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1、经济数学基础（II）,主 讲 人： 张慧鑫 联系方式： wzfei_ 13880404475,第6章：多元函数微分学,内容提要,6.1 二元函数的极限与连续 6.1.1 空间直角坐标系简介 6.1.2 曲面与方程 6.1.3 二元函数 6.1.4 二元函数的极限与连续,6.1 二元函数的极限与连续,一元函数：含有一个自变量的函数。,许多实际问题中，一个函数往往依赖于多个自变量。,例如：某种商品的市场需求量与 其市场价格有关 消费者的收入有关 这种商品的其它代用品的价格等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个，要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。,6.1.1 空间直角坐标系
2、简介,过空间中一点O，分别作三条互相垂直的数轴Ox，Oy，Oz，规定O为原点，三条数轴为三个坐标轴，分别记为x轴（横）、y轴（纵）和z轴（立）。,一、空间解析几何简介,6.1.1 空间直角坐标系简介,三个坐标轴的正方向, 遵循右手系法则,O,即:将右手伸直，拇指向上的方向为Oz轴的正向。四指的指向为Ox轴正向，四指弯曲90后的指向为Oy轴的正向。,6.1.1 空间直角坐标系简介,三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面坐标平面,x轴及y轴确定的平面 xy平面； x轴及z轴确定的平面 xz平面； y轴及z轴确定的平面 yz平面。,面,面,面,三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限,6
3、.1.1 空间直角坐标系简介,二、空间一点的坐标,设M为空间一已知点过点 M 作三个平面分别垂直于x轴y 轴和z轴，三个平面在x轴、y轴和 z轴的交点依次为P、Q、R，,P,R,x,z,y,M,Q,在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、立坐标,坐标为x、y、z 的点M 记为：M(x，y，z),6.1.1 空间直角坐标系简介,三、空间两点间的距离,设,为空间两点,在直角,及直角 中 ,由勾股定理有:,求,特殊地：若两点分别为,6.1.1 空间直角坐标系简介,三、空间两点间的距离,例题1：求空间一点(2,4,-1
4、)到坐标轴ox的距离.,解：点(2,4,-1)到x轴的距离,显然即为点(0,4,-1)到原点(0,0,0)的距离,于是其距离为:,6.1.2 曲面与方程,定义6.1 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)=0，则方程F(x, y, z)=0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x, y, z)=0所对应的图形。,在平面解析几何中，坐标平面上的一条曲线与方程F（x，y）=0相对应；在空间直角坐标系中，可建立空间曲面与含有三个变量的方程F (x，y，z）=0的对应关系。,6.1.2 曲面与方程,解：,根据题意有,所求方
5、程为：,特殊地：球心在原点时方程为：,设一个球面的球心为M0（x0，y0，z0)，半径为R， 求此球面的方程。,例题2,6.1.2 曲面与方程,解：,设平面上的任意一点为M (x，y，z），则点M到xy平面的距离为c,所求平面方程为：,思考：,求与坐标平面xy距离恒等于c（c 0）的平面方程。,例题3,c,-c,分别表示什么样的平面？,6.1.3 二元函数,定义6.2 设D是平面上的一个非空点集，f是一个对应法则，如果对于每个点（x，y） D，都可由对应法则f得到惟一的实数z与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记为： z = f（x，y） 变量x，y称为自变量，z称为因变量，集合D称为函数
6、f（x，y）的定义域，对应的函数集合 称为该函数的值域。,注1: 该定义可推广到三元以上的函数情形； 注2: 二元及以上的函数统称为多元函数,可见二元函数是多元函数中最简单的,又因二元函数与其它多元函数有极类似的性质,故我们研究二元函数即可.,6.1.3 二元函数,例题4 求函数 的定义域,并画出其所表示的 平面区域.,解：要使该函数有意义, 须有,则其定义域为,其所表示的图形见右图所示,6.1.3 二元函数,例题5 求函数 的定义域,并画出其所表示的平面区域.,解： 要使该函数有意义, 须有,则其定义域为,其所表示的图形见右图所示,6.1.3 二元函数,解 要使该函数有意义, 须有,例题6
7、求函数 的定义域,并画出所表示的平面区域.,即,所以该函数的定义域为,6.1.3 二元函数,由上述几例可见,二元函数定义域是平面上的区域,区域往往是由一条或几条曲线围成的,围成区域的曲线称为区域的边界,包含边界在内的区域称为闭区域（例4、5）,不含边界在内的区域称为开区域（例6），包含部分边界的区域称为半开区域（课本例5）。 如果一个区域可以全部包含在一个以圆点为圆心,以适当大的正数为半径的圆内的话,则称该区域为有界区域（例5）,否则称为无界区域（例4、6）.,6.1.4 二元函数的极限与连续,平面上的邻域为以后研究方便,现引入邻域的概念,设 为平面上一点，以 为圆心， 为半径的开圆域：,称为
8、点 的 邻域。,6.1.4 二元函数的极限与连续,定义6.3 如果函数z = f（x，y）在点（x0，y0）的某一领域内有定义（在（x0，y0）点处可除外），当点（x，y）以任意方式趋近于点（x0，y0）时，对应的函数值f（x，y）就无限趋近于一个常数A，则称当（x，y）趋于（x0，y0）时，函数f（x，y）以A为极限，记作：,注：虽二元函数与一元函数极限定义非常相似，但它们有很大的区别。在一元函数极限中， 不外乎只有两种方式，即 和 ，当这两个极限只要都存在且相等时的极限就存在。,一元函数的极限,6.1.4 二元函数的极限与连续,注：在二元函数极限中，由于点由于点 和 均是平面上的点，点 趋
9、向于点 会有无数多条路线，因此,只有,当这无数多条路线的极限均存在且都相等时，二元函数的极限才存在。可见二元函数极限比一元函数的极限要复杂的多。,6.1.4 二元函数的极限与连续,定义6.4 如果函数 满足 （1）在点 的某一邻域内有定义； （2）极限 存在； （3） 则称函数 在点 处连续,否则称 在 点处不连续或间断，点 称为该函数的间断点。,类似于一元函数，如果二元函数在区域上的每一个点处都连续，则说二元函数在区域上连续。,6.1.4 二元函数的极限与连续,二元函数连续性概念与一元函数类似，且具有类似的性质：,在区域D内连续的二元函数的图形 是空间一个连续曲面； 二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连续函数； 定义在有界闭区域D上的连续函数f（x，y）一定可以在D上取得最大值和最小值。,