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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (四)函数与导数(2)(四)函数与导数(2) 1(2018江西省重点中学协作体联考)已知f(x)ex，g(x)x2ax2xsin x1. (1)证明：1xex(x0,1)； 1 1x (2)若x0,1)时，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围 (1)证明 设h(x)ex1x，则h(x)ex1， 故h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增 从而h(x)h(0)0，即 ex1x. 而当x0,1)时，ex1x，即 ex. 1 1x (2)解 设F(x)f(x)g(x) ex(x2ax2xsin x1)， 则F(0)0， F(x)ex(2xa
2、2xcos x2sin x) 要求F(x)0 在0,1)上恒成立，必须有F(0)0. 即a1. 以下证明：当a1 时，f(x)g(x) 只要证 1xx2x2xsin x1， 只要证 2sin xx在0,1)上恒成立 令(x)2sin xx， 则(x)2cos x10 对x0,1)恒成立， 又(0)0，所以 2sin xx，从而不等式得证 2(2018宿州质检)设函数f(x)xaxln x(aR R) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)的极大值点为x1，证明：f(x)exx2. (1)解 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1aln xa， 当a0 时，f(x)x， 则函数f
3、(x)在区间(0，)上单调递增； 当a0 时，由f(x)0 得x 1 e a a ， 由f(x)0 得 0 1 e a a ， 所以函数f(x)在区间上单调递增，(0，) 在区间上单调递减(，) 综上所述，当a0 时， 函数f(x)在区间(0，)上单调递增； 当a0 时，函数f(x)在区间上单调递减，(0，) 在区间上单调递增；(，) 当a0)， ex x 则F(x) 1 1 x exxex x2 . x 1 xex x2 令g(x)xex， 得函数g(x)在区间(0，)上单调递增 而g(1)1 0，g(0)10. 故F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增 F(x)minF(
4、x0)ln x0 x01. x0 又 0 e x x0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 F(x)minln x0x01 x0 x01x010. F(x)F(x0)0 成立， 即f(x)exx2成立 3(2018皖江八校联考)已知函数f(x). ax2xa 2ex (1)若a0，函数f(x)的极大值为，求实数a的值； 5 2e (2)若对任意的a0，f(x)在x0，)上恒成立，求实数b的取值范围 b ln x 1 2 解 (1)由题意， f(x) (2ax1)ex(ax2xa)ex 1 2 exax2(12a)xa1 1 2 ex(x1)(ax1a) 1 2 当a0 时，f(x)
5、ex(x1)， 1 2 令f(x)0，得x1， 所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减 所以f(x)的极大值为f(1)，不合题意 1 2e 5 2e 当a0 时，1 0，得 1 1， 1 a 所以f(x)在上单调递增， (1 1 a，1) 在，(1，)上单调递减 (，1 1 a) 所以f(x)的极大值为f(1)，得a2. 2a1 2e 5 2e 综上所述a2. (2)令g(a)，a(，0， x2 1 a 2ex x 2ex 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当x0，)时，0， x21 2ex 则g(a)对a(，0恒成立等价于g(a)g(0)， b ln x 1 2 b
6、 ln x 1 2 即bln(x1)对x0，)恒成立 x ex 当b0 时，显然bln(x1)在0，)上不恒成立 x ex 当b0， x ex 此时bln(x1)，不合题意 x ex 当b0 时，令h(x)bln(x1)，x0，)， x ex 则h(x)(exxex)， b x1 bexx21 x1ex 其中(x1)ex0，x0，)， 令p(x)bexx21，x0，)， 则p(x)在区间0，)上单调递增， b1 时，p(x)p(0)b10， 所以对x0，)，h(x)0， 从而h(x)在0，)上单调递增， 所以对任意x0，)，h(x)h(0)0， 即不等式bln(x1)xex在0，)上恒成立 0
7、0 及p(x)在区间0，)上单调递增， 所以存在唯一的x0(0,1)，使得p(x0)0， 且x(0，x0)时，p(x)0. x (1)解 f(x)ln xax.xx 令 3 2 xt，x 2 3 t(t0)令h(t)ln tat， 3 2 则函数yh(t)与yf(x)的零点个数情况一致 h(t) a. 1 t 3 2 ()当a0 时，h(t)0， h(t)在(0，)上单调递增 又h(1)a0， 3 2 1 e a a h a ae 1 a a 1 a 3 2 a aa 0 时，h(t)在上单调递增， (0， 2 3a) 在上单调递减 ( 2 3a，) h(t)maxhln1. ( 2 3a)
8、2 3a 当 ln 时，h1 即 00， 2 3a 2 3e( 2 3a) 又e1，h(1)a0， 3a 2( 2 3 1 a2) 2 3a2 26a 3a2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (a)在上单调递增， (0， 2 3e) (a)时，无零点 2 3e (2)要证g(x)f(x)ax20， 只需证22. 令t(m)，t(m)0， ln m m 1ln m m2 t(m)在(0,1)上单调递增， t(m)0. 5(2018洛阳模拟)已知函数f(x)(x1)exx2，其中tR R. t 2 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当t3 时，证明：不等式f(x1x2)f(x1x
9、2)2x2恒成立(其中x1R R，x20) (1)解 由于f(x)xextxx(ext) ()当t0 时，ext0， 当x0 时，f(x)0，f(x)单调递增， 当x0 时，由f(x)0 得x0 或xln t. 当 00 时，f(x)0，f(x)单调递增， 当 ln t0，f(x)单调递增； 当t1 时，f(x)0，f(x)单调递增； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当t1 时，ln t0. 当xln t时，f(x)0，f(x)单调递增， 当 00，f(x)单调递增 综上，当t0 时，f(x)在(，0)上是减函数， 在(0，)上是增函数； 当 01 时，f(x)在(，0)，(ln
10、t，)上是增函数， 在(0，ln t)上是减函数 (2)证明 依题意f(x1x2)f(x1x2)(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x1x2)f(x1 x2)(x1x2)恒成立 设g(x)f(x)x， 则上式等价于g(x1x2)g(x1x2)， 要证明g(x1x2)g(x1x2)对任意x1R R， x2(0，)恒成立， 即证明g(x)(x1)exx2x在 R R 上单调递增， 3 2 又g(x)xex3x1， 只需证明xex3x10 即可 令h(x)exx1，则h(x)ex1， 当x0 时，h(x)0， h(x)minh(0)0， 即xR R，exx1， 那么，当x0 时，xexx2x，
11、xex3x1 x22x1(x1)20； 当x0， (e x31 x) xex3x10 恒成立从而原不等式成立 6已知函数f(x)ax2cos x(aR R)，记f(x)的导函数为g(x) (1)证明：当a 时，g(x)在 R R 上为单调函数； 1 2 (2)若f(x)在x0 处取得极小值，求a的取值范围； (3)设函数h(x)的定义域为D， 区间(m， )D.若h(x)在(m， )上是单调函数， 则称h(x) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在D上广义单调试证明函数yf(x)xln x在(0，)上广义单调 (1)证明 当a 时，f(x)x2cos x， 1 2 1 2 所以f(x
12、)xsin x，即g(x)xsin x， 所以g(x)1cos x0， 所以g(x)在 R R 上单调递增 (2)解 因为g(x)f(x)2axsin x， 所以g(x)2acos x. 当a 时，g(x)1cos x0， 1 2 所以函数f(x)在 R R 上单调递增 若x0，则f(x)f(0)0； 若x0，则f(x)f(0)0， 所以f(x)的单调递减区间是(0，)， 单调递增区间是(，0)， 所以f(x)在x0 处取得极大值，不符合题意 当 2a，即g(x)0) 若a0，注意到 ln x2ax22x 2a. ( x1 4a1 2a)( x1 4a1 2a) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当x 2时，h(x)0， ( 1 4a1 2a) 所以当m 2时，函数h(x)在(m，)上单调递增 ( 1 4a1 2a) 若a0，当x1 时， h(x)2axsin x1ln xsin x1ln x0， 所以当m1 时，函数h(x)在(m，)上单调递减 综上所述，函数yf(x)xln x在区间(0，)上广义单调