取值范围为(，0)(0，).22 4.已知椭圆 C 的方程为：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为坐标原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB， 求线段 AB 长度的最小值. 解 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为1， x2 4 y2 2 所以 a24，b22，从而 c2a2b22. 因此 a2，c . 2 故椭圆 C 的离心率 e . c a 2 2 (2)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x00. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 OAO
8、B，则0，OA OB 所以 tx02y00，解得 t. 2y0 x0 又 x 2y 4， 2 02 0 所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2 (x 02y 0 x0) 2 x y 4x 4 4(01)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF x2 a2 与圆M： x2y26x2y70 相切. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且0，求证：直AP AQ 线 l 过定点，并求出该定点 N 的坐标. (1)解 将圆 M 的一般方程 x2y26x2y70 化为标准方程为(x3)2(y 1)23， 圆 M 的圆心为 M(3，1)，半径
9、 r . 3 由 A(0，1)，F(c，0)(c)得直线 AF： y1，a21 x c 即 xcyc0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由直线 AF 与圆 M 相切，得. |3cc| c21 3 c或 c(舍去).22 a，椭圆 C 的方程为y21.3 x2 3 (2)证明 由0，知 APAQ，从而直线 AP 与坐标轴不垂直，AP AQ 由 A(0， 1)可设直线 AP 的方程为 ykx1， 直线 AQ 的方程为 y x1(k0)， 1 k 将 ykx1 代入椭圆 C 的方程y21 并整理得： x2 3 (13k2)x26kx0， 解得 x0 或 x， 6k 13k2 因此 P
10、的坐标为， ( 6k 13k2， 6k2 13k21) 即. ( 6k 13k2， 13k2 13k2) 将上式中的 k 换成 ，得 Q. 1 k( 6k k23， k23 k23) 直线 l 的方程为 y， k23 k23 13k2 13k2 6k k23 6k 13k2 (x 6k k23) k23 k23 化简得直线 l 的方程为 yx . k21 4k 1 2 因此直线 l 过定点 N. (0， 1 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.(2015山东卷)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1(ab0)的离 x2 a2 y2 b2 心率为，且点在椭圆 C 上. 3
11、 2( 3， 1 2) (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E：1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 ykxm 交 x2 4a2 y2 4b2 椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. ()求的值； |OQ| |OP| ()求ABQ 面积的最大值. 解 (1)由题意知1.又， 3 a2 1 4b2 a2b2 a 3 2 解得 a24，b21. 所以椭圆 C 的方程为y21. x2 4 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为1. x2 16 y2 4 ()设 P(x0，y0)，由题意知 Q(x0，y0). |OQ| |OP| 因为 y 1， x 4 2 0 又
12、1，即1， （x0）2 16 （y0）2 4 2 4( x 4y) 所以 2，即2. |OQ| |OP| ()设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由 0，可得 m2416k2， 则有 x1x2，x1x2. 8km 14k2 4m216 14k2 所以|x1x2|. 4 16k2 4m2 14k2 因为直线 ykxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)， 所以OAB 的面积 S |m|x1x2| 1 2 2 16k2 4m2|m| 14k2 2. 2 （16k24m2 ）m2 14k2 (4 m2 14k2) m2 14k2 设t，将 ykxm 代入椭圆 C 的方程， m2 14k2 可得(14k2)x28kmx4m240， 由 0，可得 m214k2. 由可知 0t1， 因此 S22，故 S2，（4t）tt24t3 当且仅当 t1， 即 m214k2时取得最大值 2 . 3 由()知，ABQ 面积为 3S， 所以ABQ 面积的最大值为 6 . 3