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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 不等式选讲讲 不等式选讲 高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求 含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围， 不等式的证明等， 结合集合的运算、 函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的 热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|. (1)画出 yf(x)的图象； (2)当 x0，)时，f(x)axb，求 ab 的最小值. 解 (1)f(x) 3x，x 1， 2，1 x 1， 2
2、x，x 1 时，f(x)g(x)x2x42x， 解之得 10)型不等式的解法 (1)|axb|ccaxbc. (2)|axb|caxbc 或 axbc. 3.|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数，利用函数的图象求解. 4.基本不等式 定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立. 定理 2：如果 a，b 为正数，则，当且仅当 ab 时，等号成立. ab 2 ab 定理 3： 如果 a，b，c 为正数，则，当且仅当 a
3、bc 时，等号成 abc 3 3 abc 立. 定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1，a2，an为 n 个正数， 则，当且仅当 a1a2an时，等号成立. a1a2an n n a1a2an 热点一 绝对值不等式的解法 【例 1】 (2018衡水中学质检)已知函数 f(x)|2x2|x3|. (1)求不等式 f(x)3x2 的解集； (2)若不等式 f(x) a 的解集包含2，3，求实数 a 的取值范围. 1 x 解 (1)依题意得|2x2|x3|3x2， 当 x1 时，原不等式可化为 2x2x33x2，无解. 综上所述，不等式 f(x)3x2 的解集为. (， 3 4 (2)
4、依题意，|2x2|x3| a 在2，3上恒成立， 1 x 则 3x1 a 在2，3上恒成立. 1 x 又因为 g(x)3x1 在2，3上为增函数， 1 x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以有 321 a，解得 a 2. ) 可得 f(x)0 的解集为x|2x3. (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 又|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立. 故 f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2. 所以 a 的取值范围是(，62，). 热点二 不等式的证明 【例 2】 (2017全国卷)已知实数 a0，b0，且 a3b32. 证明：(1)(ab)(
5、a5b5)4； (2)ab2. 证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab) 2(ab)2， 3（ab）2 4 3（ab）3 4 所以(ab)38，因此 ab2. 探究提高 1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点. 2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途 径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
6、如果待证命题是否定性命 题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法. 【训练 2】 (2018济南调研)已知函数 f(x)|x1|. (1)解不等式 f(x)f(2x5)x9； (2)若 a0，b0，且 2，证明 ： f(xa)f(xb) ，并求 f(xa)f(xb) 1 a 4 b 9 2 时，a，b 的值. 9 2 解 (1)f(x)f(2x5)|x1|2x4|x9， 当 x2 时，不等式为 4x12， 解得 x3，故 x3， 当20，b0). 又 2， 1 a 4 b 所以 ab(ab) ( 1 2a 2 b) 5 2 b 2a 2a b 2 ， 5 2 b 2a 2
7、a b 9 2 当且仅当，即 b2a 时“”成立； b 2a 2a b 由可得 b2a， 1 a 4 b2，) a3 2， b3.) 综上所述，f(xa)f(xb) ， 9 2 当 f(xa)f(xb) 时，a ，b3. 9 2 3 2 热点三 绝对值不等式恒成立(存在)问题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【例 3】 (2017全国卷)已知函数 f(x)|x1|x2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围. 解 (1)f(x)|x1|x2| 3，x 1， 2x1，1 |3a 1|成立，求实数 a 的取值范围. 解
8、 f(x)|2x3|12x|(2x3)(12x)|4.画出 f(x)的图象，如图所示： f(x)max4. 若存在 xR，使得 f(x)|3a1|成立. |3a1|cd，则；abcd (2)是|ab|，只需证明()2()2，abcdabcd 也就是证明 ab2cd2，abcd 只需证明，即证 abcd.abcd 由于 abcd，因此.abcd (2)必要性：若|ab|cd. 由(1)得.abcd 充分性：若，则()2()2，abcdabcd ab2cd2.abcd abcd，所以 abcd. 于是(ab)2(ab)24ab是|ab|1 的解集； (2)若 x(0，1)时不等式 f(x)x 成立
9、，求 a 的取值范围. 解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|， 即 f(x) 2，x 1， 2x，1 1 恒成立，所以 x1； 当11，所以 1 的解集为. x|x 1 2 (2)当 x(0，1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0，1)时|ax1|0，|ax1|1，所以14 的解集； (2)求 f(a)的最小值. 解 (1)当 a1 时，不等式 f(x)4， 即 f(x)4， |x1|x1| |x| 当 x4，无解； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 x1，0)(0，1时，得 f(x)4， 2 |x| 即|x|1 时，得 f(x)24，无解； 综上不等式 f(x
10、)4 的解集为. ( 1 2，0) (0， 1 2) (2)f(a)， |a21|a21| |a| a21|a21| |a| 当 a1 时，f(a)2|a|2， 2a2 |a| 当1a1 且 a0 时，f(a)2， 2 |a| 综上知，f(a)的最小值为 2. 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)|xm|x|，mN*，若存在实数 x 使得 f(x)1，f()f()6，求证： . 4 1 9 4 (1)解 因为|xm|x|xmx|m|， 要使|xm|x|1，f()f()21216， 4， () 4 1 1 4( 4 1 ) ， 1 4(5 4 ) 1 4(52 4 ) 9 4 当且仅当 ， 4
11、 即 ， 时“”成立， 8 3 4 3 故 . 4 1 9 4 8.(2018江南十校联考)已知函数 f(x)|xa|2x1|，aR. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)设关于 x 的不等式 f(x)2x1 的解集为 P，且P，求 a 的取值 1， 1 4 范围. 解 (1)当 a1 时，f(x)|xa|2x1|x1|2x1|， f(x)1|x1|2x1|1， 所以或 x 1， x12x1 1) 1 x 1 2， x12x1 1) 或 x 1 2， x12x1 1.) 即或或 x 1， x 1) 1 x 1 2， x 1 )
12、x 1 2， x 1 3.) 解得 x1 或1x 或 x . 1 2 1 2 1 3 所以原不等式的解集为. x|1 x 1 3 (2)依题意，x时，不等式 f(x)2x1， 1， 1 4 即|xa|2x1|2x1 在 x上恒成立， 1， 1 4 当 x时，|xa|2x12x1， 1， 1 2 即|xa|2， 所以2xa2x 在 x恒成立， 1， 1 2 所以(2x)maxa(2x)min，即1a . 5 2 当 x时，|xa|2x12x1， 1 2， 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即|xa|4x. 所以 3xa5x 在 x恒成立. 1 2， 1 4 所以(3x)maxa(5x)min，即 a . 3 4 5 4 综上，a 的取值范围是. 3 4， 5 4