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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 课时规范练 46 抛物线课时规范练 46 抛物线 基础巩固组基础巩固组 1 1.(2017 广西桂林一模,文 4)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是点A到y轴2 距离的 3 倍,则p等于( ) A.B.1C.D.2 1 2 3 2 2 2.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则POF的面积22 为( ) A.2B.2C.2D.423 3 3.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为 3,则|AB|等于 ( ) A.2B.4C.6D.8 4
2、4.(2017 山西运城模拟)已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2 相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为 3, 则此抛物线方程为( ) A.x2= yB.x2=6y 3 2 C.x2=-3yD.x2=3y 5 5.(2017 河北张家口 4 月模拟,文 6)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于 A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为( ) A.2B.4C.5D.6 6 6.(2017 河南洛阳一模,文 11)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物 线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距
3、离为( ) A.6B.5C.4D.3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7 7.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若 |BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x3 8 8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别 为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 . 9 9.已知点F为抛物线y2=12x的焦点,过点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A,过A作AH 垂直抛物线的准线于H,若直线l的倾斜角,
4、则AFH面积的最小值为 . (0, 3 1010.(2017 广东江门一模,文 10 改编)F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点 A,与抛物线的准线相交于点B,若=4,则= .导学号 24190944 FBFAFAFB 综合提升组综合提升组 1111.已知直线l1:4x-3y+6=0 和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之 和的最小值是( ) A.B.2C.D.3 35 5 11 5 1212.(2017 全国,文 12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上3 方),l为C的准线,点N在l上且MNl
5、,则M到直线NF的距离为( ) A.B.2C.2D.35233 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1313.以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42 ,|DE|=2,则抛物线C的焦点到准线的距离为 . 5 1414.(2017 安徽马鞍山一模,文 20)设动点P(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大 1,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直 线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN
6、的斜率为定值. 导学号 24190945 创新应用组创新应用组 1515.(2017 山东菏泽一模,文 15)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,22 为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|,若)(x0 p 2) p 2 3 |MA| |AF| =2,则|AF|= . 1616.(2016 吉林东北师大附中二模,文 20)已知抛物线C:y= x2,直线l:y=x-1,设P为直线l上的动 1 2 点,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B. (1)当点P在y轴上时,求线段AB的长; (2)求证:直线AB恒过定点. 答案
7、： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 1.D 由题意,3x0=x0+,x0=, p 2 p 4 =2. p2 2 p0,p=2,故选 D. 2 2.C 利用|PF|=xP+=4,可得xP=3.222 yP=2.SPOF= |OF|yP|=2.故选 C.6 1 2 3 3 3.D 由题设知线段AB的中点到准线的距离为 4. 设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2. 由抛物线的定义知 |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8. 4 4.D 设点M(x1,y1),N(x2,y2). 由消去y, x2= ay, y = 2x - 2 得x2-2ax+2a=0, 所以=3,即a
8、=3, x1+ x2 2 = 2a 2 因此所求的抛物线方程是x2=3y. 5 5.A 抛物线y2=4x,p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为 x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=2,故选 A. 1 2 1 2 6 6.A 抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM l于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|= |AF|, 1 2 |OB|=|BF|,点B的横坐标为 1,|BN|=3,|AM|=6,故选 A. 高
9、清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7 7.C 如图,分别过点A,B作AA1l于点A1,BB1l于点B1, 由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. |BC|=2|BF|, |BC|=2|BB1|. BCB1=30, AFx=60. 连接A1F,则AA1F为等边三角形,过点F作FF1AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于 点K, 则|KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即p=, 1 2 1 2 3 2 故抛物线方程为y2=3x. 8 8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取
10、得最小值时当且仅当|AB| 取得最小值. 依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 9 9.36 设点A的坐标为(x,y)(y0),直线l的倾斜角,则x9.3(0, 3 故AFH的面积S=(x+3)y. 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 令t=S2=(x+3)212x=3x(x+3)2. 1 4 则t=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)0,函数t单调递增. 故当x=9 时,S最小,此时=39122,即Smin=36.S 2 min 3 1010. 由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作
11、垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D, 9 4 则由抛物线的定义,|FA|=m+,由BACBFD,得,m= . 1 2 m + 1 2 1 = 3 4 1 4 |FA|=,|FB|=3, 3 4 =|FA|FB|= .FAFB 9 4 1111.B 由题可知l2:x=-1 是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离 等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0 的距 离,所以最小值是=2. |4 - 0 + 6| 5 1212.C 由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线M
12、F:y=(x-1),与抛物线3 y2=4x联立,消去y得 3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3. 1 3 因为M在x轴的上方, 所以M(3,2).3 因为MNl,且N在l上, 所以N(-1,2).3 因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).3 所以M到直线NF的距离为=2. |3 (3 - 1) + 2 3| ( - 3) 2 + 12 3 1313.4 不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=R2. 因为|AB|=4,2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以可设A(m,2).2 又因为|DE|=2,5 所以解得p2=16. R2= 5
13、+ p2 4, m2+ 8 = R2, 8 = 2pm, 故p=4,即C的焦点到准线的距离是 4. 1414.(1)解 由题意知,点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1 为准线的抛物线,故曲线C的方程 为y2=4x. (2)证明 由D(x0,2)在曲线C上,得 4=4x0,则x0=1,从而D(1,2). 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2, 则l2:y=-k(x-1)+2, 由得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0, y = k(x - 1) + 2, y2= 4x x11=, (k - 2)2 k2 = k2- 4k + 4 k2 同
14、理x2=. k2+ 4k + 4 k2 x1+x2=,x1-x2=- . 2k2+ 8 k2 8 k y1-y2=k(x1+x2)-2k= . 8 k kMN=-1,直线MN的斜率为定值-1. y1- y2 x1- x2 = 8 k - 8 k 1515.1 由抛物线的定义得|MF|=x0+ . p 2 圆与y轴相切,|MA|=x0. 圆被直线x=截得的弦长为|MA|,圆心到直线x=的距离为|MA|, p 2 3 p 2 |MA|2-( 3 2 |MA|) 2 = 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |MA|=2,(x0- p 2) 2=x0,解得x0=p.(x0- p 2)
15、M(p,2),2p2=8,p=2.2 =2,|AF|= |MA|= p=1. |MA| |AF| 1 2 1 2 1616.(1)解 设A,B,y= x2的导数为y=x,以A为切点的切线方程为y-=x1(x-x1),整(x1, 1 2x 2 1) (x2, 1 2x 2 2) 1 2 1 2x 2 1 理得y=x1x-, 1 2x 2 1 同理,以B为切点的切线方程为y=x2x-,代入P(0,-1),得=2(x1x20),可得|AB|=|x1- 1 2x 2 2 x21= x22 x2|=2.2 (2)证明 设P(x,y), 由(1)得 y = x1x - 1 2x 2 1, y = x2x - 1 2x 2 2, 可得P.( x2+ x1 2 , x1x2 2 ) 由已知直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=kx+b, y = kx + b, y = 1 2x 2, 可得x2-2kx-2b=0, 即有x1+x2=2k,x1x2=-2b,可得P(k,-b), 由点P在直线y=x-1 上,可得b=1-k, 则直线AB的方程为y=kx+(1-k),即k(x-1)-y+1=0, 则直线AB过定点(1,1).