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1、第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第十一章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,1) “大化小”.,2) “常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3) “近似和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),2.
2、定义.,设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,若 为空间曲线弧 , 记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3. 性质,(2) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,(1) 设与为常数，则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须
3、注意积分弧段的方向 !,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,证明: 在L上取一系列点,下面先证,A=M0,M1,M2,Mn=B,=t0,t1,t2,tn=,他们对应于一列单调变化的参数值：,根据对坐标的曲线积分定义有：,对应参数,设分点,由于,对应参数,因为L 为光滑弧 ,同理可证,由微分中值定理,积分下限对应于L的起点. 积分上限对应于L的终点， 不一定小于,说明:,计算对坐标的曲线积分，实际上是换元法：,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1
4、取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径得出的积分值并不相等.,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,被积函数相同，起点和终点也相同，沿不同路径曲线积分的值可以相等.,例4. 计算,其中L为从,A(3,2,
5、1)到点B(0,0,0)的直线段AB.,解: 直线段AB的方程是,化为参数方程的,所以原式,原点 O 的距离成正比,例5. 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,例6. 设在力场,作用下, 质点由,沿 移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中 为,例7. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑曲线弧 L 的起点为A，终点为B.曲线弧L由参数方程给出：,不妨设，由对坐标的曲线积分计算公式：,向量,是曲线弧L在点M(t),(t)处的一个切向量，,其方向与参数t的增
6、长方向一致.当时，这个指向就是曲线弧L的方向.,我们称这种指向与有向曲线弧的方向一致的切向量为有向曲线弧的切向量.,它的方向余弦为：,由对弧长的曲线积分的计算公式可得：,所以，平面曲线弧L上的两类曲线积分之间有如下联系：,为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角.,类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,为有向曲线弧在点(x,y,z)处的切向量的方向角.,令,有向曲线弧在点(x,y,z)处的单位切向量.,有向曲线元,例8.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,作业,P203 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8,备用题 1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.,沿直,2. 设曲线C为曲面,与曲面,从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),(2) 原式 =,令,利用“偶倍奇零”,