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1、平行线等分线段定理,黑龙江省大庆市萨尔图区进修校 付淑艳,定理：如果一组平行线在一条直线上 截得的线段相等，,那么在其他直线上截得的线段 也相等.,A,B,C,证明：,连结AB1、A1B、 BC1、B1C，,AB=BC，,SABB1=SCBB1；,l1l2l3，,A1B1=B1C1.,说明：这里是用面积来证明的, 请你注意学习这种方法.,l1,l2,l3,A1,B1,C1,SA1BB1=SC1BB1，,已知：直线 l1l2l3，AB=BC，,求证：A1B1=B1C1.,SABB1=SA1BB1，,SCBB1=SC1BB1，,定理的适用情况1,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,直线
2、 l1l2l3，AB=BC，,A1B1=B1C1.,定理的适用情况2,A,B,C,l1,l2,l3,A1,C1,直线 l1l3，AB=BC，,A1B=BC1.,(不再用全等三角形来证明.),定理的适用情况3,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,直线 l1l2l3，AB=BC，,A1B1=B1C1.,从特殊情况的研究中得到后面的两个推论.,推论1：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论1：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论1：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论1：,A,B,C,A1,B1,C1,推论1：,A,B,C,A1,B1,
3、C1,推论1：,A,B,C,A1,B1,C1,推论1：,A,B,C,A1,B1,C1,推论1：,A,B,C,A1,B1,C1,推论1：,A,B,C,A1,B1,C1,推论1： 经过梯形一腰的中点与底边平行的直线,必平分另一腰.,A1B1=B1C1.,在梯形 ACC1A1中，,AA1CC1 ，,AB=BC,BB1CC1，,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1
4、,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,B1,C1,推论2：,A,B,C,B1,C1,推论2：,A,B,C,l1,l2,l3,A1,B1,C1,推论2：,A,B,C,B1,C1,推论2：,A,B,C,B1,C1,推论2：,推论2：,A,B,C,B1,C1,推论2： 经
5、过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.,在ACC1中，,AB1=B1C.,AB=BC，,BB1CC1，,A,B,C,B1,C1,AF交BE于O，且AO=OD=DF，,厘米.,若BE=60厘米，那么BO=,C,D,E,F,O,20,一、填空题,1、已知ABCDEF，,A,B,且AE=BE，,那么DF=,.,CF,2、已知ADEFBC，,E,F,B,C,A,D,E是AB的中点，,则DG=,，,H是,E,F,B,C,A,D,G,H,的中点，,.,F是,的中点,BG,AC,CD,3、已知ADEFBC，,4、已知ABC中，AB=AC，,ADBC，,M是AD的中点，,CM交AB于P，,DNC
6、M交AB于N，,如果AB=6厘米，,则PN=,厘米.,2,A,B,C,D,.,M,P,N,5、已知ABC中，CD平分ACB，,A,B,C,D,AECD交BC于E，,E,DFCB交AB于F，,F,AF=4厘米，,则AB=,厘米.,8,二、判断题,1、若ABCDEF，,A,B,C,D,E,F,AC=CE，,则 BD=DF=AC=CE.,( ),则ABCDEF，,2、如图，若 AC=CE，BD=DF，,( ),A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,E,F,3、过平行四边形对角线的交点且平行于一,组对边的直线必平分另一组对边。,( ),(,(,(,(,4、如图，已知ABCD中，,( ),AA1l,B
7、B1l,CC1l,DD1l,连结AC、BD交于点O，作OO1l,则A1B1=C1D1.,A,B,C,D,O,l,A1,B1,C1,D1,O1,5、过梯形一腰的中点且平行于底边的直线平,分两条对角线及另一腰。,( ),P,N,Q,三、证明题,1、已知：RtABC中，ACB=90，,A,B,C,D为BC边的中点，,D,DEBC交AB于E，,E,求证：AB=2CE.,.,证明：,ACB=90，,BDE=ACB，,DECA，,D是BC的中点，,E是AB的中点，,AB=2CE.,DEBC，,BDE=90；,2、已知：ABCD中，E、F分别是AB、DC,A,B,C,D,E,F,的中点，,M,N,求证：BM
8、=MN=NC.,分析：需证明ECAF.,证明：,四边形ABCD是平行四边形，,AB=DC，ABDC；,.,.,分别交BD于M、N，,E、F分别是AB、DC的中点，,AE=FC，,四边形AECF是平行四边形，,ECAF,BM=MN, MN=ND,即BM=MN=ND.,CE、AF,3、已知：梯形ABCD中，ADBC，,A,B,C,D,E,E是AB边的中点，,EFDC，交BC于F，,F,求证：DC=2EF.,证明：,M,作EMBC交DC于M，,E是梯形ABCD的腰AB的中点，,M是DC的中点，即DC=2MC；,EFDC，,EF=MC，,DC=2EF.,.,4、已知：直角梯形ABCD中，ADBC， A
9、BC=90，,A,B,C,D,E,E是DC边的中点，,求证：AE=BE.,分析：需证E在AB的中垂线上.,证明：,F,作EFBC交AB于F，,E是梯形ABCD的腰DC的中点，,F是AB的中点；,EFBC，ABC=90，,AFE=ABC=90，,EF是AB的垂直平分线，,AE=BE.,.,5、已知：ABC的两中线AD、BE相交于点,A,B,C,D,E,G,G，CHEB交AD的延长线于点H，,H,求证：AG=2GD.,分析：需要证明GH=2GD=2DH.,证明：,AD、BE是中线，,AE=EC，BD=DC，,CHEB，,AG=GH，,AG=2GD.,本题说明三角形的两中线的交点把中线分成2：1的两
10、部分. 这个结论叫做重心定理.（现行课本已把它略去.）,GD=DH，,6、已知：梯形ABCD中，ADBC，,A,B,C,D,E,ABDE是平行四边形，,AD的延长线交EC于F，,F,求证：EF=FC.,分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段.,6、已知：梯形ABCD中，ADBC，,A,B,C,D,E,ABDE是平行四边形，,AD的延长线交EC于F，,F,求证：EF=FC.,分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段.,证法1：,O,连结BE交AF于点O，,四边形ABDE是平行四边形，,AFBC，,EF=FC.,BO=OE；,A,B,C,D,E,F,证法2：,H,延长ED
11、交BC于点H，,四边形ABDE是平行四边形，,AFBC，,EF=FC.,四边形ABHD是平行四边形，,AB=DH，,ED=DH；,ABED，即ABDH，,且AB=ED，,A,B,C,D,E,F,证法3：,M,A,B,C,D,E,F,证法4：,N,证法5：,A,B,C,D,E,F,P,AAS,分析：本题还有多种 构造全等形的证法. 例如：,证法6：,AAS,A,B,C,D,E,F,Q,证法7：,A,B,C,D,E,F,S,AAS,证法8：,A,B,C,D,E,F,T,AAS,证法9：,AAS,A,B,C,D,E,F,P,证法10：,AAS,A,B,C,D,E,F,Q,证法11：,AAS,A,B,
12、C,D,E,F,S,证法12：,AAS,A,B,C,D,E,F,T,7、已知：ABC中，AB=AC，,D在AB上，F在AC的延长线上，,且BD=CF，DF交BC于E，,求证：DE=EF.,分析： 这是一道应已证过的题。 除用证三角形全等的方法外， 本题还可用平行线等分线段 定理的推论来证明。,这里给出动画显示，证明的语句略去。,证法1：,A,B,C,D,E,F,H,）,）,（,（,证法2：,A,B,C,D,E,F,H,(以下略去。）,8、已知：ACAB，DBAB，,O是CD的中点，,求证：OA=OB.,分析：需证明点O在AB的垂直平分线上.,证明：,作OEAB于E，,ACAB，DBAB，,CA
13、B=90，DBA=90，,CAB=OEA=DBA，,ACOEDB；,O是CD的中点，,E是AB的中点，,OE是AB的垂直平分线，,OA=OB.,则OEA=90；,A,B,C,D,O,E,9、已知：AD为ABC的中线，,A,B,C,D,M,P,M为AD的中点，,直线CM交AB于点P，,求证：,AP= ,1,3,AB.,分析：可证明BP=2AP.,证明：,Q,作DQCP交AB于点Q；,D是BC的中点，M是AD的中点，,Q是BP的中点，P是AQ的中点，,AP=PQ=QB，,AP= ,3,1,AB.,10、已知：ACB=90，AC=BC，,A,B,C,求证：MN=NB.,分析： 若结论成立，则过B作NC 的平行线交直线AC必截得 相等的线段，反之亦然.,D,E,F,M,N,CE=CF，,EMAF，CNAF，,A,B,C,10、证明：,D,延长AC到D，使CD=CE， 连结DB.,ACB=90，CNAF，,CAF=CBD；,NCF=CAF=CBD，,EMAF，,EMCF，,MN=NB.,则ACFBCD，,E,F,M,N,DBCN；,EMCNDB，,小结： 平行线等分线段定理是一个重要 的定理，在这里是利用面积证明的， 这种证法还可以用于后面即将学到的 平行线分线段成比例定理。,