2019届高考数学二轮复习 第二部分专项一 4 第4练　计数原理与二项式定理 学案 Word版含解析.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 4 练 计数原理与二项式定理 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷计数原理与组合问题T15 2018 卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T5 卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T6 卷计数原理、排列组合的应用T62017 卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T4 卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T14 2016 卷计数原理、组合的应用T5 1.排列、 组合在高中数学 中占有特殊的位置，是 高考的必考内容，很少 单独命题，主要考查利 用排列、组合知识计算 古典概型 2二项式定理仍以求二 项展开式的特定项、特 定项的系数及二项式系

2、数为主，题目难度一般， 多出现在第 910 题或 第 1315 题的位置上. 两个计数原理 应用两个计数原理解题的方法 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中 又可能用到分类加法计数原理 (2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、 直观化 考法全练 1(2018石家庄模拟)用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且大于 3 000 的四位数， 这样的四位数有( ) A250 个 B249 个 C48 个 D24 个 解析：选 C.当千位上的数字为 4 时，满足条件的四位数有 A 24(个)； 3 4 当千位上的数字

3、为 3 时，满足条件的四位数有 A 24(个) 3 4 由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有 242448(个)，故选 C. 2 如果一个三位正整数 “a1a2a3” 满足 a1a2且 a3a2， 则称这样的三位数为凸数(如 120， 343，275)，那么所有凸数的个数为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A240 B204 C729 D920 解析：选 A.分 8 类， 当中间数为 2 时，有 122(个)； 当中间数为 3 时，有 236(个)； 当中间数为 4 时，有 3412(个)； 当中间数为 5 时，有 4520(个)； 当中间数为 6 时，有 5630(

4、个)； 当中间数为 7 时，有 6742(个)； 当中间数为 8 时，有 7856(个)； 当中间数为 9 时，有 8972(个) 故共有 26122030425672240(个) 3 (2018合肥质量检测)某社区新建了一个休闲小公园， 几条小径将公园分成 5 块区域， 如图 社区准备从 4 种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域， 要求每个区域种植一 种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为 ( ) A96 B114 C168 D240 解析 ： 选 C.先在 a 中种植，有 4 种不同方法，再在 b 中种植，有 3 种不同方法，再在 c 中种

5、植，若 c 与 b 同色，则 d 有 3 种不同方法，若 c 与 b 不同色，c 有 2 种不同方法，d 有 2 种不同方法， 再在 e 中种植， 有 2 种不同方法， 所以共有 4313243222 168(种)，故选 C. 4将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人，每人 1 张，则不同分法的种数是 _ 解析 ： 按分步来完成此事 第 1 张有 10 种分法， 第 2 张有 9 种分法， 第 3 张有 8 种分法， 故共有 1098720 种分法 答案：720 5在学校举行的田径运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，其中甲、乙、丙三人 必须在 1，2，3，4，5，6

6、，7，8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方 式共有_种 解析：分两步安排这 8 名运动员第一步，安排甲、乙、丙三人，共有 1，3，5，7 四 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 条跑道可安排，所以安排方式有 43224(种)； 第二步，安排另外 5 人，可在 2，4，6，8 及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有 54321120(种)所以安排这 8 名运动员的方式共有 241202 880(种) 答案：2 880 排列、组合的应用 排列、组合应用问题的 8 种常见解法 (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法 (2)相邻问题捆绑法 (3)不相邻问题插空法 (4

7、)定序问题缩倍法 (5)多排问题一排法 (6)“小集团”问题先整体后局部法 (7)构造模型法 (8)正难则反，等价转化法 考法全练 1(2018辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃” 布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年龄尚 小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷 点的食物 ； 所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处那么不 同的搜寻方案有( ) A10 种 B40 种 C70 种 D80 种 解析 ： 选 B.若 Grace 不参与任务，则需要从剩下的 5

8、位小孩中任意挑出 1 位陪同，有 C 种挑法，再从剩下的 4 位小孩中挑出 2 位搜寻远处，有 C 种挑法，最后剩下的 2 位小孩搜 1 52 4 寻近处，因此一共有 C C 30 种搜寻方案；若 Grace 参加任务，则其只能去近处，需要从 1 52 4 剩下的 5 位小孩中挑出 2 位搜寻近处， 有 C 种挑法， 剩下 3 位小孩去搜寻远处， 因此共有 C 2 5 10 种搜寻方案综上，一共有 301040 种搜寻方案，故选 B. 2 5 2(2018甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏， 现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4 个红包中有

9、2 个 6 元，1 个 8 元，1 个 10 元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( ) A18 种 B24 种 C36 种 D48 种 解析：选 C.若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 8 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 人中的 2 个人抢走，有 A A 12 种 ； 若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 10 元的红包，剩下 2 2 22 3 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A A 12 种；若甲、乙抢的是一个 8 和一个 10 2 22 3 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢

10、走，有 A C 6 种；若甲、乙抢的 2 22 3 是两个 6 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A 6 种，根据分 2 3 类加法计数原理可得，共有 36 种情况，故选 C. 3(一题多解)(2018南昌调研)某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演 出顺序有如下要求 ： 节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼 节目演出顺序的编排方案共有( ) A120 种 B156 种 C188 种 D240 种 解析：选 A.法一：记演出顺序为 16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和 2 号，2 和 3 号，3 和 4 号

11、，4 和 5 号，5 和 6 号，其排法分别为 A A ，A A ，C A A ，C A A 2 23 32 23 31 22 23 31 32 2 ，C A A ，故总编排方案有 A A A A C A A C A A C A A 120 种 3 31 32 23 32 23 32 23 31 22 23 31 32 23 31 32 23 3 法二：记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类，当甲在 1 号位置时，丙、丁相 邻的情况有 4 种，则有 C A A 48 种；当甲在 2 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种， 1 42 23 3 共有 C A A 36 种；当甲在 3 号位置时

12、，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C A A 36 1 32 23 31 32 23 3 种所以编排方案共有 483636120 种 4现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻 的排法总数是( ) A72 B144 C240 D288 解析：选 D.首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体，有 C A 6 种排列方法， 1 32 2 则现在共有 5 个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有 C A A 8 种情况，若这双鞋在 1 22 22 2 左数第二个位置，则共有 C C 8 种情况，若这双鞋在中间位置，则共有 A A A A 16 种 1 41 22 2

13、2 22 22 2 情况，左数第四个位置和第二个位置的情况一样，第五个位置和第一个位置的情况一样所 以把三双鞋排列在鞋架上， 仅有一双鞋相邻的排法总数是 6(282816)288.故选 D. 5冬季供暖就要开始，现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道，每 名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有_种 解析：5 名水暖工去 3 个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要 有人去检查，5 名水暖工分组方案为 3，1，1 和 1，2，2，则分配的方案共有A ( CC 2 CC 2) 3 3 150(种) 答案：150 高清试卷 下载可打印

14、高清试卷 下载可打印 二项式定理 通项与二项式系数 (ab)n的展开式的通项 Tk1C ankbk(k0，1，2，n)，其中 C 叫做二项式系数 k nk n 注意 Tk1是展开式中的第 k1 项，而不是第 k 项 各二项式系数之和 (1)C C C C 2n. 0n1n2nn n (2)C C C C 2n1. 1n3n0n2n 考法全练 1(2018高考全国卷)(x2 )5的展开式中 x4的系数为( ) 2 x A10 B20 C40 D80 解析 ： 选 C.Tr1C (x2)5rC 2rx103r，由 103r4，得 r2，所以 x4的系数为 C r5 ( 2 x) r r5 2240

15、. 2 5 2(2018郑州第一次质量预测)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比 (x 3 x) n 为 321，则 x2的系数为( ) A50 B70 C90 D120 解析 ： 选 C.令 x1，则4n，所以的展开式中，各项系数和为 4n，又二 (x 3 x) n (x 3 x) n 项式系数和为 2n， 所以2n32， 解得 n5.二项展开式的通项 Tr1C x5rC 3rx5 4n 2n r5 ( 3 x) r r5 r，令 5 r2，得 r2，所以 x2的系数为 C 3290，故选 C. 3 2 3 2 2 5 3(2018武汉模拟)若(3x1)5a0a1xa2x2a5x5，则

16、 a12a23a34a45a5 ( ) A80 B120 C180 D240 解析 ： 选 D.由(3x1)5a0a1xa2x2a5x5两边求导， 可得 15(3x1)4a12a2x 3a3x25a5x4， 令 x1 得， 15(31)4a12a23a35a5， 即 a12a23a34a4 5a5240，故选 D. 4(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A10 B20 C30 D60 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：选 C.(x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C (x2x)3y2. 2 5 其中(x2x)3中含 x5的项为 C x4xC x5.

17、1 31 3 所以 x5y2的系数为 C C 30.故选 C. 2 51 3 5(2018南昌模拟)已知(x1)(ax1)6的展开式中含 x2项的系数为 0，则正实数 a _ 解析：(ax1)6的展开式中 x2项的系数为 C a2，x 项的系数为 C a，由(x1)(ax1)6的 4 65 6 展开式中含 x2项的系数为 0， 可得C a2C a0， 因为 a 为正实数， 所以 15a6， 所以 a 4 65 6 . 2 5 答案：2 5 一、选择题 1(2018福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要 求甲、 乙两个展区各安排一个人， 剩下两个展区各安排两

18、个人， 则不同的安排方案共有( ) A90 种 B180 种 C270 种 D360 种 解析：选 B.可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有 A 种不同的安排方 2 6 案 ； 第二步，剩下两个展区各两个人，有 C C 种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理， 2 42 2 不同的安排方案的种数为 A C C 180.故选 B. 2 62 42 2 2(2018河北“五个一名校联盟”模拟)的展开式中的常数项为( ) ( 2 x2x 4)3 A3 B322 C6 D6 解析 ： 选D.通项Tr1C(x4)rC ()3r(1)rx66r， 当66r0， 即r1 r3( 2 x2) 3r

19、 r3 2 时为常数项，T26，故选 D. 3若二项式的展开式的各项系数之和为1，则含 x2项的系数为( ) (x 2a x) 7 A560 B560 C280 D280 解析 ： 选 A.取 x1， 得二项式的展开式的各项系数之和为(1a)7， 即(1a)7 (x 2a x) 7 1，1a1，a2.二项式的展开式的通项 Tr1C (x2)7rC ( (x 22 x) 7 r7 ( 2 x) r r7 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2)rx143r.令143r2，得r4.因此，二项式的展开式中含x2项的系数为C (2)4 (x 22 x) 7 4 7 560，故选 A. 4.(1

20、x)6的展开式中 x2的系数为( ) (1 1 x2) A15 B20 C30 D35 解析：选 C.(1x)6的展开式的通项 Tr1C xr，所以(1x)6的展开式中 x2的系 r6 (1 1 x2) 数为 1C 1C 30，故选 C. 2 64 6 5设(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，则 a1等于( ) A80 B80 C160 D240 解析 ： 选D.因为(x23x2)5(x1)5(x2)5， 所以二项展开式中含x项的系数为C ( 4 5 1)4C (2)5C (1)5C (2)416080240，故选 D. 5 55 54 5 6(2018沈阳教学质量监测(一)若 4

21、 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有 1 个人 站在自己原来的位置，则不同的站法共有( ) A4 种 B8 种 C12 种 D24 种 解析：选 B.将 4 个人重排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，有 C 种站法，剩下 3 人 1 4 不站原来位置有 2 种站法，所以共有 C 28 种站法，故选 B. 1 4 7(2018柳州模拟)从1，2，3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数 相邻，则不同的选法种数是( ) A72 B70 C66 D64 解析 ： 选 D.从1，2，3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有 C C 1 2 C C 56 种选法， 三个数相邻共有

22、C 8 种选法， 故至少有两个数相邻共有 56864 1 71 71 61 8 种选法，故选 D. 8(2018惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四 个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小 李可选的旅游路线数为( ) A24 B18 C16 D10 解析：选 D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有 A 种可选的路线；第二种： 3 3 不在最后体验甲景区， 则有 C A 种可选的路线 所以小李可选的旅游路线数为 A C A 1 22 23 31 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.故选 D. 2 2

23、 9 已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9， 则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a6 8a8)2的值为( ) A39 B310 C311 D312 解析 ： 选 D.对(x2)9a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得 9(x2)8a12a2x 3a3x28a8x79a9x8， 令 x1， 得 a12a23a38a89a9310， 令 x1， 得 a12a2 3a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a2 3a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312，故选 D. 10 (2018广州调研)某学校获得

24、 5 个高校自主招生推荐名额， 其中甲大学 2 个， 乙大学 2 个，丙大学 1 个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女 共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有( ) A36 种 B24 种 C22 种 D20 种 解析：选 B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2 名 女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有 A A 12 种推荐方法；第二种，将 3 名男生分成两 3 32 2 组分别推荐给甲大学和乙大学，共有 C A A 12 种推荐方法故共有 24 种推荐方法，故 2 32 22 2 选 B. 11若 m，n 均为非负整

25、数，在做 mn 的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而 mn 称为有序对(m，n)的值，那么值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是( ) A100 B150 C30 D300 解析 ： 选 D.第一步， 110， 101， 共 2 种组合方式 ； 第二步， 909， 918， 92 7， 936， 990， 共 10 种组合方式 ； 第三步， 404， 413， 422， 431， 440，共 5 种组合方式 ； 第四步，202，211，220，共 3 种组合方式根据 分步乘法计数原理知，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是

26、 21053300.故选 D. 12(2018郑州第二次质量预测)红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了 中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次 完成 A，B，C，D，E，F 六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务 A 必须排 在前三位，且任务 E，F 必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有( ) A240 种 B188 种 C156 种 D120 种 解析：选 D.因为任务 A 必须排在前三位，任务 E，F 必须排在一起，所以可把 A 的位 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 置固定，E，F 捆绑后分类讨论 当 A

27、 在第一位时，有 A A 48 种； 4 42 2 当 A 在第二位时，第一位只能是 B，C，D 中的一个，E，F 只能在 A 的后面，故有 C A 1 3 A 36 种； 3 32 2 当 A 在第三位时，分两种情况：E，F 在 A 之前，此时应有 A A 种，E，F 在 A 之 2 23 3 后，此时应有 A A A 种，故而 A 在第三位时有 A A A A A 36 种 2 32 22 22 23 32 32 22 2 综上，共有 483636120 种不同的安排方案故选 D. 二、填空题 13(一题多解)(2018高考全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且 至

28、少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案) 解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C C 1 22 4 12(种)；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C C 4(种)根据分类加法计数原 2 21 4 理知，至少有 1 位女生入选的不同的选法有 16 种 法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C 20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，不 3 6 同的选法有 C 4(种)，所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20416(种) 3 4 答案：16 14(2018武汉调研)在的展开式中，x3的系数是_ (x 4 x

29、4) 5 解析 ：的展开式的通项 Tr1C (4)5r， r0， 1， 2， 3， 4， 5， (x 4 x4) 5 r5 (x 4 x) r (x 4 x) 的展开式的通项 Tk1C xrk4kC xr2k， k0， 1， r.令 r2k3， 当 k0 时， r3 ； r k r ( 4 x) k k r 当 k1 时，r5.所以 x3的系数为 40C (4)53C 4C (4)0C 180. 0 33 51 55 5 答案：180. 15在多项式(12x)6(1y)5的展开式中，xy3的系数为_ 解析：因为二项式(12x)6的展开式中含 x 的项的系数为 2C ，二项式(1y)5的展开式

30、1 6 中含 y3的项的系数为 C ， 所以在多项式(12x)6(1y)5的展开式中， xy3的系数为 2C C 120. 3 51 63 5 答案：120 16(2018成都模拟)从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天 安排一人，每人只参加一天若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时， 他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为_(用数字作答) 解析：根据题意，分 2 种情况讨论，若只有甲、乙其中一人参加，有 C C A 3 1 24 65 5 600(种)；若甲、乙两人都参加，有 C A A 1 440(种) 2 23 62 4 则不同的安排种数为 3 6001 4405 040. 答案：5 040 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印