《2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题10 平行与垂直的证明 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题10 平行与垂直的证明 Word版含解析.pdf（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10 平行与垂直的证明 1.下列条件中,能判断平面的是( ). 存在一条直线a,a,a; 存在两条异面直线a,b,a,b,a,b; 内存在不共线的三点到的距离相等; l,m是两条异面直线,且l,m,l,m. A.B. C.D. 解析 中两平面可能相交,故选 B. 答案 B 2.给出下列四个命题,其中假命题的个数是( ). 垂直于同一条直线的两条直线平行; 垂直于同一个平面的两个平面互相平行; 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂 直; 两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线, 此 直线必垂直于另一个平面. A.
2、1B.2C.3D.4 解析 错,可以相交;错,可以相交、平行;正确;错,直 线在平面内才垂直,否则不垂直.故选 C. 答案 C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中 正确的是( ). A.若,m,n,则mn B.若m,mn,n,则 C.若mn,m,n,则 D.若,m,n,则mn 解析 若,m,n,则m与n相交、 平行或异面,故 A 错误; m,mn,n,又n,故 B 正确; 若mn,m,n,则或与相交,故 C 错误; 若,m,n,则mn或m与n异面,故 D 错误. 故选 B. 答案 B 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中
3、,与AD1异面且与AD1成 60的面对角线 共有 条. 解析 与AD1异面的面对角线有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,共 5 条, 其中与B1C成 90,其余成 60. 答案 4 能力 1 能准确判断点、线、面的位置关系 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【例 1】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是 AB,A1B1的中点. (1)求证:BN平面A1MC. (2)若A1MAB1,求证:AB1A1C. 解析 (1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以ABA1B1,且 AB=A1B1.又点M,N分别是AB,A1B1的中点,所以MB=A1N,且M
4、BA1N.所 以四边形A1NBM是平行四边形,从而BNA1M,又BN平面A1MC,A1M平 面A1MC,所以BN平面A1MC. (2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1底面ABC,而AA1侧面 ABB1A1, 所以侧面ABB1A1底面ABC. 又CA=CB,且M是AB的中点,所以CMAB. 则由侧面ABB1A1底面ABC,侧面ABB1A1底面ABC=AB,CMAB, 且CM底面ABC,得CM侧面ABB1A1. 又AB1侧面ABB1A1,所以AB1CM. 又AB1A1M,A1M,MC平面A1MC,且A1MMC=M,所以AB1平面A1MC. 又A1C平面A1MC,所以AB1A1C. 正
5、确运用平面的基本性质,线线、线面平行或垂直等性质定理和 判定定理进行判断. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图所示,AB为O的直径,点C在O上(不与A,B重合),PA 平面ABC,点E,F分别为线段PC,PB的中点.G为线段PA上(除点P外) 的一个动点. (1)求证:BC平面GEF. (2)求证:BCGE. 解析 (1)因为点E,F分别为线段PC,PB的中点,所以EFCB, 又EF平面GEF,点G不与点P重合,CB平面GEF,所以BC平面GEF. (2)因为PA平面ABC,CB平面ABC,所以BCPA.又因为AB是 O的直径,所以BCAC.又PAAC=A,所以BC平面PAC,且
6、GE平 面PAC,所以BCGE. 能力 2 能正确运用线线、 线面平行与垂直的性质定理及判定定理解 题 【例 2】 如图,在梯形ABCD 中,BAD=ADC=90,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面 BDEF平面ABCD. (1)求证: DFCE. (2)若AC与BD相交于点O,则在棱AE上是否存在点G,使得平面 OBG平面EFC?并说明理由. 解析 (1)连接EB.在梯形ABCD 中,BAD=ADC=90,AB=AD=1,DC=2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 BD=,BC=,22 BD2+BC2=CD2, BCBD.又平面BDEF平面ABCD,平面BD
7、EF平面 ABCD=BD,BC平面ABCD,BC平面BDEF,BCDF. 又在正方形BDEF中,DFEB且EB,BC平面 BCE,EBBC=B,DF平面BCE. CE平面BCE,DFCE. (2)在棱AE上存在点G,使得平面OBG平面EFC,且= .证明如 1 2 下: 在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,AB=1,DC=2,ABDC,= = . 1 2 又=,OGCE. 1 2 在正方形BDEF中,EFOB,且OB,OG平面EFC,EF,CE平面 EFC,OB平面EFC,OG平面EFC. OBOG=O,且OB,OG平面OBG,平面OBG平面EFC. 高考中立体几何部分不断出现了一些具有探
8、索性、 开放性的试题, 对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法等方法来 解决. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边 形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD. (1)证明:PABD. (2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. 解析 (1)DAB=60,AB=2AD,由余弦定理得BD=3 AD,BD2+AD2=AB2,BDAD. 又PD平面ABCD,BDPD,BD平面PAD,PABD. (2)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,的方向 为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0
9、,0),B(0, ,0),P(0,0,1),C(-1,0),33 =(-1,0),=(0,-1),=(-1,0,0). 33 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1),则即 = 0, = 0, 取y1=1,则x1=,z1=, - 1+31 = 0, 31 - 1 = 0, 33 n=(,1, ).33 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2),则即 = 0, = 0, 取y2=-1,则x2=0,z2=-, - 2 = 0, 32 - 2 = 0, 3 m=(0,-1,-),cos=-, 3 - 4 27 27 7 易知二面角A-PB-C为
10、钝角,故二面角A-PB-C的余弦值为-. 27 7 能力 3 能求解线线角、线面角、面面角 【例 3】 如图,在四棱锥P-ABCD中, PA=PD=AD=2CD=2BC=2,且 ADC=BCD=90. (1)当PB=2 时,证明:平面PAD平面ABCD; (2)当四棱锥P-ABCD的体积为 ,且二面角P-AD-B为钝角时,求直 3 4 线PA与平面PCD所成角的正弦值. 解析 (1)取AD的中点O,连接PO,BO, PAD为正三角形,OPAD. ADC=BCD=90,BCAD. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 BC= AD=1,BC=OD, 1 2 四边形BCDO为矩形,OB=CD
11、=1. 又在POB中,PO=,OB=1,PB=2,PO2+OB2=PB2,3 POB=90,POOB. ADOB=O,PO平面ABCD, 又PO平面PAD,平面PAD平面ABCD. (2)ADPO,ADOB, POBO=O, PO,BO平面POB,AD平面POB. AD平面ABCD,平面POB平面ABCD, 过点P作PE平面ABCD,垂足E一定落在平面POB与平面ABCD 的交线BO的延长线上. 四棱锥P-ABCD的体积为 , 3 4 VP-ABCD= PE (AD+BC)CD= PE (2+1)1= PE= 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3 4 ,PE= . 3 2 PO=,3 O
12、E=.2- P23 - 9 4 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图,以O为坐标原点,的方向为x轴,y轴的正方向,平面 POB内过点O垂直于平面AOB的直线为z轴,建立空间直角坐标系O- xyz, 由题意可知A(1,0,0),P,D(-1,0,0),C(-1,1,0),= (0, - 3 2 , 3 2) ,=(0,1,0),=. (1, - 3 2 , 3 2) ( 1, 3 2 , - 3 2) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则得 = 0, = 0, - 3 2 y + 3 2z = 0, = 0, 令x=1,则z=-,n=. 2 3 (1,0, - 2
13、3) 设直线PA与平面PCD所成的角为, 则 sin =|cos|=. | | 2 2 13 3 313 13 故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为. 313 13 求异面直线所成角,直线与平面所成角以及二面角的问题,可先 作出该角,再证明所作角为所求的角,最后转化在三角形内求解.空间 向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间 直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设 出相应平面的法向量,利用两相交直线垂直法向量且数量积为零列出 方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)求出相 应角的正弦值或余弦值和距离. 如图,已知在矩
14、形ABCD中,AB=2AD=2,M是DC的中点,以AM为折痕, 使得DC=DB. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求AD与BM所成的角; (2)当N为BD的中点时,求AN与平面ABCM所成角的正弦值. 解析 (1)因为在矩形中,AB=2AD=2,M为DC的中点, 所以AM=BM=,所以BMAM.2 取AM的中点O,连接DO,又DA=DM,所以DOAM. 取BC的中点H,连接OH,DH,则OHAB,所以OHBC. 因为DC=DB,所以BCDH. 又DHOH=H,所以BC平面DOH,所以BCDO,所以DO平面ABCM, 又DO平面ADM,所以平面ADM平面ABCM. 因为平面AD
15、M平面ABCM=AM,BM平面ABCM,AMBM,所以BM 平面ADM. 因为AD平面ADM,所以ADBM,即AD与BM所成角的大小为90. (2)如图,作NPOB交OB于点P,连接AP,由(1)可知,NAP为所 求角. 因为N为中点,所以NP= DO=. 1 2 2 4 又DH2=DO2+OH2,所以DH=,DB=. 11 2 3 又因为DB2+AD2=AB2,所以ADB=90, 所以在直角三角形ADB中,AN=.2+ D2 12+( 3 2) 2 7 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故所求角的正弦值为=. 14 14 能力 4 能求解线面平行与垂直的综合问题 【例 4】 在
16、如图所示的多面体ABEDC中,已知 ABDE,ABAD,ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,BC=, F是CD的5 中点. (1)求证: AF平面BCE. (2)求证:平面BCE平面CDE. (3)求点D到平面BCE的距离. 解析 (1)取CE的中点M,连接BM,MF,利用三角形的中位线, 得 MFAB,MF=AB,即四边形ABMF为平行四边形,MBAF.BM平面 BCE,AF平面BCE,AF平面BCE. (2)ACD是正三角形, AC=AD=CD=2, 在ABC中, AB=1,AC=2,BC=,5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 AB2+AC2=BC2,故ABAC, DEA
17、C.又DEAD,ACAD=A, DE平面ACD, DEAF.又AFCD,由(1)得BMAF, DEBM, BMCD,DECD=D, BM平面CDE,BM平面BCE, 平面BCE平面CDE. (3)连接DM,DE=DC,DMCE. 由(2)知,平面BCE平面CDE, DM平面BCE, DM为点D到平面BCE的距离,DM=,2 点D到平面BCE的距离为.2 立体几何中往往涉及垂直关系、平行关系、距离、体积的计算. 在计算问题中,常用“几何法”.利用几何法,要遵循“一作、二证、 三计算”的步骤,熟悉空间中点线、面的位置关系及判定方法,掌握体 积、距离的求法,灵活使用面面垂直、线面垂直等性质定理. 如
18、图,在四棱锥P-ABCD 中,PAAD,ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中 点,DE=EC. (1)求证:平面ABE平面BEF. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求a 4, 3 的取值范围. 解析 (1)ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点, 四边形ABFD为矩形,ABBF. DE=EC,DCEF, 又ABCD,ABEF. BFEF=F,AB平面BEF, 又AB平面ABE, 平面ABE平面BEF. (2)DE=EC,DCEF. 又PDEF,ABCD,ABPD. CDA
19、D,ABAD, 又ADPD=D,AB平面PAD,ABPA. 以为x轴的正方向,为y轴的正方向,为z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E. (1,1, 2) 设平面BCD的一个法向量为n1=(0,0,1),可求得平面EBD的一个 法向量为n2=(2a,a,-2), 则 cos =,可得a. | - 2 52+ 4| 1 2, 2 2 25 5 , 215 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 一、选择题 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下四个结论,错误的是( ). A.直线D1C平面A
20、1ABB1 B.直线A1D1与平面BCD1相交 C.直线AD不与平面D1DB垂直 D.平面BCD1平面A1ABB1 解析 因为D1CA1B,D1C平面A1ABB1,所以 A 正确;因为直线 A1D1在平面BCD1内,所以 B 错误;因为AD与BD不垂直,所以 C 正确;因 为BC平面ABB1A1,BC平面D1BC,所以 D 正确.故选 B. 答案 B 2.已知a,b是直线,是平面,下列说法正确的是( ). A.若ab,则a平行于经过b的任何平面 B.若a,则a与内任何直线平行 C.若a不平行于,则内不存在与a平行的直线 D.若ab,a,b,则b 解析 A 错,不能平行a,b所构成的平面;B 错
21、,存在异面情况;C 错,a可以在平面内,这样就找得到直线平行;D 对.故选 D. 答案 D 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AC-B的余弦值是( ). A.B.- 6 3 6 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C.D.- 3 3 3 3 解析 连接BD,交AC于O,连接D1O,易知D1OB为所求二面角 的平面角.在 RtD1DO中,求得D1OB的补角的余弦值为,所以选 D. 3 3 解析 D 4.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=AB,则 直线PD与平面ABC所成角的正切值为( ). A.2B.C.D. 1 2 2 2 2 解
22、析 如图,PD与平面ABC所成角为PDA,在 RtPAD 中,AD=2PA,所以 tanPDA=,故选 B. 1 2 答案 B 5.设,是三个不同的平面,a,b,c是三条不同的直线,下列四 个命题正确的是( ). A.若a,b,ab,则 B.若a,b,=c,a,b,则ab C.若,则或 D.若ab,ac,b,c,则a 解析 A 错,两个平面可以相交;C 错,两个平面可以相交;D 错,a 可以与平面相交或在平面内,故选 B. 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,过直线B1D1的平面6 平面A1BD,则平面截该正方体所得的
23、截面的面积为( ). A.6B.1266 C.12D.1832 解析 如图,设B1D1A1C1=F,AA1的中点为E,连接EF,由中位线 定理得EFAC1,由正方体的性质可知,AC1BD,AC1A1D,又 BDA1D=D,所以AC1平面A1BD,进而EF平面A1BD.因为EF平面 EB1D1,所以平面EB1D1平面A1BD,所以平面EB1D1就是所求的平面, = 43=6.故答案为 6. 11 1 2 3266 答案 A 7.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将ABC折起,当平面ABC平面 ACD时,四面体ABCD的外接球的体积是( ). A.B. 125 12 125 9 C.D.
24、 125 6 125 3 解析 设矩形ABCD的对角线AC,BD的交点为点O, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由矩形的性质结合题意可知,OA=OB=OC=OD= . 1 2 32+ 42 5 2 在翻折过程中OA,OB,OC,OD长度不变,据此可知点O为球心, 外接球的半径R=OA=,外接球的体积V=R3=.故 5 2 4 3 4 3 125 8 125 6 选 C. 答案 C 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,DAB=60,PD平面 ABCD,PD=AD=2,点E为AB的中点,则点A到平面PEC的距离为( ). A.B. 15 10 30 10 C.D. 5
25、 5 10 5 解析 设点A到平面PEC的距离为d. 连接ED,取PC的中点Q,连接EQ,AC. 由题意知,在EBC中, EC=2+ B2- 2EBBCcos =,1 + 4 + 2 1 2 1 2 7 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在PDE中,PE=,2+ D27 在PDC中,PC=2,故EQPC,可得EQ=,2+ C225 SPEC= 2=, 1 2 2510 SAEC= 1=, 1 2 3 3 2 所以由VA-PEC=VP-AEC, 得d= 2, 1 3 10 1 3 3 2 解得d=,故选 B. 30 10 答案 B 9.已知ABC的顶点A平面,点B,C在平面同侧,且AB
26、=2,AC=,3 若AB,AC与所成的角分别为 , ,则线段BC长度的取值范围为 3 6 ( ). A.2-,1 B.1,37 C.,D.1,77 + 237 + 23 解析 如图,过点B,C作平面的垂线,垂足分别为M,N, 则四边形BMNC为直角梯形. 在平面BMNC内,过点C作CEBM,交BM于点E. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又因为BM=2sinBAM=2sin=,AM=2cos=1,CN=sinCAN= 3 3 3 3 sin=,AN=cos=,3 6 3 2 3 6 3 2 所以BE=BM-CN=,故BC2=MN2+ . 3 2 3 4 又因为AN-AMMNAM+A
27、N, 即 MN , 1 2 5 2 所以 1BC27,即 1BC,故选 B.7 答案 B 二、填空题 10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1,AC,BD交于点O,则D1O与6 平面A1B1C1D1所成的角为 . 解析 由上下两平面平行,易知D1OD为所求角.设AA1=1,则 AD=AA1=,底面是正方形,所以DO=,tanD1OD=,故所663 1 1 3 3 3 成的角为 30. 答案 30 11.若一个n面体中有m个面是直角三角形,则称这个n面体的直度为 ,如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四面体A1-ABC的直度为 . 解析 由长方体易知A1AB,A1BC,
28、ABC,A1AC为直角,所以 四个面都是直角三角形,故直度为 1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 1 12.如图,在正方形ABCD中,EFAB,若沿EF将正方形折成一个二面角 后,AEEDAD=11,则AF与CE所成角的余弦值为 . 2 解析 折后有AEDEAD=11,2 DEAE. 由题意得DEEF,AEEF, 如图,建立空间直角坐标系, 设AB=EF=CD=2, 则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1), =(-1,2,0),=(0,2,1), cos=,AF与CE所成角的余弦值为. 4 5 4 5 答案 4 5 三、解答题 高清试卷 下
29、载可打印 高清试卷 下载可打印 13.在如图所示的多面体ABEDC中,AB平面ACD,DE平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB=1,G为AD的中点. (1)请在线段CE上找到点F的位置,使得直线BF平面ACD,并给予证 明; (2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小; (3)求点G到平面BCE的距离. 解析 以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得x轴 和z轴的正半轴分别经过点A和点E, 则各点的坐标为D(0,0,0),A(2,0,0),E(0,0,2),B (2,0,1),C(1, ,0),3 (1)当点F是线段CE的中点时,BF平面ACD,证明如下: 设F是线段C
30、E的中点,则点F的坐标为,= ( 1 2, 3 2 ,1 ) , (- 3 2, 3 2 ,0 ) 显然与平面xDy平行,BF平面ACD. (2)设平面BCE的法向量为n=(x,y,z), 则n,且n. 又=(1,-,1),=(-1,-,2), 33 不妨设y=,则 - 3y + z = 0, - - 3y + 2z = 0, 3 = 1, = 2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即n=(1,2),3 取平面ACD的一个法向量为(0,0,1), 所求角满足 cos =,= . (0,0,1) | 2 22 1 2 2 4 (3)点G的坐标为(1,0,0), =(-1,0,-1), 由(2)可知平面BCE的一个法向量为n=(1,2),3 所求距离d=. | | | | - 1 - 2| 22 32 4