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1、第一节 数项级数 第一节 数项级数 一. 数项级数的概念 中学: 无穷等比级数 就是无穷级数的一种 定义 将其各项依次累加所得的式子 称为数项无穷级数 设有数列 项通项 问题:如何理解无穷个数相加? 变化趋势 1. 部分和: 2. 部分和数列: 3. 收敛: 称级数收敛 称为级数余项 极限不存在,称级数发散 例. 判断级数敛散性: (1). 1+2+3+n+ 级数发散 (2). 级数收敛 =1 (3). q =1时 q =-1时极限不存在,级数发散 级数发散 级数发散 总之: 级数收敛级数发散 (4). 级数发散 二. 数项级数的性质 性质1 若级数 收敛于和 S, k 为常数,则 证 推论:
2、 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变 性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减 性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性 证 不妨设去掉前k 项,得级数 常数 原级数部分和 时, 同时敛散 因此,不影响级数的敛散性. 例: 因为 和 都收敛 级数收敛 性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变 证: 设收敛级数 新级数 注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散. (2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛. 例如: (11)+ (11)+ (11)+收敛 而11+11+11+发散. 性质5.(级数收敛必要条件) 若级数 收敛,则 证: 注意:(1). 若 ,则级数 发散 (2). 时,级数 不一定收敛 判断级数发散 的第一步骤 但可以证明级数发散 假若级数收敛,则 但是, 矛盾 例如:调和级数 (2) 不存在 级数发散 例. 判断级数敛散性: (1) 级数发散 思考