《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第六章 6.3 等比数列及其前n项和 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第六章 6.3 等比数列及其前n项和 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.3 等比数列及其前 等比数列及其前 n 项和项和 最新考纲 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和 的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 体会等比数列与指数函数的关系 1等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么 这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达 式为q(nN*，q 为非零常数) an1 an (2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列
2、，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即 G 是 a 与 b 的 等比中项a，G，b 成等比数列G2ab. 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1. (2)前 n 项和公式： SnError!. 3等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*) (2)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 amanapaqa . 2 k (3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a ，anbn，(0)仍然是 1 an 2 n an bn 等比数列 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，
3、即 an，ank，an2k，an 3k，为等比数列，公比为 qk. 概念方法微思考 1将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列 的公比有何关系？ 提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数 2任意两个实数都有等比中项吗？ 提示 不是只有同号的两个非零实数才有等比中项 3“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？ 提示 必要不充分条件因为 b2ac 时不一定有 a，b，c 成等比数列，比如 a0，b0，c1. 但 a，b，c 成等比数列一定有 b2ac. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足 an1q
4、an(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列( ) (2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( ) (3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列( ) (4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sn.( ) a1an 1a (5)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列( ) 题组二 教材改编 2已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比 q . 1 4 答案 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由题意知 q3 ，q . a5 a2 1 8 1 2 3公比不为 1 的等比数列an满足 a5a
5、6a4a718，若 a1am9，则 m 的值为( ) A8 B9 C10 D11 答案 C 解析 由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10. 题组三 易错自纠 4 若 1， a1， a2， 4 成 等 差 数 列 ， 1， b1， b2， b3， 4 成 等 比 数 列 ， 则的 值 a1a2 b2 为 答案 1 2 解析 1，a1，a2，4 成等差数列， 3(a2a1)41，a2a11. 又1，b1，b2，b3，4 成等比数列，设其公比为 q， 则 b 144，且 b21q20，b22， 2 2 . a1a2 b2 a2a1 b2 1 2 5设 Sn为等比数列an的前
6、 n 项和，8a2a50，则 . S5 S2 答案 11 解析 设等比数列an的公比为 q， 8a2a50，8a1qa1q40. q380，q2， S5 S2 a11q5 1q 1q a11q2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11. 1q5 1q2 125 14 6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 MB，然后每 3 秒自身复制一次，复制 后所占内存是原来的 2 倍，那么开机 秒，该病毒占据内存 8 GB.(1 GB210 MB) 答案 39 解析 由题意可知， 病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an， 且a12， q2， an 2n， 则 2n8210213
7、，n13. 即病毒共复制了 13 次 所需时间为 13339(秒) 题型一 等比数列基本量的运算 1(2018济南模拟)已知正项等比数列an满足 a31，a5与 a4的等差中项为 ，则 a1的值为 3 2 1 2 ( ) A4 B2 C. D. 1 2 1 4 答案 A 解析 设公比为 q.a31，a5与 a4的等差中项为 ，Error!Error!即 a1的值为 4， 3 2 1 2 故选 A. 2(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式； (2)记 Sn为an的前 n 项和，若 Sm63，求 m. 解 (1)设an的公比为 q，由题设得 anqn1. 高
8、清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2. 故 an(2)n1或 an2n1(nN*) (2)若 an(2)n1，则 Sn. 12n 3 由 Sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解 若 an2n1，则 Sn2n1. 由 Sm63 得 2m64，解得 m6. 综上，m6. 思维升华 (1)等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，q，n，Sn，已知其中 三个就能求另外两个(简称“知三求二”) (2)运用等比数列的前 n 项和公式时，注意对 q1 和 q1 的分类讨论 题型二 等比数列的判定与证明 例 1 已知数
9、列an满足对任意的正整数 n，均有 an15an23n，且 a18. (1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式； (2)记 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn. an 3n 解 (1)因为 an15an23n， 所以 an13n15an23n3n15(an3n)， 又 a18，所以 a1350， 所以数列an3n是首项为 5、公比为 5 的等比数列 所以 an3n5n，所以 an3n5n. (2)由(1)知，bn1 n， an 3n 3n5n 3n ( 5 3) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则数列bn的前 n 项和 Tn1 1121nn n . ( 5 3)
10、 ( 5 3) ( 5 3) 5 31( 5 3) n 15 3 5n1 23n 5 2 思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法： (1)定义法：若q(q 是不为零的常数)，则数列an是等比数列； an1 an (2)等比中项法：若 aanan2(nN*，an0)，则数列an是等比数列； 2n1 (3)通项公式法：若 anAqn(A，q 是不为零的常数)，则数列an是等比数列 跟踪训练 1 (2018黄山模拟)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，Sn14an2. (1)设 bnan12an，证明：数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由 a11 及 Sn
11、14an2， 有 a1a2S24a12. a25，b1a22a13. 又Error! ，得 an14an4an1(n2)， an12an2(an2an1)(n2) bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列 (2)解 由(1)知 bnan12an32n1， ， an1 2n1 an 2n 3 4 故是首项为 ，公差为 的等差数列 an 2n 1 2 3 4 (n1) ， an 2n 1 2 3 4 3n1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 an(3n1)2n2. 题型三 等比数列性质的应用 例 2 (1)(2018钦州质检)已知数列
12、an是等比数列，若 a21，a5 ，则 a1a2a2a3anan1 1 8 (nN*)的最小值为( ) A. B1 C2 D3 8 3 答案 C 解析 由已知得数列an的公比满足 q3 ， a5 a2 1 8 解得 q ，a12，a3 ， 1 2 1 2 故数列anan1是以 2 为首项，公比为 的等比数列， a2a3 a1a2 1 4 a1a2a2a3anan1 21(1 4) n 11 4 ，故选 C. 8 31( 1 4) n 2， 8 3) (2)(2018大连模拟)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，S21，S45，则 S6等于( ) A9 B21 C25 D63 答案 B 解析
13、因为 S210，所以 q1，由等比数列性质得 S2，S4S2，S6S4成等比数列， 即1(S65)(51)2，所以 S621，故选 B. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形 (2)等比中项的变形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突破口 跟踪训练 2 (1)等比数列an各项均为正数， a3a8a4a718， 则a1a2 3 log 3 log 3 log a10 . 答案 20 解析 由 a3a8a4a718，得 a4a79 所以a1a2a1
14、0 3 log 3 log 3 log 5 3 log(a1a2a10) 3 log(a1a10) 5 952log3310 3 log(a4a7) 3 log 20. (2)(2018新乡模拟)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， 且 ， 则 (n2， S3 S6 8 9 an1 anan1 且 nN) 答案 1 2 解析 很明显等比数列的公比 q1， 则由题意可得， ， S3 S6 a1(1q3) 1q a1(1q6) 1q 1 1q3 8 9 解得 q ， 1 2 则 . an1 anan1 an1q2 an1qan1 q2 q1 1 4 1 21 1 2 高清试卷 下载可打印 高清
15、试卷 下载可打印 等差数列与等比数列 关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需 要认真计算，灵活处理已知条件 例 1 (2018蓉城名校联考)已知等差数列an的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7成等比 数列，则的值为( ) a3a6a11 a1a8a10 A. B. C. D. 13 14 12 13 11 12 1 3 答案 A 解析 已知等差数列an的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7成等比数列， a a2a7， (a14d)2(a1d)(a16d)， 10d2a1d， d0， 10da1， 2 5 a3a6a11 a1a8a1
16、0 . 3a117d 3a116d 30d17d 30d16d 13 14 例2 (2018烟台质检)已知an为等比数列， 数列bn满足b12， b25， 且an(bn1bn)an1， 则数列bn的前 n 项和为( ) A3n1 B3n1 C. D. 3n2n 2 3n2n 2 答案 C 解析 b12，b25，且 an(bn1bn)an1， a1(b2b1)a2，即 a23a1， 又数列an为等比数列， 数列an的公比为 q3， bn1bn3， an1 an 数列bn是首项为 2，公差为 3 的等差数列， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数列bn的前 n 项和为 Sn2n3.故选
17、C. nn1 2 3n2n 2 1 (2018重庆巴蜀中学月考)已知等比数列an满足 a11， a3a716， 则该数列的公比为( ) A B.22 C2 D2 答案 A 解析 根据等比数列的性质可得 a3a7a a q8q81624， 2 52 1 所以 q22，即 q，故选 A.2 2(2018菏泽模拟)等比数列an中，a2，a16是方程 x26x20 的两个实数根，则的 a2a16 a9 值为( ) A2 B或22 C. D22 答案 B 解析 a2，a16是方程 x26x20 的根， a2a166， a2a162， a20， q0.a9 a2a16 a9 a2a16 .故选 B.2 3
18、(2018马鞍山质检)等比数列an的前 n 项和为 Sn32n1r，则 r 的值为( ) A. B 1 3 1 3 C. D 1 9 1 9 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 解析 当 n1 时，a1S13r， 当 n2 时，anSnSn132n132n3 32n3(321)832n3832n231 9n1， 8 3 所以 3r ，即 r ，故选 B. 8 3 1 3 4(2018湘潭模拟)已知等比数列an的公比为2，且 Sn为其前 n 项和，则等于( ) S4 S2 A5 B3 C5 D3 答案 C 解析 由题意可得， 1(2)25. S4 S2 a1124 12 a11
19、22 12 5(2019西北师大附中冲刺诊断)古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织， 日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天 的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若 要使织布的总尺数不少于 30，该女子所需的天数至少为( ) A10 B9 C8 D7 答案 C 解析 设该女子第一天织布 x 尺， 则5，解得 x， x125 12 5 31 所以前 n 天织布的尺数为(2n1)， 5 31 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由(2n1)30，得 2n187，解得 n 的最小值为 8
20、. 5 31 6 (2018海南联考)已知正项数列an满足 a2a an1an0， 设 bnlog2， 则数列bn 2n12 n an1 a1 的前 n 项和为( ) An B.nn1 2 C. D. nn1 2 n1n2 2 答案 C 解析 由 a2a an1an0， 2n12 n 可得(an1an)(an12an)0，又 an0，2， an1 an an1a12n. bnlog2log22nn， an1 a1 数列bn的前 n 项和为，故选 C. nn1 2 7已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12 018，a2a42a3，则 S2 019 . 答案 2 018 解析 a2a4
21、2a3， a2a42a30，a22a2qa2q20， q22q10，解得 q1. a12 018， S2 019 a11q2 019 1q 2 018 112 019 2 2 018. 8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树” 若某勾股树含有 1 023 个正方形，且其最大 的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 2 2 答案 1 32 解析 由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到 2 2 2 2 1 023 个正方形，则有 122n11
22、 023，n10，最小正方形的边长为 9 2 2( 2 2) . 1 32 9已知各项均为正数的等比数列an满足 a1 ，且 a2a82a53，则 a9 . 1 2 答案 18 解析 a2a82a53，a 2a53， 2 5 解得 a53(舍负)，即 a1q43，则 q46，a9a1q8 3618. 1 2 10 (2019华大新高考联盟质检)设等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a3a112a ， 且 S4S12 2 5 S8，则 . 答案 8 3 解析 a3a112a ，a 2a ，q42， 2 52 72 5 S4S12S8， ， a11q4 1q a11q12 1q a11q8
23、1q 1q41q12(1q8)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将 q42 代入计算可得 . 8 3 11(2018全国)已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bn. an n (1)求 b1，b2，b3； (2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； (3)求an的通项公式 解 (1)由条件可得 an1an， 2n1 n 将 n1 代入得，a24a1，而 a11，所以 a24. 将 n2 代入得，a33a2，所以 a312. 从而 b11，b22，b34. (2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得，即 bn12bn， an1 n1 2an n
24、 又 b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 (3)由(2)可得2n1， an n 所以 ann2n1. 12已知数列an满足 a11，a22，an2，nN*. anan1 2 (1)令 bnan1an，证明：bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 b1a2a11. 当 n2 时，bnan1anan an1an 2 (anan1) bn1， 1 2 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 bn是以 1 为首项， 为公比的等比数列 1 2 (2)解 由(1)知 bnan1an n1， ( 1 2) 当 n2 时， ana1(a2a1)(a3a2)(an
25、an1) 11 n2 ( 1 2) ( 1 2) 1 1(1 2) n1 1(1 2) 12 31( 1 2) n1 n1. 5 3 2 3( 1 2) 当 n1 时， 111a1， 5 3 2 3 ( 1 2) an n1(nN*) 5 3 2 3( 1 2) 13(2018北师大附中模拟)正项等比数列an中的 a1，a4 037是函数 f(x) x34x26x3 的 1 3 极值点，则a2 019等于( ) 6 log A1 B2 C1 D. 2 答案 A 解析 因为 f(x)x28x6，所以 a1a4 0376， 所以 a2 019(舍负)，a2 0191.6 6 log 高清试卷 下载
26、可打印 高清试卷 下载可打印 14 (2018皖南八校联考)已知数列an的前 n 项和为 Sn2n12， bnlog2(a )， 数列bn 2 n 2 n a 的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn1 024 的最小 n 的值为 答案 9 解析 由数列an的前 n 项和为 Sn2n12， 则当 n2 时，anSnSn12n122n22n， a1S12，满足上式， 所以 bnlog2(a )log2a log22n2n， 2 n 2 n a 2 n 2 n a 所以数列bn的前 n 和为 Tn n22n 2 212n 12 n(n1)2n12， 当 n9 时，T991021021 1121 024
27、， 当 n8 时，T8892925821 024 的最小 n 的值为 9. 15 已知等比数列an的各项均为正数且公比大于 1， 前 n 项积为 Tn， 且 a2a4a3， 则使得 Tn1 的 n 的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 答案 C 解析 an是各项均为正数的等比数列， 且a2a4a3， a a3， a31.又q1， a11(n3)， TnTn1(n4， nN*)， T11，故 n 的最小值为 6，故选 C. 5 3 16在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一 次“扩展” 将数列 1，2 进行“扩展” ，第一次得到数列 1，2，2； 第二次得到数列 1，2，2，4， 2；.设第 n 次“扩展”后得到的数列为 1，x1，x2，xt，2，并记 anlog2(1x1x2xt2)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 其中 t2n1，nN*，求数列an的通项公式 解 anlog2(1x1x2xt2)， 所以 an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2 log2(12x x x x 22)3an1， 3 13 23 33 t 所以 an1 3， 1 2 (a n1 2) 所以数列是一个以 为首项，以 3 为公比的等比数列， a n1 2 3 2 所以 an 3n1，所以 an. 1 2 3 2 3n1 2