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1、第五章 分析力学,拉格朗日,哈密顿,5.2 虚功原理,本节导读,实位移 虚位移 实功 虚功 虚功(虚位移)原理 拉格朗日乘子与约束力,1 实位移和虚位移,质点由于运动实际发生的位移, 叫做实位移. 用dr表示.,想象的质点在约束许可情况下发生的位移, 叫做虚位移. 用 r表示. 虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束, 而不是由于时间变化所引起的.,虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程,而虚位移只需要满足约束. 在稳定约束下,实位移是无限多虚位移中的一个. 而在不稳定约束时, 可能二者不一致.,设有n个质点的系统, 存在m个完整约束, 其约束方程,设 是满足约束条件的虚位移,
2、则,对ri 作多元函数的泰勒展开(t 被“冻结”), 略去二次以上的项,满足上式的一组ri 就是虚位移.,而真实位移dri是一个在时间dt间隔中完成的位移, 为使其满足约束条件, 必须,于是得,是约束对真实位移的限制条件, 即时间不被“冻结”的可能位移应满足的条件. 如约束是稳定的, 虚、实位移相同.,虚位移与实位移比较表,2 虚功,作用在质点上的力在任意虚位移r中所作的功, 叫做虚功.,如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚位移中所作的虚功之和为零,即,那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及刚体等都是理想约束.,例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为,质点的虚位移应满
3、足,即虚位移垂直于曲面的法向( ). 由于约束面是光滑的, 约束力沿曲面的法向, 即,因此虚功为,例2 质点沿运动的光滑曲面运动, 约束方程为,质点的虚位移应满足,即虚位移仍垂直于曲面的法向. 而 约束力沿曲面的法向, 所以虚功也仍为零.,注意, 这里约束力所作的真实的功并不为零, 因为真实位移dr满足,它并不垂直于曲面的法向. 约束力的虚功为零, 这完全是因为虚位移在“冻结”了的(t0)曲面的切平面上.,例3 质点约束在光滑曲线上运动. 这种情形可以看成质点约束在两个光滑曲面上的运动, 其约束方程为,质点的虚位移应满足,这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.,因此约束力的虚功,例4
4、刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 , 则约束方程为,3 虚功原理,于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零,当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的 的合力应为零, 即,在理想约束条件下, 如果系统处于平衡状态, 则其平衡条件为,这称为虚功原理. 显然, 当一个只有理想约束的系统处于平衡状态时, 作用于该系统的所有主动力的虚功之总和为零.,其实, 即使是非理想的约束, 仍然可以使用虚功原理. 只要把 理解为既包括主动力又包括非理想约束反力即可.,4 广义坐标下的虚功原理,质点虚位移也可用广义坐标的虚位移(广义虚位移)表示,由于虚位移不独立, 因而上述虚
5、功原理不能消除虚位移来得出平衡时系统的受力. 为解决这个困难, 采用广义坐标. 任何一个质点的矢径 都可用s个广义坐标表示,这样在广义坐标中得到平衡方程为:,Q是q的函数. 由于广义虚位移是相互独立的, 所以,Q叫做广义力. 它的数目和力学体系的自由度数相等.,5 主动力为保守力的情况,在主动力是保守力的情况下, 广义力Q的表达式很容易求得.,并且此时平衡方程为,上式具有鲜明的物理意义: 保守力作用下的力学系统, 如处于平衡, 则势能取极值.,例1 两刚性杆用光滑铰链连接如图. 上杆长l1, 质量为m1, 下杆长l2, 质量为m2, 在下杆的下端施加不变的水平力F, 试求平衡时两杆各自同竖直线
6、的夹角1和2.,解: 光滑铰链是理想约束. 所需考虑的主动力有水平力F, 重力m1g和重力m2g. 系统两个自由度, 1和2为广义坐标按照虚功原理,因为,自由度 1和2为独立的,由此解得,因为,6 约束力的求解拉格朗日乘子法,利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入拉格朗日乘子法.,n个质点组成的系统, 有k个完整约束,x,y,z个是所有系统各质点坐标的缩写. 这时系统的独立坐标数为3nk, 显然我们可以直接利用3n个坐标求解, 也可以利用3nk广义坐标求解.,(i)如直接利用3n个坐标求解, 则力学系统的平衡条件为,虚位移应满足,把上式对应
7、乘以, 然后和(5.15)相加, 得,总可以得到,联立约束方程, 共有3n+k个方程, 可以确定坐标和不定乘子.,不定乘子的物理意义:,即不定乘子和约束方程的散度乘积是对应的约束反力.,(ii)利用广义坐标求解约束反力.,先将坐标用广义坐标表示, 约束方程变为,而虚位移满足,类比与直接求解的方式, 得,也总能得到,不定乘子仍和约束反力成比例, 而Q是广义坐标表示的主动力.,例2 如图所示机构中, OA=r, h2r,弹簧的劲度系数为k, 当OA杆在力偶矩M1作用下于图示位置(OA平行于水平杆BC)平衡时, 试求作用在AD杆上的力偶矩M2的大小及弹簧的形变量.,本题可根据广义力表示的平衡条件求解
8、. 但必须先求出广义力, 下面用虚元功法求广义力.,解: 系统具有两个由由度, 选OA杆的转角1和AD杆的转角2为独立的虚位移, 其转向如图所示.,先令1=0, 对应于虚位移2的虚功为,再令2=0, 对应于虚位移1的虚功为,根据平衡条件, 有Q20, Q10, 这样可得,对应的广义力为,例3 试求例1两杆铰接处的相互作用力.,解: 本题所求为两杆铰接处的约束力, 所以选取广义坐标时不考虑约束条件. 按照质心运动定理,下杆所受的各个力, 包括铰接处的约束力可以看做作用于杆的质心, 因此我们选下杆质心的坐标x2, y2作为特定的广义坐标. 另选确定上杆位置的1 和下杆位置的2作广义坐标. 按照虚功
9、原理,用广义坐标表示,由此看出, 对应于 x2和 y2的主动力分别是m2g和F. 由于广义坐标不独立, 受到约束,于是,用1遍乘(b)的各项, 2遍乘(c)的各项, 并与(a)相加,令各个系数分别为零, 即得平衡方程, 其中对应于 x2和 y2的两个平衡方程是,这样, 下杆所受的x方向的力为m2g, y方向为 F.,因为,小结,a 实位移: 质点实际运动的位移 b 虚位移: 想象中发生的位移，取决于质点位置和约束 c 理想约束: 诸约束反力在任意虚位移上作的虚功为零,虚功原理 a) 力学体系如受n个外力作用平衡, 则对理想、不可解约束来说, 虚功之和为零 b ) 利用虚功原理不能求约束反力, 但可用未定乘法来求,