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1、1,第5.1节 矩阵的特征值 与特征向量,线性代数,2,主要内容:,一、方阵的特征值与特征向量,二、特征向量的性质,三、小结 思考与练习,3,一. 方阵的特征值与特征向量,1. 特征值与特征向量的定义,定义1:,注：,设 是 阶方阵，,若数 和 维非零列向量 ，使得,成立，则称,是方阵 的一个特征值，,为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。,是方阵,(2) 特征向量 是非零列向量,(Eigenvectors and Eigenvalues),4,(3)如果 是一个不可逆的方阵,则线性方程组 有非零解, 即 故不可逆方阵必有零特征值 .,5,2. 特征值与特征向量的求法,或,或,是关于 的一个
2、多项式，称为矩阵 的特征多项式。,6,7,称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）,定理1：,8,另一方面,由多项式相等,系数相等,即(1)得证.,9,求A的特征值与特征向量的步骤:,10,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,11,系数矩阵,自由未知量:,令 得基础解系:,12,得基础解系,13,证明:,因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式 唯一决定.,而,14,若 可逆，则 的特征值是,的特征值是,且 仍然是矩阵,分别对应于 的特征向量。,例3：,15,16,练习题1: 已知三阶矩阵A的三个特征值为1，2，3,则A的 行列式等于_, A-1的三个特征值为_,A2+2 A+3
3、E 的三个特征值_，| +2 A+3E |=_.,练习题2: 已知 =2 是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵 有一个特征值为_ .,17,练习题3: P143 判断下列命题是否正确,(1) 如果,向量构成的集合,是方阵,的特征值，则,对应的特征,(2) 方阵,(错),的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;,(对),(3) 由于方阵,和,有一样的特征值, 故他们也有一样的,特征向量.,(错),(4) 如果,阶方阵,的,个特征值全为0, 则,一定是,零矩阵.,(错),18,二、特征向量的性质,结论:,定理2:,19,定理3:,定理4:,结论:,20,三、小结 思考与练习,(2) 求矩阵特征值与特征向量的步骤：,(1) 矩阵特征值与特征向量的概念,(3) 矩阵特征值与特征向量一些结论：,21,(4) 特征向量的性质,22,思考题,解答:,23,课后练习题 :,2： 设,设 为矩阵 的特征值，求 的特征值；,若 可逆，求 的特征值。,求,的特征值与特征向量.,1:,