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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 14 讲 导数与函数的单调性第 14 讲 导数与函数的单调性 函数的单调性与导数 单调递 增 在区间(a,b)上,若f(x)0,则f(x)在这个区间 上单调 导数 到 单调 性 单调递 减 在区间(a,b)上,若f(x)f(2x-1)的解集为 . 1 x 7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为 . 8.讨论函数y=ax3-x在 R 上的单调性时,a应分 、 、 三种情况讨论. 探究点一 函数单调性的判断或证明 例1 2018商丘二模 已知函数f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中m为常数,且m- .讨论函数 e 2 f(x)的单
2、调性. 总结反思 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤: (1)求f(x). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)确认f(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号). (3)得出结论:f(x)0 时,函数f(x)为增函数;f(x)0,若 13ln x+1 的解集为 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 14 讲 导数与函数的单调性 考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性; 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【课前双基巩固】 知识聚焦 递增 递减 0
3、0 充分 对点演练 1.(0,+) 解析 由f(x)=ex-10,解得x0,故其单调递增区间是(0,+). 2. 解析 设f(x)=x-ln x,x(1,+),则f(x)=1- 0,所以函数f(x)在(1,+)上是增 1 x 函数,所以f(x)=x-ln x10,所以xln x. 3.(-,0) 解析 y=3ax2,函数在区间(-,+)上是减函数, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 y0 在(-,+)上恒成立,即 3ax20 恒成立, a0.当a=0 时,y=-1,不是减函数, a0,所以函数f(x)=ln x-在(0,+)上为增函数,( 1 2, 2 3) 1 x 1 x2 1 x
4、 所以只需满足 1-x2x-10,解得0,得x0,可得0,得 2-x1,解得x0 a=0 a0,a=0,a0,ex+1+2m0. 当x0 时,f(x)0;当xx2. e 2 则当x0 时,f(x)0; 当 ln(-2m)-10. 故f(x)在区间(-,ln(-2m)-1),(0,+)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减. 综上所述,当m0 时,f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增; 当- 1), 则g(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线x=-, 1 3 所以g(x)在(1,+)上单调递增, 所以g(x)312+21+a=5+a. 因为a-5,所以g
5、(x)0 在(1,+)上恒成立, 所以g(x)在(1,+)上为增函数, 可得g(x)g(1)=20,即f(x)0, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以f(x)在区间(1,+)上为增函数. 例2 思路点拨 (1)求出f(1)及f(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域 内,令f(x)0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f(x)0,得x;由g(x)0,即f(x)0, 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+). 变式题 (1)A (2)(0,1) 解析 (1)f(x)= -4+x=,由f(x)0,得 03,f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,
6、+). (2)函数f(x)的定义域是(0,+), f(x)=1- + =. 3 x2 2 x (x + 3)(x - 1) x2 令f(x)0 可得单调递增区 间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+),当a=3 时,f(x)=x2+ln x-3x, f(x)=2x+ -3=, 1 x 2x2- 3x + 1 x 由f(x)0,得 01, 1 2 函数f(x)的单调递增区间为,(1,+).(0, 1 2) (2)由题意得f(x)=2x+ -a. 1 x f(x)在(0,1)上是增函数, f(x)=2x+ -a0 在(0
7、,1)上恒成立, 1 x 即a2x+在(0,1)上恒成立. 1 x 2x+2,当且仅当 2x=,即x=时,等号成立, 1 x 2 1 x 2 2 a2,2 故实数a的取值范围为(-,2.2 变式题 (1)A (2)C 解析 (1)f(x)=2x+sin xcos x+acos x, f(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3. 设t=sin x,-1t1, 则g(t)=-2t2-at+3, f(x)在(-,+)上单调递增, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 g(t)0 在-1,1上恒成立. 二次函数g(t)的图像开口向下, 可得-1a1,即a的取值范围
8、是-1,1,故选 A. g(1) 0, g( - 1) 0, (2)函数f(x)=x+aln x的定义域为(0,+),f(x)=1+ .当a0时,f(x)0,函数 a x f(x)=x+aln x是增函数.当a0,得x-a,所以函数 f(x)=x+aln x在(0,-a)上单调递减,在(-a,+)上单调递增.因为f(x)=x+aln x不是单调函 数,所以实数a的取值范围是(-,0),故选 C. 例4 思路点拨 (1)构造函数g(x)=,通过g(x)的符号判断函数g(x)的单调性,利用单 f(x) ex 调性得出x的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数f(x)的图像关于直线x=2 对称
9、, 再通过讨论导数的符号得到函数f(x)的单调性,最后将4a,log3a,3转化到同一个单调区间上 比较其对应函数值的大小. (1)A (2)B 解析 (1)设g(x)=,则g(x)=,f(x)0, f(x) ex f(x) - f(x) ex 即函数g(x)在 R 上单调递增.f(0)=2,g(0)=f(0)=2, 则不等式f(x)0, 当x2 时,f(x)0, 即函数f(x)在(2,+)上为增函数. 10),则f(x)=, lnx x 1 - lnx x2 可得函数f(x)在(0,e)上单调递增,所以f(2.1)3ln x+1 等价于f(t)3t+1. 设g(x)=f(x)-3x-1,则g
10、(x)=f(x)-3, f(x)的导函数f(x)0=g(2),解得t3ln x+1 的解集为(0,e2). 【备选理由】 例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式f(x)0的解集对应的区 间是函数f(x)的单调递增区间,不等式f(x)0,若x(-,a-1),则f(x)0,f(x)为增函数. 当a0 时,令f(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a. 令g(a)=a-1-ln a,则g(a)=1- =, 1 a a - 1 a 当a(0,1)时,g(a)0,g(a)为增函数, g(a)min=g(1)=0, a-1ln a(当且仅当a=1 时取“=”). 当 01 时,若x(-,ln a
11、),则f(x)0,f(x)为增函数;若x(ln a,a-1),则 f(x)0,f(x)为增函数. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当a=1 时,f(x)=x(ex-1)0,f(x)在(-,+)上为增函数. 综上所述:当a0时,f(x)在(-,a-1)上为减函数,在(a-1,+)上为增函数;当01 时,f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在(-,ln a)和(a-1,+)上为增函数;当a=1 时,f(x)在 (-,+)上为增函数. 例 2 配合例 2 使用 2018东莞模拟 已知函数f(x)=ax2e-x(a0),求函数f(x)的单调 区间. 解:对f(x)求导,得f(x)=a
12、=a. 2xex- x2ex (ex)2 x(2 - x) ex 若a0,则当x(0,2)时,f(x)0,当x(-,0)或x(2,+)时,f(x)0, 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(-,0),(2,+)上单调递增. 例 3 配合例 3 使用 2018重庆七校期末 已知函数f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n为常数). (1)当n=1 时,讨论函数g(x)=exf(x)的单调性; (2)当n=2 时,若函数h(x)=x+在0,+)上单调递增,求m的取值范围. f(x) ex 解:(1)当n=1 时,g(x)=exx2+(m+2)x+1, g(x)=exx2+(m+4)x+(m+3)
13、=ex(x+1)x+(m+3). 令g(x)=0,解得x=-1 或x=-(m+3). 当-1-(m+3),即m-2 时,函数g(x)的单调递增区间为(-,-m-3),(-1,+),单调递减区间 为(-m-3,-1). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)当n=2 时,h(x)=x+, x2+ (m + 2)x + 2 ex h(x)=1+. - x2- mx + m ex 由题意知,h(x)0 在0,+)上恒成立, 即 ex-x2m(x-1)在0,+)上恒成立. 当x=1 时,不等式成立. 当x1 时,令k(x)=,则k(x)=. ex- x2 x - 1 (x - 2)(ex- x) (x - 1)2 当x1 时,只需k(x)m恒成立. ex-x0 恒成立(可求导证明), 当 12 时,k(x)0,k(x)单调递增. k(x)k(2)=e2-4,me2-4. 当 0x1 时,只需k(x)m恒成立. 0x1,k(x)0,k(x)单调递减, k(x)k(0)=-1,m-1. 综上所述,-1me2-4.