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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 09 复数、推理与证明专题 09 复数、推理与证明 【训练目标】 1、 掌握复数的概念及复数的分类； 2、 掌握复数的四则运算，复平面问题； 3、 掌握共轭复数的概念，模长的计算； 4、 理解复数的几何意义； 5、 掌握归纳推理和类比推理的方法； 6、 掌握反证法，综合法，分析法，数学归纳法。 【温馨小提示】 本专题高考有一道复数题，一般在选择题的第一或二题，属于送分 题，主要考察复数的运算及复平面；推 理与证明也是今年考试的热点，一半出现在选择题或者填空题，属于容易题。 【名校试题荟萃】 1.若集合，则等于（ ） A B. C. D. 【答案
2、】C 【解析】因为，所以。 2.设复数满足（ 为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 由题意，对应点为，在第四象限故选 D 3.若复数是纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由题意可得因为复数 z 是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.即.因为且 ，所以.所以.因为.故选 A. 4.设 为虚数单位，如果复数 满足，那么 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5.设复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】
3、A 【解析】 可得，则，则 6. 是 的共轭复数，若，（ 为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 方法一：设（），则， ， 又， 故 方法二：， 又， ，. 7、已知 为实数，若，则实数 等于（ ） 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 且复数不可比较大小，必为实数，. 故选 B. 8、已知，定义：.给出下列命题: （1）对任意,都有； （2）若 是复数 z 的共轭复数，则恒成立； （3）若，则； （4）对任意，结论恒成立. 则其中真命题是（ ） A.（1）（2）（3）（4） B.（2）（3）（4） C.（2）（
4、4） D. （2）（3） 【答案】C 9、复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，故选 A. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10、考察下列等式： ， ， ， ， 其中 为虚数单位，均为实数由归纳可得，的值为. 【答案】0 【解析】 通过归纳可得，从而 11、是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的 复数为_. 【答案】 12、下面四个命题中， 复数，则其实部、虚部分别是； 复数 满足 ，则 对应的点集合构成一条直线； 由，可得 ； 为虚数单位，则正确命题的序号是. 【答案】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 13、已知复数
5、和复数,则的值_. 【答案】 【解析】 . 14、若是实数，则. 【答案】 【解析】 ，因为是实数，所以是实数，又 ，故. 15、设，复数 满足：且（其中 为虚数单位），求 的值为 【答案】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 16、下列说法中正确的序号是_. 若一个数是实数,则其虚部不存在 虚轴上的点表示的数都是纯虚数 设( 为虚数单位),若复数在复平面内对应的向量为,则向量的模是 若,则对应的点在复平面内的第四象限. 【答案】 17、观察下列各式：，则的末两位数字为（ ） A.01 B.43 C.07 D.4 【答案】B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 18、观察下列各
6、式：，若， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 . 所以， 所以，所以，故选 C. 19、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、 丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙 说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有 一名罪犯，说真话的人是 ( ) A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丁 D.甲、丁 【答案】B 【解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也
7、对丁也对，不符。所以乙说假话， 小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙。 20、 我国古代数学名著 孙子算经 中有如下故事:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归.” 意思是:“一家出嫁的三个女儿中,大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一 次娘家,聚齐后,三个女儿从娘家同一天离开.”假如回娘家一次算回家一天,若当地风俗正月初二都要回娘 家,则从正月初三算起的两百天内,下列说法正确的是( ) A.小女儿回家 68 天 B.二女儿回家 52 天 C.大女儿回家 38 天 D.有女儿在娘家的天数为 119 天 【答案】D 21、(2018
8、 山东日照一模)的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以的所有正约数 之和为 , 参照上述方法 ,可求得 200 的所有正约数之和为( ) A.930 B.465 C.360 D.240 【答案】B 【解析】类比 36 的所有正约数之和的方法有:200 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为, 所以的所有正约数之和为,所以200的所有正约数之和为465,故选B. 22、将正偶数排列如图，其中第 行第 列的数表示为，例如，若，则 _. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答 案】62 23、在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比为，把这个结论类比到空 间：三棱锥中（如图所示），面
9、平分二面角且与相交于，则得到的 类比的结论是_. 【答案】 【解析】 在中，作于，于，则，所以，根据 面积类比体积，长度类比面积可得，即 24、设是坐标原点，AB 是圆锥曲线的一条不经过点且不垂直于坐标轴的弦，是弦的中点， 分别表示直线的斜率.在圆中，在椭圆 中，类比上述结论可得_ 【答案】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 25、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师 猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、 银牌、铜牌的依次是_ 【答案】小乐，小强，小明 【解析】 其一，若小明得
10、金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意； 其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小 强得金牌，也不合题意； 其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若 小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌 26、凸函数的性质定理如下:如果函数在区间上是凸函数,则对于区间内的任意, 有.已知函数在区间上是凸函数,则在 中,的最大值为_. 【答案】 【解析】 在区间上是凸函数,且, , 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即,的最大值为. 27、记为有限集合
11、的某项指标，已知， ， 运用归纳推理， 可猜想出的合理结论是 ： 若， _（结果用含 的式子表示）. 【答案】 28、观察如下规律:,则该数列的前 120 项和等于_. 【答案】150 【解析】 由,发现该数列,由 个, 个, 个, 个组成, ,该数列前项,由 个, 个, 个,个组成,即 ,故答案为. 29、若是抛物线上的一点，则抛物线在点处的切线的斜率可以通过如下方 法求得：在两边同时对 求导，得，即，所以抛物线在点 P 处的切线的斜率 请类比上述方法，求出双曲线在点处的切线的方程为_. 【答案】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 30、称为取整函数,是指不超过 的最大整数,如,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算 机领域.运用取整的观点,我们可以解决如下问题.已知,且,则_. 【答案】4 【解析】 ,就,则,从而所求. 31、已知等式“”、“ ”、“ ”均成立则 _ 【答案】4 【解析】 观察已知等式，推测： 所以答案应填：4