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1、第一章 多项式 概述_1 n代数角度 代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性 质 最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因 式 n函数角度 根及其性质，余数定理 n二者关联 两多项式函数相等充要条件为这两多项式 代数相等 概述_2 n与数域扩大无关的多项式性质 整除、最大公因式、互素、余数定理等 n与数域扩大有关的多项式性质 不可约、因式分解、根理论等 一元多项式 l定义 K :数域, aiK, 0in ; n0, x : 未定元, 形如 称为K上关于x 的一元多项式. aixi : 称为第i 次项, ai : 第i 次项系数. n 次多项式: 当an 0时, 次数记为deg f (x)=
2、n, anxn :首 项, an :首项系数. a0 :常数项. 零次多项式(常数多项式): f (x)=a0 0. 零多项式: f (x)=0, 此时规定: deg f (x)= 多项式的相等 n定义 两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同 且各次项的系数相等 即若 则f (x)= g(x)当且仅当m = n, ai = bi , 1 in 多项式的运算_加法1 设f (x), g (x) Kx, 适当增加几个系数为0的项, 可设 定义加法: 则 f (x) + g (x)Kx. 多项式的运算_加法2 Kx对加法构成加群, 即满足如下性质 (1) ( f (x) + g(x) ) + h(
3、x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ) (2) f (x) + g(x) = g(x) + f (x) (3) 0 + f (x) = f (x) (4) f (x) + (f (x) ) = 0 多项式的运算_数乘1 设 定义c与f(x)的数乘为: 则 cf (x)Kx. 多项式的运算_数乘2 Kx对加法与数乘构成K上的线性空间, 即满足(1) (4)且满足如下性质 (5) (6) (7) (8) 多项式的运算_乘法 设 定义f (x) 与g(x)的乘积: f (x) g(x) = h(x) 其中 Kx对加法,数乘和乘法构成K-代数, 即满足(1) (8) 且满足性质: (
4、9) ( f (x) g(x)h(x) = f (x) (g(x) h(x) (10) f (x) g(x) = g(x) f (x) (11) (f (x)+g(x) h(x) = f (x) h(x)+ g(x) h(x) (12) c ( f (x) g(x) )=( c f (x) ) g(x) = f (x) ( c g(x) (13) 1f (x) = f (x). n注1:因为(9), (10), (13), Kx称为K上存在单位元1的 结合交换代数. n注2:因为(1) (4), (9) (11), (13), Kx对加法和乘 法构成有单位元的结合交换环. 多项式的次数 lde
5、g f (x)g(x)=deg f (x) + deg g(x) ldeg f (x) = deg cf (x) , 0 cK ldeg ( f (x) + g(x) maxdeg f (x) , deg g(x) lf (x), g(x)Kx. f (x)0, g(x)0,则 f (x)g(x)0. l若 f (x) 0, f (x) g(x) = f (x) h(x) ,则 g(x) = h(x) 整除_定义 n定义: 设 f (x), g(x) Kx. 若存在h(x) Kx. 使得 f (x) = g(x) h(x) , 则称 g(x) 整除f (x), 或 f (x)被g(x)整除,
6、或g(x)是f (x)的因式.记为g(x) | f (x). 否则记g(x) f (x). l任意的 f (x) Kx , 有 f (x) | 0 l对 f (x) 0 , 则 0 f (x) l0 c K , 对任意 f (x) , 有 c | f (x). 整除_性质 n性质: f (x), g (x), h(x) Kx, 0 cK , 则 (1) f (x) | g(x), 则 c f (x) | g(x) (2) f (x) | g(x), g(x) | h(x), 则 f (x) | h(x) (3) f (x) | g(x), f (x) | h(x), 则 u(x), v(x)
7、Kx, 有 f (x) | u(x)g(x)+ v(x)h(x) (4) f (x) | g(x), g(x) | f(x), 则存在c 0K, 使 f (x)=cg(x). 带余除法 设f (x), g (x) Kx , g (x) 0 ,则存在唯一q(x)、 r(x) Kx , 且deg r(x) deg g(x), 使得 f (x) = g (x)q(x) + r(x) 注:定理结论可叙述为：f (x) = g (x)q(x) + r(x), 这里或者 r(x) = 0，或者 0 deg r(x) 0,an-10, , an-k-10. 但an-k0),则对f (x)的任一正根c(如果存
8、在),有: n注:求负根的下界, 只需求正根的上界即可. 实多项式根的上下界估计_2 n证明:反证法. 若 则 因此c 不可能是f(x)的零点。 实多项式的实根个数的估计_1 nSturm序列: 设f (x)没有重根,记 g0(x)= f (x), g1(x)= f (x). 则 (f (x), f (x) =1. 对f (x)与f (x)作辗转相除： g0(x) = g1(x)q1(x) g2(x) g1(x) = g2(x)q2(x) g3(x) gs-2(x) = gs-1(x)qs-1(x) gs(x) 其中gs(x)为非零常数多项式，我们称: g0(x), g1(x), , gs(x
9、)是一个Sturm序列. 实多项式的实根个数的估计_2 对任意实数c，得到实数列: g0(c), g1(c), , gs(c), 划去其中零, 从左往右看, 相邻两个数符号 相反,则称有一个变号数. 变号数的总和称为该数 列的变号数, 记为V (c) 引理 上述Sturm序列有下列性质： 1）相邻的两个多项式gi(x)与gi+1 (x)无公共根； 2）若gi(c) =0, 则gi-1(c)=-gi+1(c); 3）若c是g0(x)的根, 则存在 , 使当 时, g0(x)与g1(x)异号; 当 时, g0(x)与 g1(x)同号。 实多项式的实根个数的估计_3 Sturm定理 设f (x)是实
10、系数多项式且无重根,aV (b),且f (x)在区间(a, b)内实根的个数等于V (a) V (b).特别,若a, b分别是f (x)的实根的上下界,则V (a) V (b)等于f (x)的实根总数 证明思路: 1）当 x 增大且不经过上述Sturm序列中每个多项 式的零点时，变号数不变； 2）当 x 增大且经过Sturm序列中除g0(x)外的某些多 项式的零点时，它们的总变号数不变； 3）当 x 增大且经过Sturm序列中含g0(x) 的多项式 的零点时，它们的总变号数恰好减1。 有理系数多项式_1 n定理： 设f (x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项 式，则有理数
11、p/q是f (x)的根的必要条件是 p|an, q|a0，其中p, q是互素的整数 n定义： 设多项式f (x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系 数多项式，若an, an-1, , a0的最大公约数为1， 则称 f (x)为本原多项式 nGauss引理： 两个本原多项式之积仍为本原多项式 有理系数多项式_2 n定理: 若整系数多项式f (x)在有理数域上可约,则它 必可分解为两个次数较低的整系数多项式之积. nEisenstein判别法: 设多项式f (x) =anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0是 整系数多项式, an0, n1，p是一个素数, 若 p| ai, in
12、-1. 但 p不整除 an , 且 p2不整除 a0 , 则f (x) 在有理数域上不可约. 一元多项式性质小结 n与数域无关的性质: 整除, 带余除法, 最大 公因式, 互素. n与数域有关的性质: 不可约多项式, 标准分 解式, 重因式, 多项式的根. n定理: 设p(x), f(x) Kx是不可约多项式, 若 p(x) 和 f(x)在复数域上有公共根, 则 p(x) | f(x). 多元多项式_1 n两个n元多项式相等当且仅当它们同类项的 系数全部相等 n若f (x1,x2, xn)和g (x1,x2, xn)都是K上n元 非零多项式,则按字典排列后乘积的首项等 于f与g的首项之积. 多
13、元多项式_2 n若f (x1,x2, xn)0, g (x1,x2, xn)0, 则 f (x1,x2, xn) g (x1,x2, xn) 0 n设f (x1,x2, xn)是K上n元非零多项式, 则必存 在K上n个元a1,a2,an使得 f (a1,a2,an) 0 nK上两个n元多项式f (x1,x2, xn), g (x1,x2, xn)相等的充要条件是对任意a1,a2,an K都 有: f (x1,x2, xn),=g (x1,x2,xn) 对称多项式_1 定义: 设f (x1,x2, xn)是K上n元多项式，若对任 意的1ijn均有： f (x1, xi , xj , xn) f
14、(x1, xj , xi , xn) 则称f (x1,x2, xn )是K上n元对称多项式 n对称多项式在未定元的任一置换下不变 n对称多项式的和是对称多项式 n对称多项式的乘积是对称多项式 n对称多项式的多项式是对称多项式 对称多项式_2 n初等对称多项式: 对称多项式_2 n对称多项式基本定理: 设f (x1,x2, xn)是数域K上的对称多项式 ,则必存在K上唯一的一个多项式g(y1,y2, yn)使得 f (x1,x2, xn)= g(12n). n注: 证明是构造性的,证明过程实际上给出求 g(y1,y2, yn)的方法. 结式和判别式_1 n设f (x)=a0xn+a1xn-1+an , g(x)=b0xn+b1xn-1+bn 下列阶行列式 称为f (x)与g(x)的结式. 结式和判别式_2 n定理: f (x)和g(x)是互素当且仅当R (f , g)0. n定理: 设f (x)=a0xn+a1xn-1+an, g(x)=b0xn+b1xn-1+bn, f (x)的根为x1,x2,xn , g(x)的根为y1,y2,ym,则 结式和判别式_3 n利用结式,可以定义一个多项式 f (x)=a0xn+a1xn-1+an的判别式为: n定理:设多项式f (x)=a0xn+a1xn-1+an的根 为x1,x2, xn ，则 n推论: f (x)有重根当且仅当 (f )=0