《2018_2019学年高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修420190108296.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019学年高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修420190108296.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5 从力做的功到向量的数量积5 从力做的功到向量的数量积 内容要求 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会 平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量 积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点) 知识点 1 向量的夹角与投影 (1)夹角： 定义：已知两个非零向量a a和b b，作a a，b b，则AOB叫作向量a a与b b的夹角；OA OB 范围：0180； 大小与向量共线、垂直的关系； Error! (2)投影： 定义 ： 如图所示 ：a a，
2、b b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b b|cos OA OB .|b b|cos 叫作向量b b在a a方向上的投影数量(简称投影) 大小与夹角的关系： 夹角0锐角90钝角180 射影|b b|正值0负值|b b| 【预习评价】 等边ABC中，与的夹角是多少？与，与的夹角又分别是多少？BA BC BA AC AC BC 提示 与的夹角就是ABC的一个内角(ABC)，因此与的夹角是.BA BC BA BC 3 与首尾相接，由BAC知它的补角为 ，因此与的夹角是 .BA AC 3 2 3 BA AC 2 3 与有共同的终点C，若延长AC，BC，则可知所得的角的大小与ACB
3、的大小相等，均是AC BC ，因此与的夹角是. 3 AC BC 3 知识点 2 向量的数量积 (1)定义：已知两个向量a a与b b，它们的夹角为，我们把|a a|b b|cos 叫作a a与b b的数量 积(或内积)，记作a ab b，即a ab b|a a|b b|cos . (2)几何意义 ： 数量积a ab b等于a a的长度|a a|与b b在a a方向上投影|b b|cos 的乘积，或b b的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 长度|b b|与a a在b b方向上投影|a a|cos 的乘积 (3)物理意义：力对物体做功，就是力F F与其作用下物体的位移s s的数量积F
4、Fs s. (4)性质： 若e e是单位向量，则e ea aa ae e|a a|cos ； a ab ba ab b0(其中a a，b b为非零向量)； |a a|；a aa a cos (|a a|b b|0)； a ab b |a a|b b| 对任意两个向量a a，b b，有|a ab b|a a|b b|. (5)运算律： 交换律：a ab bb ba a. 结合律：(a a)b b(a ab b)a a(b b) 分配律：a a(b bc c)a ab ba ac c. 【预习评价】 1已知三角形ABC中，0，则三角形ABC的形状为( )BA BC A钝角三角形B直角三角形 C锐角
5、三角形D等腰直角三角形 解析 |cos B0，BA BC BA BC cos B0，又B为ABC的内角 B. 2 答案 A 2已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|2，|b b|1，则|a a2b b|_ 解析 |a a2b b|2(a a2b b)2|a a|22|a a|2b b|cos 60(2|b b|)222222 22 1 2 44412，|a a2b b|2.123 答案 2 3 题型一 数量积的基本概念 【例 1】 下列判断： 若a a2b b20，则a ab b0； 已知a a，b b，c c是三个非零向量，若a ab b0，则|a ac c| |b bc c|；a
6、 a，b b共线a ab b|a a|b b|；|a a|b b|0，则a a与b b的夹角为锐角；若a a，b b的夹 角为，则|b b|cos 表示向量b b在向量a a方向上的射影长 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 其中正确的是_（填序号） 解析 由于a a20，b b20， 所以， 若a a2b b20， 则a ab b0， 故正确 ； 若a ab b0， 则a ab b， 又a a，b b，c c是三个非零向量，所以a ac cb bc c，所以|a ac c|b bc c|，正确；a a，b b共 线a ab b|a a|b b|，所以错； 对于，应有|a a|b b|
7、a ab b，所以错； 对于，应该是a aa aa a|a a|2a a，所以错； 对于，a a2b b22|a a|b b|2a ab b，故正确； 对于，当a a与b b的夹角为 0时， 也有a ab b0，因此错； 对于，|b b|cos 表示向量b b在向量a a方向上的射影的数量，而非射影长，故错 综上可知正确 答案 规律方法 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解特 别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量 积中有关角的概念以及数量积的性质等 【训练 1】 给出下列结论： 若a a0，abab0，则b b0；若ab
8、abbcbc，则a ac c；(abab)c ca a(bcbc)； aab b(a ac c)c c(abab)0.其中正确结论的序号是_ 解析 因为两个非零向量a a、b b垂直时，abab0，故不正确； 当a a0，bcbc时，ababbcbc0，但不能得出a ac c，故不正确； 向量(abab)c c与c c共线，a a(bcbc)与a a共线，故不正确； a ab b(acac)c c(abab)(abab)(acac)(acac)(abab)0，故正确 答案 题型二 数量积的运算 【例 2】 已知|a a|3， |b b|6， 当a ab b， a ab b， a a与b b的夹
9、角是 60时， 分别求a ab b， a a(a ab b) 解 当a ab b时，若a a与b b同向，则它们的夹角0， a ab b|a a|b b|cos 036118， a a(a ab b)a a2a ab b91827. 若a a与b b反向，则它们的夹角180， a ab b|a a|b b|cos 18036(1)18， a a(a ab b)a a2a ab b9189. 当a ab b时，它们的夹角90. a ab b0，a a(a ab b)a a29. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当a a与b b的夹角是 60时， 有a ab b|a a|b b|cos
10、 6036 9. 1 2 a a(a ab b)a a2a ab b18. 规律方法 (1)向量的数量积在表示时，a a与b b之间必须用实心圆点 “” 来连接而不能用 “” 连接，也不能省略 (2)求平面向量数量积的步骤是 ： 求a a与b b的夹角，0，分别求|b b|和|a a|. 求它们的数量积，即a ab b|a a|b b|cos . 【训练 2】 已知|a a|3，|b b|4，a a与b b的夹角120，试求： (1)a ab b； (2)(a ab b)(a ab b)； (3)(a ab b)(a ab b)； (4)(a a2b b)(3a ab b) 解 (1)a ab
11、 b|a a|b b|cos 34cos 1206. (2)(a ab b)(a ab b)a a2b b2|a a|2|b b|27. (3)(a ab b)(a ab b)a a22a ab bb b2|a a|22|a a|b b|cos |b b|213. (4)(a a2b b)(3a ab b)3a a25a ab b2b b225. 方向 1 求向量的模 【例 31】 已知向量a a与b b的夹角为 120，且|a a|4，|b b|2，求： (1)|a ab b|；(2)|3a a4b b|；(3)|(a ab b)(a a2b b)|. 解 由已知a ab b|a a|b b
12、|cos 42cos 1204， a a2|a a|216，b b2|b b|24. (1)|a ab b|2(a ab b)2a a22a ab bb b2 162(4)412. |a ab b|2.3 (2)|3a a4b b|2(3a a4b b)2 9a a224a ab b16b b2 91624(4)164304， |3a a4b b|4.19 (3)(a ab b)(a a2b b)a a2a ab b2b b2 16(4)2412， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |(a ab b)(a a2b b)|12. 方向 2 求向量的夹角 【例 32】 设n n和m m是
13、两个单位向量， 其夹角是 60， 求向量a a2m mn n与b b2n n3m m的 夹角 解 |n n|m m|1 且m m与n n夹角是 60， mnmn|m|nm|n|cos 6011 . 1 2 1 2 |a a|2m mn n|2m mn n24 114 4m mn n ，4 114 1 2 7 |b b|2n n3m m| 2n n3m m2 4 19 112m mn n ，4 19 112 1 2 7 abab(2m mn n)(2n n3m m)mnmn6m m22n n2 6121 . 1 2 7 2 设a a与b b的夹角为，则 cos . a ab b |a a| |
14、|b b| 7 2 7 7 1 2 又0，180，120，故a a与b b的夹角为 120. 方向 3 数量积的综合应用 【例 33】 设两个向量e e1，e e满足|e e12， |e e2|1， 向量e e1与e e2的夹角为 60， 若向量 2te e1 7e e2与e e1te e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围 解 由向量 2te e17e e2与e e1te e2的夹角为钝角， 得 cos 0， 2te e17e e2e e1te e2 |2te e17e e2|e e1te e2| (2te e17e e2)(e e1te e2)0. 化简，得 2t215t70，解得7t .
15、1 2 当夹角为 时，也有(2te e17e e2)(e e1te e2)0，但此时夹角不是钝角 设 2te e17e e2(e e1te e2)，0， 则Error!Error!故实数t的取值范围是. (7， 14 2) ( 14 2 ，1 2) 规律方法 1.求向量夹角时要注意： (1)当已知a ab b是非坐标形式时，需求得a ab b及|a a|，|b b|或它们之间的关系； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)当已知a a，b b的坐标时，可直接利用公式求解 (3)注意夹角的范围0， 2对于a a2|a a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路. 课堂达
16、标 1已知向量a a，b b和实数，下列选项中错误的是( ) A|a a|B|abab|a a|b b|a aa a C(abab)ababD|abab|a a|b b| 解析 因为|abab|a a|b b|cos |(为向量a a与b b的夹角)|a a|b b|cos |， 当且仅当0 或 时，使|a ab b|a a|b b|，故 B 错 答案 B 2已知|a a|1，|b b|，且(a ab b)与a a垂直，则a a与b b的夹角是( )2 A60B30 C135D45 解析 (a ab b)a aa a2a ab b0， a ab ba a21， 设a a与b b的夹角为， co
17、s . a ab b |a a|b b| 1 1 2 2 2 又 0，180， 135. 答案 C 3若向量a a，b b满足|a a|b b|1，a a与b b的夹角为 120，则a aa aa ab b_. 解析 a aa aa ab b1211cos 120 . 1 2 答案 1 2 4已知向量a a在向量b b方向上的射影是 ，|b b|3，则abab的值为_ 2 3 解析 abab|a a|b b|cosa a，b b|b b|a a|cosa a，b b 3 2. 2 3 答案 2 5已知|a a|5，|b b|4，且a a与b b的夹角为 60，则当k为何值时，向量ka ab b
18、与a a2b b 垂直？ 解 要想(ka ab b)(a a2b b)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则需(ka ab b)(a a2b b)0， 即k|a a|2(2k1)abab2|b b|20， 52k(2k1)54cos 602420， 解得k，即当k时，向量ka ab b与a a2b b垂直 14 15 14 15 课堂小结 1两向量a a与b b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a a0， b b0,090时)， 也可以为负(当a a0，b b0,90180时)， 还可以为0(当a a0 或b b0 或90时) 2向量数量积的性质及作用： 设a a和
19、b b是非零向量，a a与b b的夹角为. (1)a ab ba ab b0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系 (2)当a a与b b同向时，a ab b|a a|b b|； 当a a与b b反向时，a ab b|a a|b b|.即当a a与b b共线时， |a ab b|a a|b b|.此性质可用来证明向量共线 (3)a aa aa a2|a a|2或|a a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算a a2 的相互转化 (4)cos ，此性质可求a a与b b的夹角. a ab b |a a|b b| 基础过关 1下面给出的关系式中正确的个数是( ) 0a
20、a0；a ab bb ba a；a a2|a a|2；|a ab b|a ab b；(a ab b)2a a2b b2. A1B2 C3D4 解析 正确， 错误， 错误， (a ab b)2(|a a|b b|cos )2a a2b b2cos2 a a2b b2， 选 C. 答案 C 2设向量a a，b b满足|a ab b|，|a ab b|，则a ab b等于( )106 A1B2 C3D5 解析 |a ab b|2(a ab b)2a a22a ab bb b210， |a ab b|2(a ab b)2a a22a ab bb b26， 将上面两式左右两边分别相减，得 4a ab b
21、4， a ab b1. 答案 A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3若非零向量a a，b b满足|a a|b b|，(2a ab b)b b0，则a a与b b的夹角为( ) A30B60 C120D150 解析 由(2a ab b)b b0，得 2a ab bb b20， 设a a与b b的夹角为， 2|a a|b b|cos |b b|20. cos ，0180， |b b|2 2|a a|b b| |b b|2 2|b b|2 1 2 120. 答案 C 4 已知a a，b b，c c为单位向量， 且满足 3a ab b7c c0，a a与b b的夹角为， 则实数_. 3 解
22、析 由 3a ab b7c c0， 可得 7c c(3a ab b)， 即 49c c29a a22b b26a ab b， 而a a，b b，c c 为单位向量， 则a a2b b2c c21， 则49926cos， 即23400， 解得8 3 或5. 答案 8 或 5 5已知a ab b，(3a a2b b)(ka ab b)，若|a a|2，|b b|3，则实数k的值为_ 解析 由已知a ab b0，a a24，b b29， 由(3a a2b b)(ka ab b)03ka a2(2k3)a ab b2b b2 0， 12k180，k . 3 2 答案 3 2 6已知非零向量a a，b
23、b，且a a3b b与 7a a5b b垂直，a a4b b与 7a a2b b垂直，求a a与b b的夹角 解 由向量垂直得 Error! 即Error! 化简得Error! 设a a与b b的夹角为， cos ， a ab b |a a|b b| 1 2|b b| 2 |b b|2 1 2 又0， a a与b b的夹角为. 3 7已知|a a|1，|b b|1，a a，b b的夹角为 120，计算向量 2a ab b在向量a ab b方向上的射影 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (2a ab b)(a ab b) 2a a22a ab ba ab bb b22a a2a a
24、b bb b2 21211cos 12012 . 1 2 |a ab b|a ab b2a a22a ab bb b2 1.12 1 1 cos 1201 设向量 2a ab b与向量a ab b的夹角为， |2a ab b|cos . |2a ab b|2a ab ba ab b |2a ab b|a ab b| . 2a ab ba ab b |a ab b| 1 2 向量 2a ab b在向量a ab b方向上的射影为 . 1 2 能力提升 8已知|a a|2|b b|0，且关于x的方程x2|a a|xabab0 有实根，则a a与b b的夹角的取 值范围是( ) A0，B， 6 3 C
25、， D， 3 2 3 6 解析 因为a a24|a a|b b|cos (为向量a a与b b的夹角) 若方程有实根，则有0 即a a24|a a|b b|cos 0， 又|a a|2|b b|， 4|b b|28|b b|2cos 0， cos ，又 0， 1 2 . 3 答案 B 9设为两个非零向量a a，b b的夹角，已知对任意实数t，|b bta a|的最小值为 1.( ) A若确定，则|a a|唯一确定 B若确定，则|b b|唯一确定 C若|a a|确定，则唯一确定 D若|b b|确定，则唯一确定 解析 |b bta a|2b b22a ab btt2a a2 |a a|2t22|a
26、 a|b b|cos t|b b|2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为|b bta a|min1， 所以4|a a| 2|b b|24|a a|2|b b|2cos2 4|a a|2 |b b|2(1cos2)1. 所以|b b|2sin21， 所以|b b|sin 1，即|b b|. 1 sin 即确定，|b b|唯一确定 答案 B 10已知两个单位向量a a，b b的夹角为 60，c cta a(1t)b b，若b bc c0，则t_. 解析 b bc cb bta a(1t)b bta ab b(1t)b b2t1t1t0，解得t2. 1 2 1 2 答案 2 11在平
27、行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的AD BE 长为_ 解析 因为E为CD的中点， 所以，.因为BE BC CE AD 1 2DC AD 1 2AB AC AD AB AC BE 1，所以() 22 1，即 1 2 | |cos AC BE (AD 1 2AB ) AD AB AD 1 2AB 1 2AB AD 1 2AB 1 2 AB 601，所以 2 | |0，解得| . 1 2AB 1 4 AB AB 1 2 答案 1 2 12已知单位向量e e1，e e2的夹角为，求向量a ae e1e e2，b be e22e e1的夹角 3 解 e e1，e e2为
28、单位向量且夹角为， 3 e e1e e211cos . 3 1 2 abab(e e1e e2)(e e22e e1) 2e e1e e212 1 ， 1 2 3 2 |a a|，a a2e e1e e2212 1 21 3 |b b|，b b2e e22e e12144 1 2 3 cos . a ab b |a a|b b| 3 2 1 3 3 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又0，.a a与b b的夹角为. 2 3 2 3 13.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD中，|2，|1，DAB60.求：AB AD (1)；AD AB (2)与夹角的余弦值AC DB 解 (1)|cosDAB2 1.AD AB AD AB 1 2 (2)，AC AD AB DB AB AD 22413， AC DB AB AD 2222 1427，AC AD AB AB AD |，AC 7 2222 4123，DB AB AD AB AD |3.DB cos . AC DB |AC | 3 7 3 21 7