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1、定积分的物理应用,复习微元法,一、非均匀细杆的质量,二、变力沿直线所作的功,三、液体的侧压力,四、引力问题,微元法的步骤和关键:,复习微元法（定积分概念的一个简化）,1.将非均匀分布在区间a,b上的所求总量A,分割成分布在各子区间的局部量 ,A必须对区间,a,b具有可加性，,即,2.关键的一步,确定部分量 的近似值,只需考虑任意小区间,x, x+dx上部分量的近似值，,小微元d A,条,3. 对小微元取定积分,条,扇形,曲边梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕 x 轴旋转一周所成的立体体积,体积元素,薄片,计算体积,求旋转体体积柱壳法: p286.19,a,b,f (x),
2、y,x,0,曲边梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕 y 轴,x,dx,dx,内表面积,dV=,2 x f (x)dx,壳,0,a,b,利用均匀细杆质量,一 、求线密度为,思考：非均匀分布在一个细杆上的能量、电量、热量怎么求？,例1.,解：,0,3,p292.1,y,二 、变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作功微元,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,利用常力作功,例1. 有一圆锥形储水池,深15m,口径20m,尖头在下,盛满水, 今将水抽干, 需作功多少？,p292.
3、6,解:,如图建立坐标系,取任一小区间x, x+dx，,这一薄层水,的重力为,做功微元,斜线方程为,做功,例2.半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同, 从水中取出球, 做功多少(p293.7),解：,y,x,0,2r,选取x为积分变量，其变化区间0,2r,（注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功）,重力微元：,在小区间x, x+dx上相应的球体,薄片随球体离开水面后，,在水上方的行程,做功微元,做功,面积为 A 的平板,三、液体侧压力,设液体密度为 ,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .,平板一侧所受的压
4、力为,在端面建立坐标系.,解,例1.,建立坐标系如图.,解：,例2.,压力元,四、引力问题,质量分别为,的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :,大小:,方向:,沿两质点的连线,若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .,将典型小段近似看成质点,建立坐标系如图.,解,例1.,小段与质点的距离为,水平方向的分力元素为,注意：引力元的方向各不相同，这些力不能直接按数量相加，因而也不能直接积分。,解：(1)建立如图的坐标系,确定积分变量和积分区间：,r,-r,设线密度为 取 为积分变量，则,(2) 求微元：,对,将 对应的弧长质量看成一个质点,则,对应的弧长质量为,它对单位质点的引力微元为,由对称性知,所以有,(3) 求定积分：,把对位于圆心处的单位质量质点的,引力表示成定积分计算得,故圆弧对质点的引力为,方向从圆心指向半圆弧,的中点，即 轴方向.,小结：,1.定积分可以計算非均匀分布在某区间的量。微元法-建立所求量的积分表达式。 2.应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量适当的置于坐标系下，利用以不变代变，以直代曲的思想方法确定出小微元。 3.小微元的几何形状常取为：条、带、段、环、扇、片、壳等。 4.应用定积分解决实际问题时，当然还需要使用其它一些常识。 5.微元法将用于在多元积分学的应用。,