通用版2020版高考数学大一轮复习第23讲正弦定理和余弦定理学案理新人教A版20190313367.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 23 讲 正弦定理和余弦定理第 23 讲 正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理余弦定理 公 式 = = a sinA =2R(其中R是ABC 的外接圆的半径) a2= , b2= , c2= 定 理 的 变 形 a=2Rsin A,b= ,c = ,ab c= cos A= , cos B= , cos C= 2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: A为锐角A为钝角 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin Ab 解的个 数 3.三角形面积公式 (1)S= ah

2、(h表示边a上的高); 1 2 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 1 2 1 2 1 2 (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 1 2 常用结论 1.三角形内角和定理:在ABC中,A+B+C=; 变形:= - . A + B 2 2 C 2 2.三角形中的三角函数关系: (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sin =cos ;(4)cos =sin . A + B 2 C 2 A + B 2 C 2 3.三角形中的射影定理 在ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A

3、;c=bcos A+acos B. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题组一 常识题 1. 教材改编 在ABC中,B=45,C=60,c=2,则最短边的边长等于 . 2. 教材改编 在ABC中,已知a=5,b=2,C=30,则c= . 3 3. 教材改编 在ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于 . 4. 教材改编 在ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则ABC的面积为 . 23 1 3 题组二 常错题 索引:在ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、 面积公式中边与角的三角函数的对应 关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错. 5.在A

4、BC中,若 sin A=sin B,则A,B的关系为 ;若 sin Asin B,则A,B的关系 为 . 6.在ABC中,若A=60,a=4,b=4,则B等于 . 32 7.在ABC中,a=2,b=3,C=60,则c= ,ABC的面积等于 . 8.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则ABC为 三角形. 探究点一 利用正弦、余弦定理解三角形 例 1 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,且b2+c2=3+bc.3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求角A的大小; (2)求bsin C的最大值. 总结反思 (1)正弦定理

5、、 余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素, 基本思想是方程思想,即根据正弦定理、 余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得 未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以 把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问 题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. 变式题 (1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+=, 则32 tanA tanB 2c b C=( ) A.B. 6 4 C.或D. 4 3 4 3 (2) 2018衡

6、水中学月考 已知ABC满足BCAC=2,若C=,=,则2 3 4 sinA sinB 1 2cos(A + B) AB= . 探究点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例 2 已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若 sin Bsin C=sin2A,则ABC的形状是 ( ) A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 总结反思 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、 配方等得出边 的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系

7、,从而判 断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C= 这个结论. 变式题 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若=,则ABC是( ) tanA tanB a2 b2 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 探究点三 与三角形面积有关的问题 例 3 2018洛阳三模 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsin B+(c-b)sin C=asin A. (1)求角A的大小; (2)若 sin Bsin C=,且ABC的面积为 2,求a. 3 8 3 总结反思 (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、 余弦值),一般结合题意

8、求夹这个 角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数 的性质求解,也可结合基本不等式求解. 变式题 2018黄冈中学月考 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 bc=1,a2-bc=(b-c)2. (1)求ABC的面积; (2)若 cos Bcos C=,求ABC的周长. 1 4 第 23 讲 正弦定理和余弦定理 考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理. 2.能利用正弦

9、定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 【课前双基巩固】 知识聚焦 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1. b2+c2-2bccos A c2+a2-2accos B a2+b2-2abcos C 2Rsin B 2Rsin C sin b sinB c sinC Asin Bsin C b2+ c2- a2 2bc a2+ c2- b2 2ca a2+ b2- c2 2ab 2.一解 两解 一解 一解 对点演练 1. 解析 易知A=75,角B最小,所以边b最短.由正弦定理=,得=, 26 3 b sinB c sinC b sin45 2 sin60 解得b=. 26 3 2

10、. 解析 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=52+(2)2-252cos 30=7,所以733 c=.7 3.60 解析 因为 cos C=,所以C=60. a2+ b2- c2 2ab 1 2 4.4 解析 因为 sin C=,所以ABC的面积S= absin C=4.31 - cos2C 22 3 1 2 3 5.A=B AB 解析 根据正弦定理知,在ABC中有 sin A=sin Ba=bA=B,sin Asin BabAB. 6.45 解析 由正弦定理知=,则sin B=.又ab,所以AB,所以B a sinA b sinB bsinA a 4 2 3 2 43 2 2

11、为锐角,故B=45. 7. 解析 易知c=,ABC的面积等于7 33 2 4 + 9 - 2 2 3 1 2 7 1 2 23=. 3 2 33 2 8.直角 解析 ccos A=b,由正弦定理得 sin Ccos A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 整理得 sin Acos C=0, sin A0, cos C=0,即C=90,则ABC为直角三角形. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【课堂考点探究】 例1 思路点拨 (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将bsin C表示为关于C的三角函数, 再结合C的取值范围求最大值. 解:(1)由

12、a=,b2+c2=3+bc,得=,3 b2+ c2- a2 2bc 3 + bc - a2 2bc 1 2 即 cos A=,又A(0,),A= . 1 2 3 (2)由正弦定理,得b=sin B=2sin B, a sinA bsin C=2sin Csin B=2sin Csin=2sin C=sin2C+sin Ccos C=( 2 3 - C)( 1 2sinC + 3 2 cosC)3 sin 2C-cos 2C+ =sin+ .0C,- 2C- , 3 2 1 2 1 2 (2C - 6) 1 2 2 3 6 6 7 6 当 sin=1,即C=时,bsin C取得最大值.(2C -

13、 6) 3 3 2 变式题 (1)B (2) 解析 (1)由 1+=得 1+=,10 tanA tanB 2c b sinAcosB cosAsinB 2sinC sinB 整理得 sin Bcos A+sin Acos B=2sin Ccos A, 所以 sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A,所以 cos A= . 1 2 又因为A(0,),所以 sin A=. 3 2 由正弦定理=,得 sin C=,所以C= .故选 B. a sinA c sinC csinA a 2 2 4 (2)由正弦定理可得=,因为A+B+C=,所以 cos(A+B)=-cos C, sinA si

14、nB BC AC 则由已知条件可知=-=,又BCAC=2, BC AC 1 2cosC 2 2 2 可得BC=,AC=2,由余弦定理得AB=2BC2+ AC2- 2BCACcosC =.2 + 4 - 2 2 2 (- 2 2) 10 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 2 思路点拨 由b2+c2=a2+bc及余弦定理可得A=,由 sin Bsin C=sin2A及正弦定理可 3 得bc=a2,结合b2+c2=a2+bc可得b=c. C 解析 在ABC中,b2+c2=a2+bc,cos A= . b2+ c2- a2 2bc bc 2bc 1 2 又A(0,),A= . 3 sin

15、 Bsin C=sin2A,bc=a2. 又由b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=a2-bc=0,b=c, ABC的形状是等边三角形.故选 C. 变式题 D 解析 由条件可得=, sinA a2cosA sinB b2cosB 由正弦定理可得=, a a2cosA b b2cosB 整理可得acos A=bcos B, 所以 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B或 2A=-2B, 所以A=B或A+B=, 2 所以ABC是等腰三角形或直角三角形. 例3 思路点拨 (1)利用已知条件,结合正弦定理以及余弦定理即可求出角A的大小;(2)利

16、用正弦定理以及三角形的面积公式求解a. 解:(1)由bsin B+(c-b)sin C=asin A及正弦定理得b2+(c-b)c=a2,即b2+c2-bc=a2,由余弦定理 得 cos A=,又A(0,),A= . b2+ c2- a2 2bc 1 2 3 (2)由正弦定理=,可得b=,c=, a sinA b sinB c sinC asinB sinA asinC sinA SABC= bcsin A=sin A=2, 1 2 1 2 asinB sinA asinC sinA a2sinBsinC 2sinA 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 sin Bsin C=,

17、sin A=,a2=2,a=4. 3 8 3 2 3 8 3 变式题 解:(1)由a2-bc=(b-c)2可得b2+c2-a2=bc,cos A=,又A(0,180),sin 1 2 A=, 3 2 SABC= bcsin A=. 1 2 3 4 (2)cos A=-cos(B+C)=,sin Bsin C-cos Bcos C=, 1 2 1 2 又 cos Bcos C=,sin Bsin C= . 1 4 3 4 由正弦定理得=,a=1,( a sinA) 2 bc sinBsinC 4 3 b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3. 又b2+c2-a2=1,b+c=

18、2, ABC的周长为a+b+c=1+2=3. 【备选理由】 例 1 考查了利用正弦、 余弦定理解三角形;例 2 考查了利用二倍角公式、 余弦 定理以及勾股定理判断三角形的形状;例3考查了求三角形的面积的最大值;例4考查了与三 角形面积有关的问题,涉及三角形的中线以及利用基本不等式求解边的最值等问题. 例 1 配合例 1 使用 2018莆田六中月考 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a). (1)求角B的大小; (2)若c=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,且BM= BC,=2,求AM的值. 1 3 AN B

19、M 3 解:(1)c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a),由正弦定理得c2-ca=b2-a2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 a2+c2-b2=ca,cos B=,又 0B,B= . a2+ c2- b2 2ca 1 2 3 (2)设BM=x,则BN=2x,AN=2x,3 又B=,AB=8,在ABN中,由余弦定理得 12x2=64+4x2-282xcos ,解得x=2(负值舍去), 3 3 即BM=2, 在ABM中,由余弦定理得AM=AB2+ BM2- 2ABBMcos 3 =2.82+ 22- 2 8 2 1 2 5213 例 2 配合例 2 使用

20、已知在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 cos2= +,则 A 2 1 2 b 2c ABC为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 解析 B cos2= +, A 2 1 2 b 2c = +,即 cos A=, 1 + cosA 2 1 2 b 2c b c =,则c2=a2+b2, b2+ c2- a2 2bc b c 故ABC为直角三角形,故选 B. 例3 配合例3使用 2018三明一中月考 如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,CB=2, ACD为正三角形,则BCD的面积的最大值为 . 答案 1+3 高清试卷 下载可打印 高清

21、试卷 下载可打印 解析 在ABC中,设ABC=,ACB=, 由余弦定理可知AC2=12+22-212cos =5-4cos . ACD为正三角形,CD2=5-4cos , 由正弦定理得=, 1 sin AC sin ACsin =sin ,CDsin =sin . (CDcos )2=CD2(1-sin2)=CD2-sin2 =5-4cos -sin2=(2-cos )2,BAC, 为锐角,CDcos =2-cos , SBCD= 2CDsin=CDsin=CDcos + CDsin =(2-cos 1 2 ( 3 + )( 3 + ) 3 2 1 2 3 2 )+sin =+sin, 1 2

22、 3 ( - 3) 当=时,BCD的面积最大,最大值为 1+. 5 6 3 例4 配合例3使用 2018三明一中月考 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b, c,且ABC的面积为c(asin A+bsin B-csin C). 1 2 (1)求角C的大小; (2)若D为AB的中点,且c=2,求CD的最大值. 解:(1)依题意得,absin C= c(asin A+bsin B-csin C), 1 2 1 2 由正弦定理得,abc=c(a2+b2-c2),即a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得,cos C=, a2+ b2- c2 2ab ab 2ab 1 2 又因为C(0,),所以C= . 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)在ACD中, AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,即b2=1+CD2-2CDcosADC, 在BCD中, BC2=BD2+CD2-2BDCDcosBDC,即a2=1+CD2-2CDcosBDC. 因为ADC+BDC=,所以 cosADC=-cosBDC,所以CD2=(a2+b2)-1. 1 2 由(1)及c=2 得,a2+b2-4=ab (a2+b2),当且仅当a=b=2 时,等号成立, 1 2 所以 (a2+b2)4,所以CD2=(a2+b2)-13,即CD, 1 2 1 2 3 所以CD的最大值为.3