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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 数列求和及综合应用讲 数列求和及综合应用 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、 错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同 时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真 题 感 悟 1.(2017全国卷)设数列an满足 a13a2(2n1)an2n. (1)求an的通项公式； (2)求数列的前 n 项和. an 2n1 解 (1)因为 a13a2(2n1)an2n， 故当 n2 时，a13a2(2n3)an12(n1)， 得(2n1)an2，所以 an， 2 2n1 又 n1
2、时，a12 适合上式， 从而an的通项公式为 an. 2 2n1 (2)记的前 n 项和为 Sn， an 2n1 由(1)知， an 2n1 2 （2n1）（2n1） 1 2n1 1 2n1 则 Sn (1 1 3) ( 1 3 1 5) ( 1 2n1 1 2n1) 1. 1 2n1 2n 2n1 2.(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1a26，a1a2a3. (1)求数列an的通项公式； (2)bn为各项非零的等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 已知 S2n1bnbn1， 求数列b n an 的前 n 项和 Tn. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解
3、(1)设an的公比为 q， 由题意知a 1（1q）6， aqa1q2，) 又 an0， 解得所以 an2n. a12， q2，) (2)由题意知：S2n1(2n1)bn1， （2n1）（b1b2n1） 2 又 S2n1bnbn1，bn10， 所以 bn2n1. 令 cn，则 cn， bn an 2n1 2n 因此 Tnc1c2cn ， 3 2 5 22 7 23 2n1 2n1 2n1 2n 又 Tn， 1 2 3 22 5 23 7 24 2n1 2n 2n1 2n1 两式相减得 Tn ， 1 2 3 2 ( 1 2 1 22 1 2n1) 2n1 2n1 所以 Tn5. 2n5 2n 考
4、点 整 合 1.(1)数列通项 an与前 n 项和 Sn的关系，an S1 （n1）， SnSn1 （n 2）.) (2)应用 an与 Sn的关系式 f(an，Sn)0 时，应特别注意 n1 时的情况，防止产生 错误. 2.数列求和 (1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列 适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差 数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加 抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其
5、中an是各项均不为 c anan1 零的等差数列，c 为常数)的数列. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常 利用点在曲线上给出 Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这 类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与 不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题. 热点一 an与 Sn的关系问题 【例1】 设数列an的前n项和为Sn， 对任意的正整数n， 都有an
6、5Sn1成立， bn 1log2|an|，数列bn的前 n 项和为 Tn，cn. bn1 TnTn1 (1)求数列an的通项公式； (2)求数列cn的前 n 项和 An，并求出 An的最值. 解 (1)因为 an5Sn1，nN*， 所以 an15Sn11， 两式相减，得 an1 an， 1 4 又当 n1 时，a15a11，知 a1 ， 1 4 所以数列an是公比、首项均为 的等比数列. 1 4 所以数列an的通项公式 an. ( 1 4) n (2)bn1log2|an|2n1， 数列bn的前 n 项和 Tnn2， cn， bn1 TnTn1 2n1 n2（n1）2 1 n2 1 （n1）2
7、 所以 An1. 1 （n1）2 因此An是单调递增数列， 当 n1 时，An有最小值 A11 ；An没有最大值. 1 4 3 4 探究提高 1.给出 Sn与 an的递推关系求 an，常用思路是：一是利用 SnSn1 an(n2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an. 2.形如 an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列. 【训练 1】 (2018安徽江南名校联考)已知数列an的首项 a11，Sn是数列an 的前 n 项和，且满足 2(Sn1)(n3)an. (1)
8、求数列an的通项公式； (2)设数列bn满足 bn，记数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn0)， 由题意，得解得 a4a1q381， a1qa1q23（a1a1q），) a13， q3.) 所以 ana1qn13n. (2)由(1)得 bnlog332n12n1， Snn2 n（b1bn） 2 n1（2n1） 2 cn， 1 4n21 1 2( 1 2n1 1 2n1) Tn1 2(1 1 3)( 1 3 1 5)( 1 2n1 1 2n1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 . n 2n1 若 Tn(nN*)恒成立， n 2n1 1 2n1 则 ，所以 . ( 1 2n1)
9、max 1 3 考法 3 错位相减求和 【例 23】 (2018潍坊一模)公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 已知 S4 10，且 a1，a3，a9成等比数列. (1)求an的通项公式； (2)求数列的前 n 项和 Tn. an 3n 解 (1)设an的公差为 d，由题设 得 4a16d10， aa1a9，) 4a16d10， （a 12d）2a1 （a 18d）.) 解之得 a11，且 d1. 因此 ann. (2)令 cn，则 Tnc1c2cn n 3n ， 1 3 2 32 3 33 n1 3n1 n 3n Tn， 1 3 1 32 2 33 n1 3n n 3n1 得
10、： Tn 2 3 ( 1 3 1 32 1 3n) n 3n1 ， 1 3(1 1 3n) 11 3 n 3n1 1 2 1 2 3n n 3n1 Tn . 3 4 2n3 4 3n 探究提高 1.一般地， 如果数列an是等差数列， bn是等比数列， 求数列anbn 的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的 公比，然后作差求解. 2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 写出“SnqSn”的表达式. 【训练3】 已知数列an的前n项和Sn3n28n， bn是等差数列， 且a
11、nbnbn 1. (1)求数列bn的通项公式； (2)令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn. （a n1）n1 （b n2）n 解 (1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5. 当 n1 时，a1S111，符合上式.所以 an6n5. 设数列bn的公差为 d， 由即 a1b1b2， a2b2b3，) 112b1d， 172b13d，) 可解得所以 bn3n1. b14， d3.) (2)由(1)知 cn3(n1)2n1.， （6n6）n1 （3n3）n 又 Tnc1c2cn， 得 Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2. 两式作差，得 Tn32222
12、3242n1(n1)2n2 33n2n2. 4 4（12n） 12 （n1） 2n2 所以 Tn3n2n2. 热点三 与数列相关的综合问题 【例 3】 设 f(x) x22x， f(x)是 yf(x)的导函数， 若数列an满足 an1f(an)， 1 2 且首项 a11. (1)求数列an的通项公式； (2)数列an的前 n 项和为 Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前 n 项和为 Tn，请写出适合条件 TnSn的所有 n 的值. 解 (1)由 f(x) x22x，得 f(x)x2. 1 2 an1f(an)，且 a11. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 an1a
13、n2 则 an1an2， 因此数列an是公差为 2，首项为 1 的等差数列. an12(n1)2n1. (2)数列an的前 n 项和 Snn2， n（12n1） 2 等比数列bn中，b1a11，b2a23，q3. bn3n1. 数列bn的前 n 项和 Tn. 13n 13 3n1 31 3n1 2 TnSn可化为n2. 3n1 2 又 nN*，n1，或 n2 故适合条件 TnSn的所有 n 的值为 1 和 2. 探究提高 1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其 定义域是正整数集(或它的有限子集)， 在求数列最值或不等关系时要特别重视 ； (2) 解题时准确构造函数，
14、利用函数性质时注意限制条件. 2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用 数列或数列对应函数的单调性处理. 【训练 4】 (2018长沙雅礼中学质检)设数列an(n1，2，3，)的前 n 项和 Sn 满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)记数列的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|1 000，又nN*， 因为 29512T101 013 恒成立，则整数 m 的最小 2n1 2n 值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023 解析 因为1，所以 Tnn1， 2n1 2n 1 2n
15、 1 2n 则 T101 013111 0131 024， 1 210 1 210 又 mT101 013， 所以整数 m 的最小值为 1 024. 答案 C 4.已知数列an满足 an1an2，a15，则|a1|a2|a6|( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.9 B.15 C.18 D.30 解析 an1an2，a15，数列an是公差为 2，首项为5 的等差数列. an52(n1)2n7. 数列an的前 n 项和 Snn26n. n（52n7） 2 令 an2n70，解得 n . 7 2 n3 时，|an|an；n4 时，|an|an. 则|a1|a2|a6|a1a2a3
16、a4a5a6 S62S362662(3263)18. 答案 C 5.对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若 a12，数列an 的“差数列”的通项公式为 an1an2n，则数列an的前 n 项和 Sn( ) A.2 B.2n C.2n12 D.2n12 解析 因为 an1an2n，所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 2n12n2222222n222n， 所以 Sn2n 22n 12 22n1 12 12. 答案 C 二、填空题 6.(2018昆明诊断)数列an满足 an，则等于_. n（n1） 2 1 a1 1 a2 1 a2 018 解析 an，则2
17、n（n1） 2 1 an 2 n（n1）( 1 n 1 n1) 1 a1 1 a2 1 a2 018 2(11 2)( 1 2 1 3)( 1 2 018 1 2 019) 2. (1 1 2 019) 4 036 2 019 答案 4 036 2 019 7.记 Sn为正项数列an的前 n 项和，且 an12，则 S2 018_.Sn 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由题意得 4Sn(an1)2， 当 n1 时，4a1(a11)2，a11， 当 n2 时，4Sn1(an11)2， 得 a a2(anan1)0， 2 n2n1 所以(anan12)(anan1)0， 又 an
18、0，所以 anan12， 则an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列. 所以 an2n1，S2 0182 0182. 2 018（12 2 0181） 2 答案 2 0182 8.(2018贵阳质检)已知x表示不超过 x 的最大整数，例如 ： 2.32，1.52. 在数列an中， anlg n， nN， 记 Sn为数列an的前 n 项和， 则 S2 018_. 解析 当 1n9 时，anlg n0. 当 10n99 时，anlg n1. 当 100n999 时，anlg n2. 当 1 000n2 018 时，anlg n3. 故 S2 0189090190021 01934 947. 答案
19、 4 947 三、解答题 9.(2018济南模拟)记 Sn为数列an的前 n 项和，已知 Sn2n2n，nN*. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn. 1 anan1 解 (1)由 Sn2n2n，得当 n1 时，a1S13； 当 n2 时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n1. 又 a13 满足上式. 所以 an4n1(nN*). (2)bn. 1 anan1 1 （4n1）（4n3） 1 4( 1 4n1 1 4n3) 所以 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Tn1 4( 1 3 1 7)( 1 7 1 10)( 1 4n1 1
20、 4n3) . 1 4( 1 3 1 4n3) n 12n9 10.(2018南昌调研)已知数列n是等比数列，且 a19，a236.an (1)求数列an的通项公式； (2)求数列ann2的前 n 项和 Sn. 解 (1)设等比数列n的公比为 q，an 则 q2. a22 a11 62 31 从而n(31)2n1，故 an(n2n)2.an (2)由(1)知 ann2n2n14n. 记 Tn22223n2n1， 则 2Tn23224(n1)2n1n2n2， 两式作差，得 Tn22232n1n2n2 2n24n2n2(1n)2n24， Tn(n1)2n24， 故 SnTn(n1)2n2. 44n1 14 4n18 3 11.若数列an是公差为2的等差数列， 数列bn满足b11， b22， 且anbnbnnbn 1. (1)求数列an，bn的通项公式； (2)设数列cn满足cn， 数列cn的前n项和为Tn， 若不等式(1)n2. 2 2n1 综上可得：实数 的取值范围是(2，3).