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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 11 立体几何小题部分专题 11 立体几何小题部分 【训练目标】 1、 掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积； 2、 掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假； 3、 掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法； 4、 掌握等体积法求点面距； 5、 掌握几何体体积的几种求法； 6、 掌握利用空间向量解决立体几何问题。 7、 掌握常见几何体的外接球问题。 【温馨小提示】 立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在 17 分到 22 分之间，对于大多数人来说
2、，立 体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的 求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。 【名校试题荟萃】 1、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. C. D. 【答案】A 3、如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角 形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得，该多
3、面体为如下几何体，其中 BD,ED,CD 两两互相垂直，最长的棱长为， 故选 C 4、如图，在棱长为 的正方体中，给出以下结论： 直线与所成的角为； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是； 若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为. 其中，正确结论的个数是( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 连接，设到平面的距离为 ，则，到直线的距离为，则四面体 的体积，正确 正确的命题是 5、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表 面积为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷
4、 下载可打印 A. B. C. D. 【答案】A 6、某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工 件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积） （ ） 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. C. D. 【答案】A 7、一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径 等于（ ） 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 8、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. B
5、. C. D. 【答案】C 【解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图所示，还原几何体的直观图是棱长为 3 的正方体中的四棱锥，因此该几何体的外接球的半 径，该几何体的外接球的表面积为，选 C. 9、九章算术商功章有题:一圆柱形谷仓，高 丈 尺，容纳米斛（ 丈=尺，斛为容积单位， 斛 立方尺，），则圆柱底面周长约为（ ） A. 丈 尺 B. 丈 尺 C. 丈 尺 D.丈 尺 【答案】B 10、已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，且， ，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 平面，在四面体的基础上构造长方体如图， 高清试卷 下载可打印 高清试
6、卷 下载可打印 可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即 ， 球的表面积。 11、如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 12、 九章算术 是我国古代的数学名著， 书中提到一种名为 “刍甍” 的五面体， 如图所示， 四边形 是矩形，棱，和都是边长为 的等边三角形，则这个 几何体的体积是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. C. D. 【答案】C 13、 如图， 正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点， 则异面直线和 所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【
7、解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 补一个相同的正三棱柱，如图所示，把正三棱柱补成直四棱柱， 设棱长为 ，取中点，则，所以为异面直线和所成的角， 在中，,在中， 由余弦定理得：，所以。 14、在四棱锥中，底面是菱形，底面，是棱上一点若 ，则当的面积为最小值时，直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 15、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,， 则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ） 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. C. D. 【答案】A 16、如图，在棱长为 的正方体中，给出以下结论： 直线与所成的角为； 若是线段上的
8、动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是； 若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为. 其中，正确结论的个数是( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 中， 每条边都是 ， 即为等边三角形， 与所成角为， 又， 直线 与所成的角为， 正确 ； 由正方体可得平面平面， 当点位于上， 且使 平面时，直线与平面所成角的正弦值最大为 ，当与重合时，连接交平面 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所得斜线最长， 直线与平面所成角的正弦值最小等于， 直线与平面所 成角的正弦值的取值范围是，正确； 连接，设到平面的距离为 ，则，到直线的距离为，则四面体 的体积为 2
9、6 ，正确 正确的命题是 17、如图，在矩形中，点为的中点，现分别沿将 翻折，使得点重合于，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 18、如图所示，在直三棱柱中，分别是，的中 点，给出下列结论：平面；平面平面；其中正确结论 的序号是_ 【答案】 19、已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列命题： 若且，则； 若且，则； 若，则； 若，则. 其中真命题的个数是_ 【答案】2 【解析】 中 与可能相交；对；中要求与 为两异面直线时才成立；为面面垂直的性质定理，正确 20、已知四边形是矩形，.沿将折起到，使平面平面 高清试卷
10、 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ，是的中点，是上一点，给出下列结论： 存在点，使得平面; 存在点，使得平面; 存在点，使得平面; 存在点，使得平面; 其中正确的结论是_.（写出所以正确结论的序号） 【答案】 21、设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题： ； ； ； . 其中，正确的命题是_. 【答案】 【解析】 中平行于同一平面的两平面平行是正确的；中可能平行，相交或直线在平面内；中由面面垂直 的判定定理可知结论正确；中可能线面平行或线在面内. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 22、如图，在直角梯形中，分别是的中点，将三角形 沿折起，下列说法正确的是_.（填上所有正确的
11、序号） 不论折至何位置（不在平面内）都有平面； 不论折至何位置都有； 不论折至何位置（不在平面内）都有； 在折起过程中，一定存在某个位置，使. 【答案】 【解析】 将三角形沿折起后几何体如图所示： 为分别是的中点，所以不论折至何位置（不在平面内）都有， 平面所以正确； ,则，所以正确； 与是异面直线，所以错； 当时，因为,平面,所以存在某个位置，使， 所以正确；故答案为 23、已知空间四边形中, , , ,若平面平面,则 该几何体的外接球表面积为_. 【答案】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 24、设 、 、 是三个不同的平面， 、 是三条不同的直线，则的一个充分条件为_. ，；
12、，； ，； ， 【答案】、 【解析】 中由已知条件可知或在 内或斜交或平行； 由可知 、 平行，由可得； 由面面垂直的性质可得成立； 由可知 、 平行或相交只有平行时才有. 25、如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕 圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得， 设底面圆的半径为 ，则有，故项正确 26、已知空间 个球，它们的半径均为 ，每个球
13、都与其他三个球外切，另有一个小球与这 个球都外切，则 这个小球的半径（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可知，小球球心为正四面体的中心，到顶点的距离为，从而所求小球的半径. 故 选. 27、 三棱锥中,底面, ,点分 别是的中点，则点到平面的距离为_. 【答案】 【解析】 如图,以所在直线为 轴,所在直线 轴,建立空间直角坐标系, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则, , 设平面的一个法向量,则取,则平面的一个法向量,则点 到平面的距离为 28、如图，长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，则异面直线与的夹角 的余弦值是_ 【答案】 【解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 29、如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面， ，则直线与平面所成角的正弦值为_. 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系， 由，得， 则， 设，则， 由，可得：， 设平面的一个法向量为， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则，取， 则，故所求正弦值为. 30、棱长为 1 的正方体中, 为的中点,则平面与平面所成二面角的 余弦值为_. 【答案】 设平面的一个法向量为,则. 令,则.又平面的一个法向量为, 所以.