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1、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,连续，且,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,元不变 限不变,例1 计算,解,令,第五章,例2 计算,解,第五章,例3 计算,解,原式,第
2、五章,例4 计算,解,令,原式,第五章,例5：证明,证明：,代入即可。,第五章,由此可知,偶倍奇零,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,第五章,第五章,例7 设函数,解1,所以,第五章,解2 令x-2=t，有,第五章,例8 计算积分,解 （1）当 时,（2）当 时,（3）当,证,（1）设,第五章,（2）设,第五章,例10 证明下列等式：,证明:（1）等式两边被积函数相同，应从积分区间入手，设,第五章,对等式右端第二个积分设,所以原式成立.,第五章,例11 是连续函数且为奇函数，证明 是偶函数；,是连续函数且为偶函数，证明 是奇函数。,证明：令,对,设t=-u有,即,证毕.,课堂
3、练习,课堂练习提示,1.,提示: 令,则,2. 设,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,3. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,推导,二、定积分的分部积分法,例1 计算,解,令,则,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,例5 设f（x）在积分区间上连续，证明：,证明1： 用分部积分法,证明2 左端=,证明3 设,则,所以,又因,例6 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,例7 设,解,例8 设f（x）连续，计算,解 （1）令x+t=u，则dt=du,（2）,小 结,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,作业,P253 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 7 (4), (9), (10),练 习 题,解,令,第五章,思考题1,思考题1解答:,计算中第二步是错误的.,正确解法是,思考题2,思考题2解答,解：,3.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,= 左端,