《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第十章 10.3 二项式定理 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第十章 10.3 二项式定理 Word版含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.3 二项式定理 二项式定理 最新考纲 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理， 会用二项式定理解决与二项展 开式有关的简单问题 1二项式定理 二项式定理(ab)nC anC an1b1C ankbkC bn(nN*) 0 n1 nk nn n 二项展开式 的通项公式 Tk1C ankbk，它表示第 k1 项 k n 二项式系数二项展开式中各项的系数 C (k0,1,2，n) k n 2.二项式系数的性质 (1)C 1，C 1. 0 nn n CCC . mn1m1nm n (2)C C. m nnmn (3)当 n 是偶数时， 项的二项式系
2、数最大；当 n 是奇数时，与项的二项式系数 1 2 n T 1 2 n T 1 1 2 n T 相等且最大 (4)(ab)n展开式的二项式系数和：C C C C 2n. 0 n1 n2 nn n 概念方法微思考 1(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？ 提示 (ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同， 但对应的项不相同而且两个展开式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 的通项不同 2二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，
3、从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第 一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C，C . 0 n1 nn1nn n 3二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？ 提示 不一定最大， 当二项式中a， b 的系数为1 时， 此时二项式系数等于项的系数， 否则不一定 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)C ankbk是二项展开式的第 k 项( ) k n (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关( )
4、 (4)(ab)n的展开式第 k1 项的系数为 C ankbk.( ) k n (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.( ) 题组二 教材改编 2(12x)5的展开式中，x2的系数等于( ) A80 B40 C20 D10 答案 B 解析 Tk1C (2x)kC 2kxk，当 k2 时，x2的系数为 C 2240. k 5k 52 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3若 n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( ) (x 1 x) A10 B20 C30 D120 答案 B 解析 二项式系数之和 2n64，所以 n6，Tk1C x6k kC x62k，当 62
5、k0，即k 6 ( 1 x) k 6 当 k3 时为常数项，T4C 20. 3 6 4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4的值为( ) A9 B8 C7 D6 答案 B 解析 令 x1，则 a0a1a2a3a40，令 x1，则 a0a1a2a3a416，两式相 加得 a0a2a48. 题组三 易错自纠 5(xy)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( ) AC BC m nm1n CC D(1)m1C m1nm1n 答案 D 解析 (xy)n二项展开式第 m 项的通项公式为 TmC(y)m1xnm1， m1n 所以系数为 C(1)m1. m1n 6已知(x1)10a
6、1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是 一个单调递增数列，则 k 的最大值是( ) A5 B6 C7 D8 答案 B 解析 由二项式定理知，anC(n1,2,3，11) n110 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项， 所以 a6C ，则 k 的最大值为 6. 5 10 7(2018海淀模拟)在 5的二项展开式中，x3的系数为_ (x 2 x) 答案 10 解析 因为其通项为 Tk1C x5k k2kC x52k，令 52k3，得 k1，所以 x3的系数k 5 ( 2 x) k 5 为 21C
7、 10. 1 5 题型一 二项展开式 命题点 1 求指定项(或系数) 例 1 (1)(2017全国)(1x)6的展开式中 x2的系数为( ) (1 1 x2) A15 B20 C30 D35 答案 C 解析 因为(1x)6的通项为 C xk， k 6 所以(1x)6的展开式中含 x2的项为 1C x2和 C x4. (1 1 x2) 2 6 1 x2 4 6 因为 C C 2C 230， 2 64 62 6 6 5 2 1 所以(1x)6的展开式中 x2的系数为 30. (1 1 x2) 故选 C. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)在(x24)5的展开式中，含 x6的项为_
8、答案 160x6 解析 因为(x24)5的展开式的第 k1 项为 Tk1C (x2)5k(4)k(4)kC x102k， k 5k 5 令 102k6，得 k2，所以含 x6的项为 T3(4)2C x6160x6. 2 5 命题点 2 求参数 例 2 (1)(2018海口调研)若(x2a) 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( ) (x 1 x) A. B. C1 D2 1 3 1 2 答案 D 解析 由题意得 10的展开式的通项公式是 Tk1C x10kkC x102k，10的 (x 1 x) k 10 ( 1 x) k 10 (x 1 x) 展开式中含 x4(当 k3 时)，
9、 x6(当 k2 时)项的系数分别为 C ， C ， 因此由题意得 C aC 3 102 103 102 10 12045a30，由此解得 a2，故选 D. (2)若 6的展开式中常数项为 ，则实数 a 的值为( ) (x 2 1 ax) 15 16 A2 B. C2 D 1 2 1 2 答案 A 解析 6的展开式的通项为 Tk1C (x2)6kkCkx123k，令 123k0，得 k4. (x 2 1 ax) k 6 ( 1 ax) k 6(1 a) 故 C 4 ，即 4 ，解得 a2，故选 A. 4 6 ( 1 a) 15 16 ( 1 a) 1 16 思维升华 求二项展开式中的特定项，一
10、般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常 数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可 跟踪训练 1 (1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A80 B40 C40 D80 答案 C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 因为 x3y3x(x2y3)，其系数为C 2240， 3 5 x3y3y(x3y2)，其系数为 C 2380. 2 5 所以 x3y3的系数为 804040. 故选 C. (2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为 15，则 a_.(用数字填写答案) 答案 1 2 解析 通项为 Tk1
11、C x10kak，令 10k7， k 10 k3，x7项的系数为 C a315， 3 10 a3 ，a . 1 8 1 2 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题 例 3 (1)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_. 答案 3 解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 a1a3a58(a1)，所以 8(a1)32，解得 a3. (2)(2018汕头
12、质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9， 且(a0a2a8)2 (a1a3a9)239，则实数 m 的值为_ 答案 1 或3 解析 令 x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令 x2，则 m9a0a1a2a3a9， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3 或 m1. (3)若 n的展开式中含 x 的项为第 6 项， 设(13x)na0a1xa2x2anxn， 则 a1 (x 21 x) a2an的值为_ 答案 255 解析 n展
13、开式的第 k1 项为 (x 21 x) Tk1C (x2)nk kk n ( 1 x) C (1)kx2n3k， k n 当 k5 时，2n3k1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令 x1，得 a0a1a828256. 又当 x0 时，a01， a1a2a8255. 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法 (2)若f(x)a0a1xa2x2anxn， 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0 a2a4，偶数项系数之和为 a1a3a5. f1f1
14、2 f1f1 2 跟踪训练 2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 解 令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a71. 令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a737. (1)a0C 1，a1a2a3a72. 0 7 (2)()2， 得 a1a3a5a71 094. 137 2 (3)()2， 得 a0a2a4a61 093. 137 2 (4)方法一 (12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3，
15、a5，a7小于零， |a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187. 方法二 |a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令 x1， |a0|a1|a2|a7|372 187. 题型三 二项式定理的应用 例 4 (1)设 aZ 且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a 等于( ) A0 B1 C11 D12 答案 D 解析 512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C 02 01212 0122 0112 0122 0122 012 (1)2 012a
16、， C522 012C522 011C52(1)2 011能被 13 整除且 512 012a 能被 13 整除， 02 01212 0122 0112 012 C(1)2 012a1a 也能被 13 整除，因此 a 的值为 12. 2 0122 012 (2)设复数 x(i 是虚数单位)，则 CxCx2Cx3Cx2 017等于( ) 2i 1i 12 01722 01732 0172 0172 017 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Ai BI C1i D1i 答案 C 解析 x1i， 2i 1i 2i1i 1i1i CxCx2Cx3Cx2 017 12 01722 01732
17、0172 0172 017 (1x)2 0171i2 0171i1. 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二 项式定理求解 (2)利用二项式定理解决整除问题的思路 观察除式与被除式间的关系； 将被除式拆成二项式； 结合二项式定理得出结论 跟踪训练 3 (1)(2018泉州模拟)190C 902C 903C (1)k90kC 9010C除 1 102 103 10k 101010 以 88 的余数是( ) A1 B1 C87 D87 答案 B 解析 190C 902C 903C (1)k90kC 9010C (190
18、)108910(88 1 102 103 10k 101010 1)108810C 889C 881， 1 109 10 前 10 项均能被 88 整除，余数是 1. (2)若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，则_. a1 2 a2 22 a2 018 22 018 答案 1 解析 当 x0 时，左边1，右边a0，a01. 当 x 时，左边0，右边a0， 1 2 a1 2 a2 22 a2 018 22 018 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 01， a1 2 a2 22 a2 018 22 018 即1. a1 2 a2 22 a2 018 22 0
19、18 1(2018贵港联考)在 6的展开式中，常数项为( ) (x 22 x) A240 B60 C60 D240 答案 D 解析 6的展开式中， 通项公式为 Tk1C (x2)6kk(2)kC x123k， 令 123k0， (x 22 x) k 6 ( 2 x) k 6 得 k4，故常数项为 T5(2)4C 240，故选 D. 4 6 2(2018南宁联考) 5的展开式中 x3项的系数为( ) (2x 1 x) A80 B80 C40 D48 答案 B 解析 5的展开式的通项公式为Tk1C (2x)5kk(1)k25kC x52k， 令52k3， (2x 1 x) k 5 ( 1 x) k
20、 5 得 k1.于是展开式中 x3项的系数为(1)251C 80，故选 B. 1 5 3(2018广州海珠区模拟)(xy)(2xy)6的展开式中 x4y3的系数为( ) A80 B40 C40 D80 答案 D 解析 (2xy)6的展开式的通项公式为 Tk1C (2x)6k(y)k， 当 k2时， T3240x4y2， 当 k k 6 3 时，T4160x3y3，故 x4y3的系数为 24016080，故选 D. 4(13x)n的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 x4的二项式系数为( ) A21 B35 C45 D28 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 解析 Tk1C
21、(3x)k3kC xk，由已知得 35C 36C ，即 C 3C ，n7，因此，x4的二 k nk n5 n6 n5 n6 n 项式系数为 C 35，故选 B. 4 7 5(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是( ) A20 B15 C15 D20 答案 C 解析 设展开式中的常数项是第k1项， 则Tk1C (4x)6k(2x)kC (1)k212x2kx2kx k 6k 6 C (1)k212x3kx， k 6 12x3kx0 恒成立，k4， T5C (1)415. 4 6 6(2018海南联考)(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为( ) A3 B2 C1 D4 答案 B 解析
22、(x1)4的通项为Tk1C x4k(1)k， (x2x1)(x1)4的展开式中， x3的系数为C (1) k 43 4 C C (1)2，故选 B. 2 41 4 7(2018长郡中学质检)若二项式 7的展开式中的各项系数之和为1，则含 x2的项的 (x 2a x) 系数为( ) A560 B560 C280 D280 答案 A 解析 取 x1，得二项式 7的展开式中的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解 (x 2a x) 得 a2.二项式 7的展开式的通项为 Tk1C (x2)7kkC (2)kx143k.令 (x 22 x) k 7 ( 2 x) k 7 143k2，得 k4.因此
23、，二项式 7的展开式中含 x2项的系数为 C (2)4560，故 (x 22 x) 4 7 选 A. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8(2018益阳市、湘潭市调考)若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，则 a13a232 a2 01832 018的值为( ) A22 0181 B82 0181 C22 018 D82 018 答案 B 解析 由已知，令 x0，得 a01，令 x3，得 a0a13a232a2 01832 018(19)2 01882 018，所以 a13a232a2 01832 01882 018a082 0181，故选 B. 9若将函数
24、 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中 a0，a1， a2，a5为实数，则 a3_.(用数字作答) 答案 10 解析 f(x)x5(1x1)5， 它的通项为 Tk1C (1x)5k(1)k， k 5 T3C (1x)3(1)210(1x)3，a310. 2 5 10若 6的展开式中 x3项的系数为 20，则 log2alog2b_. (ax 2b x) 答案 0 解析 6的展开式的通项为 Tk1C a6kbkx123k，令 123k3，则 k3，6 (ax 2b x) k 6 (ax 2b x) 的展开式中 x3项的系数为 C a3b320，ab1，
25、3 6 log2alog2blog2(ab)log210. 119192除以 100 的余数是_ 答案 81 解析 9192(901)92C 9092C 9091C 902C 90C k10092901 0 921 92909291929292 k1008210081(k 为正整数)， 所以 9192除以 100 的余数是 81. 12(2018南阳模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则 a2a4a12 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _.(用数字作答) 答案 364 解析 令 x1，得 a0a1a2a1236， 令 x1，得 a0a1a2a121， a0a2a4
26、a12. 361 2 令 x0，得 a01， a2a4a121364. 361 2 13 (2018珠海模拟)在(1x)6(1y)4的展开式中， 记 xmyn项的系数为 f(m， n)， 则 f(3,0)f(2,1) f(1,2)f(0,3)等于( ) A45 B60 C120 D210 答案 C 解析 因为 f(m，n)C C ， m 6n 4 所以 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3) C C C C C C C C 120. 3 60 42 61 41 62 40 63 4 14(2018衡水模拟)已知 n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分 (x 1 2x
27、) 别为 p，q，则 p64q 的最小值为_ 答案 16 解析 显然 p2n.令 x1，得 q.所以 p64q2n216，当且仅当 2n， 1 2n 64 2n 2n64 2n 64 2n 即 n3 时取等号，此时 p64q 的最小值为 16. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 15求 5的展开式中的常数项 (2x 1 x3) 解 5表示五个 相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是 (2x 1 x3) (2x 1 x3) 从五个中分别抽取 2x,2x，3，则此时的常数项为 C C 22(3)360， (2x 1 x3) 1 x 1 x 2 52 3 第二种情况是从五个中都抽
28、取3，则此时的常数项为(3)5243，第三种情况 (2x 1 x3) 是从五个中分别抽取 2x， 3， 3， 3， 则此时的常数项为 C C 21(3)31 (2x 1 x3) 1 x 1 51 4 080，则展开式中常数项为3602431 0801 683. 16若 n展开式中前三项的系数和为 163，求： ( x 2 4 x) (1)展开式中所有 x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项 解 易求得展开式前三项的系数为 1,2C ，4C . 1 n2 n 由题意得 12C 4C 163，可得 n9. 1 n2 n (1)设展开式中的有理项为 Tk1， 由 Tk1C ()9k k ， k 9 x ( 2 4 x) 18 3 4 9 2 C k kkx 又0k9，k2,6. 故有理项为 T3144x3， 18 3 2 22 4 9 2 Cx T75 376. 18 3 6 66 4 9 2Cx (2)设展开式中 Tk1项的系数最大，则 Error! k， 17 3 20 3 又kN，k6， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故展开式中系数最大的项为 T75 376.