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1、第一章 函数的极限与连续 本章主要内容 1.1 函数的概念 1.2 函数的特性 1.3 反函数 1.4 基本初等函数 1.5 复合函数、初等函数 *1.6 函数关系应用举例 2 本章主要内容 1.7 数列的极限 1.8 函数的极限 1.9 无穷小量与无穷大量 1.10 极限的运算法则 1.11 两个重要极限 1.12 函数的连续性 3 学习目标 理解函数的概念、函数的特性；了解反函数、基本初等函 数、复合函数、初等函数、分段函数的概念； 了解数列与函数极限的描述性定义；左、右极限的概念； 无穷小、无穷大的概念及相互的关系与性质；对无穷小进行 比较； 掌握极限四则运算法则；应用两个重要极限求极限
2、；无穷 小的性质；函数在一点连续的概念；初等函数的连续性；闭 区间上连续函数的性质；间断点的类型；求连续函数和分段 函数的极限. 4 1.1 函数的概念 1. 常量与变量 在自然现象或科学试验等过程中，经常会遇到两种不同的 量：一种量在过程中不发生变化而保持一定的数值，这种量 称为常量(或常数)；另一种量在过程中可以取不同的数值，这 种量称为变量.如冰化成水的过程中，所吸收的热量、与温度 、时间等是变量。通常用字母，b，c等表示常量，用字母x ，y，z等表示变量 5 2. 区间与邻域 对于某个实际问题来说，一个变量只能在一定的范围内取 值变量的取值范围通常用区间表示区间分为闭区间、开 区间、半
3、开半闭区间、无穷区间等。 6 7 在区间定义的基础上，如图，我们把开区间(- ,+)(0)叫作点的邻域，叫作邻域的中心，叫作邻 域的半径 8 3函数的概念 定义1 设x,y是两个变量，D是一个实数集如果对于D内 的每一个数x，按照某个对应法则，变量y都有唯一确定的数 值和它对应，则称y是x的函数，记作.x叫作自变量，y叫作因 变量，或者函数值，实数集D叫作这个函数的定义域. 当取数值时，与相对应的的值叫作函数在点处的函数值， 记作或.函数所有函数值的集合叫作函数的值域 9 求 例3 求下列函数的定义域. （1）(2)y= （1） 所以定义域为 解 例2 设函数 10 解 （2）要使函数有意义义
4、，必须须同时满时满 足：分母 不为为零且偶次根式的被开方式非负负，反正弦函 数符号内的式子绝对值绝对值 小于或等于1。 解出 故不等式组的解为 . 因此，该函数的定义域为 11 例4 已知函数 的定义域是 求 的定义域 例5 判断下列各对函数是否相同. (1) (2) 12 求函数的定义域时应遵守以下原则： (1) 代数式中分母不能为零； (2) 偶次根式内表达式非负； (3) 对数中真数表达式大于零； (4) 反三角函数要根据各自的定义域； (5) 两函数代数和的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (6) 对于表示实际问题的解析式，还应该保证符合实际意义. 13 4. 函数的图像 14 两
5、个常用的函数 (1) 符号函数 1 -1 x y o 5. 分段函数 15 (2) 取整函数 y=x, x表示不超过 x 的最大整数. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 16 1.2 函数的特性 1. 函数的单调性 单调增加函数、单调减少函数、单调区间 17 例1 y xo x 18 2函数的奇偶性 定义1 y xox -x 19 定义2 20 2. 函数的奇偶性 奇函数：奇函数的图象关于原点对称. 偶函数：偶函数的图象关于y轴对称 例 判断下列函数的奇偶性 (2) (4) (1) (3) 21 3. 函数的有界性 定义3 22 4
6、. 函数的周期性 定义3 23 定义 1.3 反函数 24 反函数存在定理 定理 25 1.4 基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数，这些都是实际生活中常用的函数，我们 把这五类函数统称为基本初等函数 26 1、幂函数 27 2、指数函数 28 3、对数函数 29 4、三角函数 正弦函数 30 余弦函数 31 正切函数余切函数 32 5. 反三角函数 定义1 单调增加、有界、奇函数 33 例1 求下列各式的值： 解 34 一般地，由反正弦函数的定义，可以得到 例2求下列各式的值： 解 35 定义2 单调减少、有界函数 36 例3 求下列各式的值： 解 一般地，由反余
7、弦函数的定义，可以得到 37 例4 求下列各式的值： 解 38 定义3 单调增加、有界、奇函数 39 定义4 单调减少、有界函数 40 例5求下列各式的值： 解 41 1.5 复合函数、初等函数 1.复合函数的定义 42 例1写出下列函数的复合函数： 注意 并非任意两个函数都可复合成一个复合函数. 例2 指出下列复合函数的复合过程： 43 例3 求下列函数的定义域和值域： 解 44 例4 解 例5 解 45 2、初等函数的定义 由基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限 次复合而成的函数,叫作初等函数. 注意分段函数不一定是初等函数. 46 1.7 数列的极限 定义1 按照一定顺序排成的一列
8、数，叫作数列. 组成数列的每个数都叫作这个数列的项. 47 例如 48 定义2 例1观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限： 解 49 50 一般地，有下述结论： 例2观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限： 解 51 定理1 例如 有界 无界 52 定理2 注意 例如 数列 53 1.8 函数的极限 1、自变量趋向无穷大时函数的极限 54 定义1 定义2 55 定理1 的充分必要条件是A A 56 例1 解 57 2、自变量趋于有限值时函数的极限 58 定义4 定义5 59 定理1 例3 解 60 例4 解 61 例5 解 62 例5 解 63 1.9 无穷小量与无穷大量 1、无穷小 定义1
9、 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。 例如 注意 （2）绝对值很小的常数不是无穷小。 （1）函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 （3）常数中只有数0是无穷小.。 64 无穷小量的性质 性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质3 无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量； 性质4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量 65 定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和； 反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数 就是这个函数的极限。即 66 2、无穷大 67 定义2 例如 特殊情形：正无穷大，负无穷大 68 注意（1）函数是无穷大
10、,必须指明自变量的变化趋向. （2）任意一个绝对值很大的常数都不是无穷大量。 . 例如 69 3、无穷小与无穷大的关系 定理2 70 4、无穷小的比较 定义3 71 例1比较下列无穷小的阶数的高低： 解 72 1.10 极限的运算法则 1、极限的四则运算法则 定理1 73 推论1 推论2 注意（1）使用上述法则时，要求每个参与运算的函数的极 限都必须存在。 （2）在使用商的法则时，还要求分母的极限不能为零。 74 例1 解 例2 解 75 例3 例4 解 解 76 例5 例6 解 解 77 例7 解 78 例8 解 79 归纳例6、例7及例8，可得以下的一般结论 80 例9 解 81 例10
11、解 82 2、复合函数的极限法则 定理2 83 例11 解 84 1.11 两个重要极限 准则1 1、极限存在的两个准则 准则2 单调有界数列必有极限 85 2、 两个重要极限 (1) 重要极限 例1 解 86 例2 例3 解 解 87 解 例4 88 2、 两个重要极限 (2) 重要极限 或 例5 解 89 例6 解 90 例7 例8 解 解 91 1.12 函数的连续性 1、函数的增量 定义1 92 注意 93 例1 解 94 2、函数连续的定义 定义2 y 95 例2 证 96 定义3 97 定义4 98 99 例3 证 100 3、函数的间断点 定义5 101 定义6 102 例4 解
12、 103 4、初等函数的连续性 定理1 连续函数的运算法则 定理2 104 例9 解 105 根据图象可以看出，幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数在其定义域内是连续的，由此我们 得到结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 根据基本初等函数的连续性及本节定理1、定理2，得： 定理3 所有初等函数在其定义区间内都是连续的 106 例6 解 注意 因为分段函数一般不是初等函数，所以定理3对分段 函数一般不成立. 在讨论分段函数的连续性时，要根据连续 的定义讨论分段点的连续性. 107 结论：初等函数对定义域内的点求极限，就是求它的函数值 108 例7 例8 解 解 109 5闭区间上连续函数的性质 定理5(最大值与最小值定理) 例如 定理4 (有界定理)若 在闭闭区间间 上连续连续 ， 则则 在 上有界 110 定理6（介值定理） 推论 111 例9 证 112